La física del arco iris

El arco iris es uno de esos pocos fenómenos naturales que no deja indiferente a nadie. Ya sea un observador casual (y afortunado), un poeta o pintor que se ve inspirado, o uno de los tantos científicos que han tratado de explicarlo, cualquiera se queda maravillado al ver un par de arcos multicolores surcando el cielo. Pero siguiendo a Feynman, en esta entrada veremos que desglosarlo hasta entender cómo se forma no hace sino agrandar su belleza.

UN VISTAZO RÁPIDO

Veamos primero una descripción cualitativa del arco iris. Y como no, una imagen vale más que mil palabras:

Para ver el arco iris se necesitan dos cosas: gotas de agua suspendidas (ya sea porque llueve, porque rompen las olas…) y rayos de Sol que las alcancen. Eso sí, con el Sol a tus espaldas, después veremos por qué.

Distinguimos dos arcos: el arco primario; situado en el interior, con los colores ordenados de violeta a rojo (longitud de onda decreciente) de dentro hacia fuera, y el arco secundario; situado en el exterior, con la ordenación de colores opuesta y menos intenso. En la zona interior al primer arco la luz es más intensa (hay mucha más) que en la zona externa al segundo arco, y desde luego mucha más que en la zona entre ambos, que aparece visiblemente oscurecida. El primero en describirla fue el griego Alejandro de Afrodisia hacia el siglo II d.C., con lo que esta zona se denomina banda de Alejandro en su honor. También es destacable la presencia de arcos multicolores bajo el arco primario, conocidos como arcos supernumerarios.

Observaciones repetidas nos harían notar que los arcos siempre se dan a ángulos concreto. Medido respecto a los rayos de Sol incidentes, el arco primario se da entorno a (es decir, mirando la sombra de tu cabeza deberías alzar la cabeza ese ángulo) y el secundario entorno a . Cuando acabes el artículo, habrás entendido la causa de todos estos fenómenos 🙂

INTENTOS DE EXPLICARLO A LO LARGO DE LA HISTORIA

Como decíamos en la introducción, nadie escapa a la belleza del arco iris. Así que es lógico que contemos con innumerables atribuciones a su aparición a lo largo de la historia. En la biblia representa el pacto de Dios con los hombres de no volver a arrasar la Tierra con otro diluvio; si éste aparecía tras la tormenta significaba que Dios seguía de buenas. En la epopeya de Gilgamesh, es un collar que levanta la madre Ishtar para no olvidar los días de la gran inundación (¿coincidencia?). En la mitología griega, representa a la diosa Iris; mensajera (junto con Hermes) de los Dioses, y en la mitología nórdica es un puente que une la tierra de los humanos con la de los dioses.

Uno de los primeros (al menos que se tenga constancia) que trató de explicar racionalmente el arco iris fue el sabio griego Aristóteles (s. IV a.C.). Teorizó que el arco iris se producía por la reflexión de la luz solar en las nubes según cierto ángulo fijo; lo que le daba su aspecto circular, además de constatar que no era un objeto material que se daba en una posición definida, sino que su posición dependía del observador.

Que la luz se refracta; es decir que cambia su dirección al cambiar de medio, ya era un hecho conocido por el astrónomo alejandrino Claudio Ptolomeo (s. II d.C.), que incluso elaboró tablas en las que se medía el ángulo de incidencia y de refracción. Con la trigonometría por llegar, y en lenguaje de cuerdas y arcos, solo hizo descripciones cualitativas del comportamiento de la luz, sin tratar de hallar ley alguna. De haber dividido cuerdas (doble del seno del ángulo) de incidencia entre cuerdas de refracción habría encontrado que era una constante para un par de medios dado, y quizá hoy denominaríamos a la ley de Snell ley de Ptolomeo.

El primer científico en asociar el arco iris a la refracción de la luz solar en las gotas de lluvia fue el persa Al-Farisi, ya en el siglo XIII, notando que la luz solar se descomponía en colores tras el paso por las gotas de agua y Roger Bacon fue el primero en medir los ángulos en los que se daban cada arco en 1266. El monje alemán Teodorico de Freiberg expuso en 1304 que el arco iris no era resultado de la actuación colectiva de todas las gotas, como Aristóteles aseveraba, sino de cada gota en particular. Y así lo probó estudiando el camino de los rayos de luz dentro de un modelo de gota consistente en una esfera de vidrio rellena de agua.

Pero es el físico y matemático francés René Descartes quien tiene el honor de ser el primero en estudiar cuantitativamente este fenómeno. Descartes creía que la luz constaba de diminutas partículas, y en su Discurso del método argumenta que estás partículas perdían momento al entrar en un medio distinto, como si fueran frenadas por una fina red. Con ello, llega a que el cociente entre el seno del ángulo de incidencia y el seno del ángulo de refracción es una constante para dos medios dados:

   

Si el medio de incidencia es el aire, la constante coincide con lo que se denomina índice de refracción del segundo medio.

Pero su desdichada analogía conducía a que fuera el cociente de la velocidad en el medio de refracción respecto al de incidencia, lo que da , cuando es justo lo contrario como demostró Pierre de Fermat con su principio de tiempo mínimo. De hecho, ni siquiera tiene sentido que Descartes pensara que este número era cociente de velocidades de la luz en distintos medios, pues atribuía a la luz velocidad infinita.

Aun así, esta ley es conocida en Francia como ley de Descartes (orgullo patrio, imagino), mientras que el resto del mundo la denomina ley de Snell por el holandés Willebrord Snell; quien la encontró de manera empírica. Cabe destacar que Descartes desconocía este resultado.

Una manera más precisa de enunciar esta ley es la que sigue: cuando un rayo de luz incide en la superficie de separación entre dos medios con índices de refracción y (cocientes de la velocidad de la luz en el vacío entre la velocidad de la luz en ese medio), el ángulo formado por el rayo con la recta normal a la superficie de separación ; denominado ángulo de incidencia , y el ángulo que forma el rayo refractado con la normal ; denominado ángulo de refracción, se relacionan mediante

   

Que fuera menor a la unidad no frenó a Descartes, pues ante todo quería explicar el arco iris, por lo que experimentalmente midió encontrando . Así, con su ley y el principio de que los ángulos de incidencia y reflexión son iguales pudo demostrar que los ángulos que daban un máximo para la intensidad de la luz que salía de la gota eran los medidos por Roger Bacon.

Lo que Descartes hizo fue calcular las trayectorias seguidas por distintos rayos de luz tras penetrar en la gota. Aquí la variable de máxima importancia es el parámetro de impacto , es decir la mínima distancia respecto al centro de la gota que tendría un rayo si no se refractase. Un esquema sería el siguiente:

Vemos que los rayos primero sufren una refracción, seguidamente una reflexión y de nuevo una refracción, y ya llegan a nuestros ojos. Estos rayos formarían el arco primario. Cada vez que un rayo de luz llega a una interfase, parte de la luz se refleja y parte se transmite con lo que pierde intensidad. Los rayos que sufren dos reflexiones antes de salir forman el arco secundario. Eso explica que este arco sea menos intenso. El bueno de René incluso inmortalizó la explicación con el siguiente esquema:

Descartes se dio cuenta de que hay relativamente muchos más valores de que dan rayos entorno a que para el resto de ángulos, lo reforzaría la intensidad y por lo tanto nos hace ver el arco iris en tal ángulo. Es decir, el arco iris es un fenómeno de dispersión preferente de la luz. En la siguiente sección veremos cómo se explica esto en el lenguaje del cálculo diferencial.

Pero Descartes no entendía que la luz solar (blanca) estaba compuesta de todos los colores, sino que creía que se producían por la interacción con la gota. Fue Newton quien demostró que así era, descomponiendo la luz solar en todos sus colores con un prisma, para recomponerla en luz blanca seguidamente con otro. Por tanto, Newton fue el primero (con perdón de Al-Farisi, que solo lo propuso sin demostrarlo) en entender que los colores del arco iris procedían de la dispersión de la luz en la refracción: el índice de refracción del agua depende de la longitud de onda de la luz incidente, por ejemplo para la luz roja el índice de refracción en el agua es , mientras que para violeta . En consecuencia, usando la ley de Snell vemos que la luz roja se desvía más al entrar en la gota que la violeta, y en la reflexión el orden de los colores se intercambian, saliendo el violeta a menor ángulo que el rojo (lo que significa que el rojo que ves proviene de gotas a mayor altura que de las que proviene el violeta) y dando la ordenación característica al arco primario. Aquí podemos ver un esquema que lo ilustra:

Para el arco secundario, tras dos reflexiones los rayos se vuelven a invertir, lo que hace que la ordenación de colores sea opuesta.

Newton no solo fue el primero en entender los colores del arco iris, sino que hizo cálculos precisos hallando que el color rojo se daba en un ángulo de mientras que el violeta a , que sumado a que el Sol no es una fuente puntual sino extensa (cuya anchura angular es de medio grado) dan un total de para el ancho del arco primario.

Veamos como podemos calcular la posición de estos arcos con un poquito del cálculo que inventó nuestro querido Newton.

ARCOS PRIMARIO Y SECUNDARIO

(¡Atención! Sección solo para valientes e inconformistas. Si eres de esos, adelante :D)

Esquematicemos la trayectoria de un rayo de luz al penetrar una gota (supuestamente esférica de radio ) de agua en un plano transversal a esta como sigue:

La luz incide con un ángulo , se refracta con un ángulo , se refleja con un ángulo , y vuelve a salir con ángulo (la trayectoria es simétrica). Según hemos nombrado los ángulos en esta figura, el ángulo en el que observamos el rayo salir respecto a la línea de incidencia es , y resulta ser igual a . El ángulo de refracción y de reflexión interna de la luz resultan ser iguales dado que el triangulo en el que se inscriben es isósceles, por ser la gota esférica. Si la luz no sufriera refracción, en el punto de máximo acercamiento al centro de la gota la distancia sería el parámetro de impacto .

Se puede ver fácilmente que , luego la desviación total sufrida por el rayo de luz será . Ahora bien, el triángulo que forman el radio de la gota y el parámetro de impacto es rectángulo, lo que nos permite escribir

   

y por la ley de Snell tenemos que (suponiendo el índice de refracción del aire la unidad)

   

con el índice de refracción del agua. Por tanto, el ángulo en el que observamos un rayo de sol incidente depende de ratio parámetro de impacto/radio de la gota según

   

Un cálculo similar nos mostraría que para los rayos que sufren dos reflexiones se tiene

   

Estas expresiones permitieron a Descartes obtener valores para por fuerza bruta, pero nosotros nos podemos permitir recurrir a un programa informático para dibujar ambas funciones (para , que corresponde aproximadamente al rojo):

El ángulo al que observamos los rayos que formarán el arco primario y secundario tiene un máximo y un mínimo respectivamente. Esto implica que el crecimiento de la función se va desacelerando, hasta hacerse nulo en estos puntos, donde la función es localmente plana. Hay por tanto muchos más valores contribuyendo al mismo valor de en esa zona que en las demás, y por eso los arcos primarios y secundarios se dan a esos ángulos. En esta gráfica podemos ver que estos ángulos son para los rayos que sufren una reflexión y para los que sufren dos.

Pero como hemos comentado Descartes nada sabía del fenómeno de Dispersión. Tuvo que llegar Newton a ponerle color, y claro, la cosa gana. Y es que el índice de refracción depende de la longitud de onda. Con valores para tomados de aquí, nuestra gráfica queda:

Como vemos, la ordenación de colores es la correcta. El arco primario posee un máximo que se da para un ángulo distinto para cada color, en concreto el máximo (que puedes encontrar derivando e igualando a cero) se da para un parámetro de impacto que depende de como

   

y entonces el ángulo al que vemos cada color del arco primario es

   

y para el arco secundario se tiene el máximo en

   

y los ángulos a los que vemos cada color del arco secundario se dan en

   

Cogiendo para el rojo tenemos y .

Los rayos que solo sufren una reflexión no pueden salir a mayor ángulo de lo que lo hacen para el rojo, eso explica que bajo el arco primario el cielo se vea tan brillante. Igualmente para fuera del arco secundario, cuyos rayos no pueden salir a menos de lo que lo hacen para el rojo; con la salvedad de que tras dos reflexiones el brillo es menor. Esta gráfica también explica la banda de Alejandro, pues entre y no sale nada de luz.

¿Te estás preguntando por qué nos quedamos solo en arcos primarios y secundarios, y no terciarios, cuaternarios…? Si es así, buena pregunta, pues de hecho estos arcos existen. La respuesta tiene dos partes. La primera, dado que con cada reflexión parte de la luz se transmite fuera de la gota se pierde intensidad, luego estos arcos son menos brillantes. Y la segunda, resulta que si calculas su posición resulta que… ¡para verlos tienes que mirar en dirección al Sol! Y claro, esto hace que su brillo quede eclipsado por el del Sol. El arco terciario se da para y su brillo es solo un el del primario. El arco cuaternario por su parte se da con y su brillo es solo un el del primario. Aunque no son imposibles de ver: aquí puedes ver fotos del terciario y cuaternario, y aquí fotos del quinario.

ARCO IRIS POR DOQUIER

Para ver el arco iris no dependemos únicamente de la lluvia. Aquí unos cuantos arco iris formados por gotitas de agua en suspensión, en concreto del romper de las olas, vapor de agua de un géiser en erupción y de la caída de agua de una cascada

Otro fenómeno curioso es el arco iris por reflexión. Si tenemos una superficie de agua lo suficientemente calmada y luz del Sol incidiendo y reflejándose en ella, puede ocurrir que se formen sobre el agua dos arco iris: uno por incidencia directa de los rayos en gotas en suspensión, y otro por incidencia tras la reflexión de los rayos en la superficie del agua. Una bonita foto que recoge el fenómeno:

Si tienes la suerte de ver un arco iris cerca del atardecer o el amanecer, cuando en los rayos de Sol que nos alcanzan predomina el color rojo, podrías ver un arco iris monocromático como el siguiente:

O en una noche despejada, dando un paseo bajo la luna llena por esa cascada que todo el mundo tiene cerca de su casa, podrías ver un arco iris producido por los rayos solares que refleja nuestro satélite:

O podrías ver un arco iris completo (recuerda que si miras en derredor a 42 grados, ¡lo que ves es un círculo!)

Todas estas fotos están tomadas de Wikipedia.

Como ves, el número de arco iris posibles es ilimitado, desde un arco iris completo visto desde el balcón de un rascacielos al arco iris formado por el aire expulsado por una ballena al salir del agua a respirar. Si te has quedado con ganas de más, aquí tienes muchas más fotos, amén de ser una página donde explican con todo detalle el arco iris y demás efectos de la óptica atmosférica.

Bien, bien, ya sabemos de dónde salen los enésimos arcos del arco iris, por qué se forma la banda de Alejandro, por qué hay más brillo en el interior del arco primario… ¿nos dejamos algo en el tintero?

ARCOS SUPERNUMERARIOS

La naturaleza de la luz es un debate recurrente en la historia de la ciencia. Desde rayos que salen de nuestros ojos para hombres como Heron, partículas para mentes del calibre de la de Newton, u ondas a partir de Hyugens y Young. Aun con esas, tratando a la luz como partículas, primero Descartes y posteriormente Newton se las ingeniaron para explicar diversos fenómenos, entre ellos los arcos primario y secundario del arco iris, la ordenación de los colores o la banda de Alejandro. Pero aun hay más, mucho más. Por ejemplo, ¿que hay de los arcos supernumerarios?

Para Newton y Descartes, luz más luz igual a más luz, por lo que su teoría no podía explicar las franjas verdes y rosadas que se pueden ver bajo el arco primario. El primero que las comprendió fue Thomas Young, quien en 1803 realizó el archiconocido experimento de la doble rendija. En éste, se demuestra que una onda plana monocromática que atraviesa dos finas rendijas en una pantalla opaca crean un patrón de interferencias sobre una segunda pantalla, lo que se explica atribuyendo a la luz un comportamiento ondulatorio. La interferencia se debe a que cada haz recorre un camino distinto, por lo que llegan desfasados a los puntos de la pantalla: en los lugares en los que llegan en igualdad de fase tenemos luz, en los que llegan en oposición de fase oscuridad, y entre medias todo un continuo de intensidades.

¿Y por qué eso explica los arcos supernumerarios? Pues porque debajo del valor del parámetro de impacto máximo para cada color, tenemos dos pares de rayos (uno por encima, otro por debajo) que llegan a nuestros ojos en el mismo ángulo, pero habiendo seguido caminos diferentes. Por tanto, llegan desfasados y producen interferencia. Por eso los arcos numerarios se dan bajo el primer arco y sobre el segundo. Como la diferencia de caminos está fuertemente influida por el radio de la gota, la visibilidad de estos arcos depende en gran medida del tamaño de las gotas: a menor tamaño, mayor visibilidad (pues el espaciamiento entre éstos es mayor), como podéis comprobar jugueteando con esta aplicación. Como las gotas crecen al caer, eso explica que sean más visibles en la parte superior del arco primario. Aprovecho para meter aquí una foto propia de un arco iris visto desde mi balcón mientras estudiaba en Granada (alguna mía tenía que colar 😛 ). Se pueden ver arcos primario y secundario, banda de Alejandro, y cómo los arcos supernumerarios son más visibles bajo la parte superior del arco primario:

TEORÍAS MODERNAS

Pero cuando decía que había mucho más, es que hay mucho más. Resulta que las teorías de Descartes, Newton o Young son incapaces de predecir la intensidad del arco iris en función del ángulo, dando una intensidad infinita al arco primario. Tampoco son capaces de explicar la falta de total oscuridad en la banda de Alejandro. Sabemos que la transición no puede ser tan abrupta, pues la luz se difracta, lo que haría que la transición formara un continuo de grises. Pero el tratamiento de la difracción de la luz es un problema matemático harto complicado.

Armado con el principio de Huygens (que dice que cada punto de un frente de ondas se puede considerar como nuevo foco emisor de ondas esféricas, y la envolvente a todas estas forma el nuevo frente de ondas), George B. Airy intentó dar respuesta al problema de la intensidad. Y lo solucionó en parte, consiguiendo una transición suave en la banda de Alejandro, e intensidades finitas para cada arco.

Una complicación que entra en juego es el fenómeno de la polarización: la luz es una onda electromagnética transversal, lo que quiere decir que oscila en un plano perpendicular a su dirección de propagación. A su vez, la oscilación en tal plano se puede descomponer en otras dos perpendiculares. Resulta que cuando la luz se refleja en una superficie, o se transmite de un medio a otro, pierde parte de la componente en una de estas direcciones, predominando entonces la otra y quedando polarizada. Precisamente esto ocurre en el arco iris, que resulta estar compuesto hasta en un de luz polarizada, ¡así que para mirarlo no olvides quitarte las gafas de Sol! Un análisis de cómo se distribuye y transmite la luz según estas componentes se puede ver aquí.

La teoría de Airy resultaba en parte insatisfactoria pues dependía de cierto parámetro que debía ser ajustado a mano en función del tamaño de las gotas para obtener resultados acordes (lo que hoy se conoce en física como ajuste fino). La respuesta al problema es hasta cierto punto lógica, y viene a ser algo así: tenemos las ecuaciones que describen a la perfección la interacción macroscópica de la luz con la materia (las ecuaciones de Maxwell) así que… ¡usémoslas! Lord Rayleigh ya había estudiado el problema de dispersión de ondas sonoras por una esfera, así que Gustav Mie y Peter Debye hicieron lo análogo con la dispersión de la luz por una gota esférica.

Pero resulta que la solución es una suma infinita de términos, conocidos como ondas parciales (que les sonaran a los que hayan estudiado temas de dispersión en potenciales). Para cuando esta solución se halló, la única manera de obtener resultados era truncar la serie en algún punto (cuando te aburrías de sumar, y solo era interesante hacerlo para casos muy concretos). Hoy en día tenemos ordenadores potentes que pueden hacer el trabajo por nosotros, así que poseemos una curva muy exacta para la distribución de intensidades, pero el cálculo numérico no permite ahondar en la física de un problema. La solución (y ahora sí, la definitiva) vino de la mano de Henri Poincaré y G. N. Watson, que hallaron una transformación que permitía abordar esta suma infinita desde el cálculo complejo, lo que permitía seguir sacando física del asunto, y no meros números. Si alguien está interesado (¡vaya valor!), puede leer sobre el tema y el resto de la historia de la resolución del arco iris aquí (el autor del artículo enlazado es conocido precisamente por aplicar la transformación de Watson a este problema) .

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Soy de los que creen que las historias se empiezan a contar desde el principio. La historia del arco iris comienza con explicaciones mitológicas. Le siguen intentos racionales, como los de Aristóteles, Al-Farisi o Teodorico de Freiberg. Innumerables contribuciones han sido necesarias para explicar el arco iris: el principio de Herón de reflexión en ángulos iguales; la ley de Snell; la interferencia de la luz descubierta por Young; el principio de Huygens; la teoría de difracción desarrollada por Fresnel y aplicada por Airy, la dispersión como suma de ondas parciales y la transformación de Watson para tratarla. Más de 2300 años se han necesitado para explicar el arco iris, y es que como hemos visto, durante el camino se ha necesitado desentrañar la propia naturaleza de la luz antes de poder lidiar con este complejo fenómeno por completo.

*Imagen de portada tomada de Wikimedia.