¿Cuánto tarda un fotón en salir del Sol?

Si algo me flipa de la física es su capacidad para, con ecuaciones sencillitas, aproximar la realidad. Es como tener en tu mano un superpoder para entender el mundo. Pero todo superpoder conlleva una gran responsabilidad.

O mejor dicho, una gran carga.

Y es que a todos los físicos nos lastra el querer calcular cosas. Oyes un dato chulo y enseguida una de tus cejas se alza y piensas: «Hmmm, y eso, ¿cómo se cálcula?»

Eso mismo me pasó hace poquito recordando el siguiente dato que leí en algún libro divulgativo (que ahora no recuerdo, o de cuyo nombre no me quiero acordar), y es que:

La luz que se crea en el centro del Sol tarda miles de años en salir de él

Y dirás: «¿miles de años? Pero si yo sé que del Sol a la Tierra tarda ocho minutillos. ¿Qué está pasando aquí?»

Pues en esta entrada vamos a entender porqué ocurre y ver cómo este fenómeno se puede modelar de manera muy sencillita, y con suerte aprender algo de física por el camino.

Al lío.

Cálculos de servilleta

Sí, a los físicos (y a todos los que estudiamos una carrera de ciencias) nos encanta calcular cosas. Así que piénsatelo mejor antes de hacer una de estas carreras, pues no te librarás fácil de esta (maravillosa) maldición 😛

Por ejemplo, hace no mucho vi un vídeo en twitter de estos de leches graciosas por imprudencias. Y venía acompañado de una frase que no era totalmente cierta respecto a porqué la leche había sido tal, así que no me quedó otra que hacer las cuentas. El tweet en cuestión es este:

Ya uno no puede ni ver leches ajenas tranquilo.

La historia de aproximar realmente viene de lejos. Por ejemplo, el gran físico Enrico Fermi era un gran estimador. Se dice que el día que se probó por primera vez la bomba atómica en Los Álamos (prueba Trinity) estimó su potencia por la distancia a la que cayeron unos papelitos que dejó caer justo antes de la llegada de la onda expansiva.

A veces se les ha dado el nombre de «estimaciones de Fermi» a estos cálculos en su honor. Pero son más conocidos como «cálculos de servilleta» por ser vistos en cantinas de física o matemáticas en las unis (o «back-of-the-envelope calculation» en inglés, para que veáis que en Física Tabú aprendéis más que física).

Lo interesante de estos cálculos no es obtener una respuesta precisa, sino modelar bajo suposiciones razonables un fenómeno para obtener el orden de magnitud aproximado. Siguiendo con Fermi, él estimó que la potencia era de 10 kilotones cuando hoy día se acepta que fue de entorno a 21. Pensarás que se equivocó un montón (al fin y al cabo el error es del 50%). Pero el orden de magnitud fue el correcto (entre 10 y 100 kilotones). Otro cálculo de servilleta famoso es la ecuación de Drake.

Modelar bajo suposiciones razonables quiere decir que habrá que despreciar muchas cosas que realmente influyen, y aproximar muchas otras «a ojo». Por ejemplo, en el tweet que cito yo no sé a qué altura está el tejado desde el que se deja caer el saco ni su masa. Pero puedo poner números razonables y hacerme una idea. De igual manera no tengo en cuenta que el saco se pueda deformar, que hay rozamiento con el aire, etc. pues estos factores harían que la «cuenta de servilleta» perdiera su sentido, y pasase a ser un problema formal en lugar de una estimación.

Y ¿cómo modelamos la salida de un fotón del Sol?

Pues grosso modo, el Sol es una bola gigante de plasma (núcleos de hidrógeno y helio ionizados, mayormente). Por tanto, está llenito de cargas libres con las que los fotones pueden interactuar. Así que eso de salir en línea recta, atravesando el Sol como Pepe por su casa, lo descartamos.

Realmente los fotones van «rebotando» de carga en carga, dando pasos en direcciones que podemos suponer aleatorias, de manera que no todos los pasos les permiten avanzar en su salida del Sol. El hecho de que reboten, en lugar de poder ser absorbidos y reemitidos por los electrones, es porque las cargas libres no pueden absorber fotones, ya que se violaría la conservación simultánea de energía y momento lineal. Por tanto asumimos que los fotones rebotan sobre las cargas libres del Sol, saliendo despedidas en ángulos aleatorios. A este tipo de movimiento se le conoce en física como «paseo del borracho» o, si queremos ser políticamente correctos, caminata al azar.

¿A qué se parece este fenómeno?

Obviamente a un gas. Y esto nos da la segunda pieza necesaria para nuestra aproximación.

En un gas tenemos un montón de moléculas que (si nos olvidamos del detalle fino) se mueven en direcciones aleatorias, rebotando unas con otras. Un cálculo muy típico en gases es el recorrido libre medio, es decir, la distancia que recorre una molécula sin llegar a chocar con otra.

En el siguiente vídeo se puede ver una trayectoria típica de una molécula de gas:

Con estas dos ideas en mente (y esto es lo bonito de estudiar, te da el bagaje necesario para aplicar lo estudiado a fenómenos nuevos), podemos modelar la salida del fotón como una caminata al azar que se inicia en el centro del Sol, donde la longitud de cada paso es el recorrido libre medio.

Estas son las suposiciones razonables con las que modelaremos el fenómeno. Obviaremos que el fotón pueda interactuar tanto con protones como con electrones (para obtener una fórmula sencillita que veréis al final), quedándonos solo con los electrones. Obviaremos la estructura de capas del Sol, y también obviaremos los cambios de energía que pueda sufrir el fotón en su camino.

Estas cosas sí se tienen en cuenta al hacer simulaciones, donde se buscan resultados precisos (al final las discutiremos). Así que sería todo un logro que un calculín tan basto reproduzca estos resultados, ¿no creéis?

Pues lo consigue. Y la clave está en que al obviar tantas cosas, los errores se compensan.

Caminata al azar

Las matemáticas de la caminata al azar son tan sencillitas que no me resisto a dejarlas fuera (seguiremos al magnífico Feynman).

Imaginad que tenemos un borracho saliendo de un bar que supondremos que es el origen de nuestro sistema de referencia. Su casa está en la misma acera que el bar, por lo que solo tendría que andar en línea recta hasta ella.

El problema es que el borracho puede dar un paso de un metro cada cierto tiempo definido, bien a la derecha o a la izquierda y la cogorza que porta le impide ser dueño de su destino, por lo que los pasos son aleatorios. Tiene la misma probabilidad de ir a derechas que a izquierdas en el siguiente paso: 1/2.

Es sencillo ver que su posición media, \langle x \rangle (los \langle \cdot \rangle son la manera matemática de decir que le hacemos la media a lo de dentro) será la misma desde la que partió, dado que la probabilidad de avanzar en una dirección u en otra es la misma.

Algunos caminos para un paseo del borracho.

De hecho, este problema es mapeable (equivalente) al del lanzamiento de una moneda. Al final (en el límite tendiendo a infinito, o promediando un número finito de lanzamientos infinitas veces), tenemos tantas caras como cruces, pues son sucesos equiprobables.

Lo gracioso de estos casos es que la distribución que siguen se conoce como binomial, que cuando el número de pasos (lanzamientos para las monedas) es lo suficientemente grande, se aproxima a una campana de Gauss (distribución normal).

Sacada de aquí.

Fijaos que la distribución tiene cierta anchura. Es decir, es probable que, si da los suficientes pasos, el borracho consiga llegar a su casa aun si la media de su posición es nula. Esto es porque en la vida real, los experimentos aleatorios sufren fluctuaciones. Pueden llegar a alejarse enormemente de la posición de partida, aun cuando su media sea teóricamente cero. Es como cuando lanzas una moneda: puedes llegar a obtener 5 caras seguidas, por raro que te parezca. Es igual de probable que obtener 3 caras y dos cruces (en ese orden me refiero). Simplemente, a veces vienen rachas que te alejan de la posición media.

Aun recuerdo al profesor de simulación diciéndonos que, debido a estas rachas, jugándonos contra alguien nuestros ahorros a lanzar una moneda y entregando un euro al ganador, si la diferencia de dinero entre ambos es notoria siempre ganará el que más dinero tenga.

Lo que nos gustaría saber es cómo de lejos puede llegar el borracho en una de estas rachas. Y lo que mide la anchura de las distribuciones es la desviación típica:

    \[\sigma=\sqrt{\langle x^2\rangle -\langle x \rangle ^2}\]

Dado que \langle x \rangle=0, la desviación típica coincide con la raíz de \langle x^2\rangle, es decir, con la media cuadrática (root mean square, por seguir con el bilingüe :P), que no es ni más ni menos que la raiz de la media de los cuadrados (por lo que siempre será un número positivo).

Como más adelante nos aparecerá otra vez la letra \sigma para un concepto distinto (no habían más letras para elegir, ¿eh, matemáticos?), utilizaremos x como medida de distancia, que será x=\sqrt{\langle x^2\rangle}.

Nos interesa saber además su valor en función del número de pasos, pues es obvio que dependerá de ello, por lo que le añadiremos un subíndice N: x^2_N. Veamos si podemos calcularlo para un camino aleatorio.

Para ello, actuaremos por inducción.

Está claro que tras un paso la distancia recorrida será x_1=L, con L la longitud del paso (que consideramos fija). Y está claro que para saber el valor de x_N o bien se le suma L al anterior, o bien se le resta, pues puede avanzar o retroceder con igual de probabilidades. Es decir: x_N=x_{N-1}\pm L}. Como queremos la media cuadrática tomamos cuadrados:

    \[x_N^2=x_{N-1}^2 \pm 2 x_{N-1} L+L^2\]

Toca promediar. Dado que la probabilidad de avanzar o retroceder en un paso dado es la misma, es obvio que (en promedio) la mitad de las veces avanzaremos y la otra mitad retrocederemos, por lo que

    \[\langle x_N^2\rangle=\langle x_{N-1}^2\rangle+ L^2\]

Es decir, el más menos se va cuando promediamos.

Ahora viene la magia de la inducción: hemos deducido que, para obtener la desviación cuadrática media tras N pasos, solo hemos de sumarle L^2 a la desviación cuadrática media en el paso anterior. Entonces, tras N pasos, habremos sumado N veces L^2:

    \[\langle x^2_N\rangle= N L^2\]

¡Eso es demostrar algo por inducción! Darte cuenta de que puedes encadenar el primer paso con el paso N de manera lógica.

Por tanto, una medida de la distancia x que puede llegar a tener un camino aleatorio dado (y no la distancia media en sí, que recuerda que es nula) tras N pasos es:

    \[x=\sqrt{N} L\]

Lo guay de este resultado es que se mantiene en dimensiones más altas (aquí se puede ver una demostración vectorial, que es igual de sencilla que la que hemos hecho).

Este resultado está genial. Incluso te serviría para dejar con la boca abierta a los amigos. Si un amigo tuyo cierra los ojos y da pasos de un metro aproximadamente, en direcciones aleatorias (le pides que antes de dar un paso dé un par de vueltas sobre sí mismo), tras N pasos se habrá alejado \sqrt{N} metros de donde partió en promedio. Por ejemplo, tras 36 pasos se habrá alejado en torno a 6 metros.

Claro, a tu amigo puedes pedirle que dé pasos de un metro. El problema ahora es: ¿cuál es la longitud de cada paso que da el fotón entre rebote y rebote?

Recorrido libre medio

Para ello volvemos a la teoría de gases.

Imagina un conjunto de moléculas danzando de aquí para allá caóticamente. ¿Cómo saber la distancia promedio que puede recorrer una molécula entre choque y choque?

Sin duda, esta dependerá fundamentalmente de dos cosas: cuántas moléculas haya en un volumen dado y cuánto ocupen esas moléculas. Es decir, del número de moléculas por unidad de volumen n y de la sección eficaz -el área transversal- de las moléculas \sigma (¿véis porqué teníamos que reservarnos la dichosa letra?)

Si asumimos que solo depende de estas dos cosas, ya podríamos encontrar su expresión sin más que recurrir a análisis dimensional (de hecho, esto mismo sería un «cálculo de servilleta» en sí, te reto a ti a hacerlo). Encima acertaríamos, aunque con matices. Pero hagamos las cosas bien por esta vez.

Para simplificar, nos fijamos en una molécula que se mueve y consideramos a las demás quietas. El recorrido libre medio que encontremos en tal caso se conoce como de Clausius. Si suponemos que todas las moléculas se mueven, entonces se reduce en un factor \sqrt{2} y obtenemos el recorrido libre medio de Maxwell. Este es un poquito más difícil de deducir (y fijaos que esos factores numéricos no te los pilla un análisis dimensional). Como queremos una estimación del tiempo de salida, y no un cálculo exacto, obviaremos factores numéricos rezando para que todas esas omisiones se compensen.

Imagina que cogemos una rodaja del gas, la cual representaremos por un cuadrado de lado a y anchura \Delta x. Esta rodaja está llenita de moléculas del gas situadas aletaoriamente, cada una ocupando un área \sigma, como se puede ver en la siguiente figura:

Si n es el número de moléculas por unidad de volumen, en esta rodaja (cuyo volumen es a^2 \Delta x) habrán n a^2 \Delta x moléculas, ocupando un área total de n \sigma a^2 \Delta x. La razón entre esta área y el área total representará la probabilidad de que nuestra molécula choque al recorrer la distancia \Delta x:

    \[\text{Probabilidad de choque al recorrer}\: \Delta x=\dfrac{n \sigma a^2 \Delta x}{a^2}=n\sigma \Delta x\]

Por otro lado, la probabilidad de chocar al recorrer una distancia \Delta x se relaciona con el recorrido libre medio L como:

    \[\text{Probabilidad de choque al recorrer}\: \Delta x=\dfrac{\Delta x}{L}\]

por definición de recorrido libre medio (que no hemos definido, pero si nos da un promedio de la longitud recorrida entre choque y choque, se entiende que una posible definición es precisamente esta :P).

Por tanto, el recorrido libre medio es:

    \[L=\dfrac{1}{n\sigma}\]

Esta expresión se puede reinterpretar de una manera muy bonita escribiéndola como n\sigma L=1. Así, nos dice que L es precisamente la distancia que hay que recorrer para que las moléculas dispersoras hayan podido cubrir área unidad, por lo cual nos chocaremos con alguna (no es seguro, sigue siendo un promedio).

Encontrando el tiempo

Con todo lo anterior ya podemos encontrar una expresión para el tiempo que tarda un fotón en escapar del Sol.

Aquí sin duda estás pensando: pero bribón, cómo llamas a esto cálculo de servilleta. ¿No ves todas las cosas que has tenido que deducir?

Y te daré la razón sólo a medias.

El tema está en que estas cosas que he deducido aquí (por rellenar entrada, vaya) normalmente son cosas que forman parte del bagaje de un físico. Del armamento con el que enfrenta el mundo. Es como si te pido que estimes la altura a la que dejas caer un objeto conociendo el tiempo de caída. Sacarás de tu bolsillo el famoso \frac{1}{2}g t^2 y chimpún. No te pondrás a derivarlo a partir de la segunda ley de Newton y la ley de la gravitación universal.

Pues así funciona un poco la carrera. Amplía la chistera mágica de ecuaciones que conoces. Pero te enseña a mirarlas con otros ojos además. Ves en ellas patrones, y entiendes bajo qué circunstancias pueden ser aplicables y cuando extrapolables. Cuando yo me planteé este problema simplemente miré cuáles eran las relaciones exactas que estudié en su día y en cinco minutos ya estaba hecho el cálculo.

Pero volvamos a lo de encontrar el tiempo.

Hemos obtenido que la distancia recorrida tras N pasos en un camino aleatorio va como x=\sqrt{N} L. Para escapar del Sol (aquí puedes ver una simulación de un fotón rebotando hasta escapar del Sol), es necesario que x coincida con el radio del Sol R_S\approx700000 km. Por tanto, el número de pasos será:

    \[N=\left(\dfrac{R_S}{L}\right)^2\]

Por otro lado, el fotón entre rebote y rebote va a velocidad c (la de la luz). El tiempo entre colisiones será el recorrido libre medio L entre la velocidad de la luz (cinemática de la facilita). Luego si sale tras N colisiones, el tiempo total será:

    \[T=N\dfrac{L}{c}\]

Introduciendo las expresiones para N y L

    \[T=\dfrac{R^2_S n \sigma}{c}\]

Para terminar de obtener nuestra fórmula, recuerda que n es el número de cargas libres por unidad de volumen. Si suponemos que son solo electrones, n=n_{e^-}/V, con n_{e^-} el número de electrones en el Sol y V\sim R^3_S su volumen (dejamos de lado el 4\pi/3 pues es un cálculo de servilleta, no quieras ahora tener factores numéricos como queriéndotelas dar de preciso cuando son todo estimaciones!)

Así queda:

    \[\boxed{T=\dfrac{ n_{e^-} \sigma}{c R_S}}\]

¿Qué fórmula más bonica, no?

Para finalizar, solo resta estimar el valor del número de electrones en el Sol. Podríamos ponernos pejigueros, y decir algo así como: «el Sol es un 70% hidrógeno y un 30% helio aproximadamente, por lo que deberíamos realizar la media ponderada entre ambas contribuciones…». Pero de nuevo, si estamos obviando el 4\pi/3, ¿qué importa esto? Incluso mejor obviarlo. Con suerte con algunas omisiones te excederás y en otras te quedarás corto, por lo que pueden compensarse.

Por tanto, simplemente supondremos que el número de electrones en el Sol coincide con el número de hidrógenos que habrían en el Sol si éste solo se compusiera de hidrógeno:

    \[n_{e^-}=\dfrac{ m_S}{m_H}\approx 10^{57}\:\text{electrones}\]

Por otro lado, para la sección eficaz cogeremos la sección eficaz de Thomson, que es la que te da la probabilidad de choque entre un fotón de rayos X o gamma con un electrón: \sigma= 6.6\cdot 10^{-29}\: \mathrm{m^2}.

Por fin, el tiempo que tarda un fotón en salir del Sol nos sale:

    \[T\approx 10000\: \text{a\~nos}\]

Otros numerillos que nos podemos entretener en calcular son el número de pasos necesarios para salir, o la distancia recorrida en cada paso:

    \[N\approx 10^{22} \: \text{pasos}\]

y

    \[L\approx 0.57\:\mathrm{cm}\]

Si te aburres, otro cálculo de servilleta te permite estimar que en tu vida darás del orden de 10^8 pasos, luego la luz da diez billones de pasos más que tú en toda tu vida antes de salir del Sol (claro que ella tiene del orden de 10000 años para darlos).

¿Qué tal nos ha ido?

Pues razonablemente bien.

Antes de comparar con lo que se obtiene en simulaciones detalladas, veamos cuáles han sido las fuentes potenciales de errores y algunos aciertos:

  • La energía de los fotones no cambia. Esto es poco realista, pues los fotones que se producen en el centro del Sol como resultado de la fusión de hidrógeno (cadenas p-p) son fotones gamma, mientras que la superficie está a 5000 ºC aproximadamente (la energía ha descendido seis órdenes de magnitud), por lo que esta suposición es poco adecuada. Piensa que la sección eficaz depende de la energía, por lo que aquí nos podemos estar equivocando en varios órdenes de magnitud.
  • No tener en cuenta la estructura de capas. Este es otro gran problema. Realmente los fotones se pasan la mayor parte del tiempo rebotando en la zona radiativa, la más cercana al núcleo y la más densa (donde la temperatura es de millones de grados). Esto reduce el tamaño efectivo del Sol casi a la mitad.
  • Solo electrones como fuentes dispersoras. Esto resulta en cambio una buena aproximación, pues la sección eficaz (tal como se obtiene en teoría cuántica de campos) depende inversamente de la masa al cuadrado de la partícula dispersora. Los fotones interactúan tanto con protones como con electrones, pero es cien millones de veces más probable que choque con un electrón que con un protón, luego no importa no tenerlos en cuenta.

Ahora ya podemos ver qué dicen las simulaciones detalladas.

En estas se obtienen resultados que oscilan entre diez mil años (densidad constante) y millones de años (densidad variable). Por otro lado, el recorrido libre medio depende de la densidad, por lo cual puede oscilar entre centésimas de centímetro y hasta un centímetro. Pero sin duda, hemos logrado el objetivo: llegar al orden de magnitud adecuado.

En resumen

Como imaginarás, en física (y en cualquier otra ciencia) no se trabaja así. Pero por otro lado, es bien frecuente realizar estos cálculos. Me explico.

Cuando un investigador quiere estudiar un fenómeno, es útil conocer de antemano la posible respuesta. El resto es afinar. Pero saber por dónde irán los tiros puede ahorrarle horas de trabajo. Un artículo interesante es: «Never calculate without already knowing the answer!«.

Por otro lado, los cálculos de servilleta son frecuentes en artículos donde se discuten posibilidades. Aquellos que están al borde de la especulación, en la frontera entre lo conocido y lo nuevo. Por ejemplo, la discrepancia entre el valor que predice la QFT para la constante cosmológica y el que medimos surge de un mero cálculo de servilleta. Podemos obtener la entropía de agujeros negros sin más que hacer un sencillo análisis dimensional. Y así podríamos seguir.

Es más, te dejo unos cuantos para que los pienses (puedes buscar los datos que creas oportunos, lo importante es que realices una estimación decente y razonable):

  • ¿A qué distancia máxima puedes escuchar un sonido dado?
  • ¿A qué distancia máxima puedes ver una bombilla?
  • ¿Cuál es la temperatura del Sol?
  • ¿Cuántos años vivirá el Sol aproximadamente?
  • ¿Cuánto tardas en congelarte en el espacio?
  • ¿Cómo estimar cuánto rato hace que murió una persona?

Como digo, estos cálculos guardan mucha física dentro y enganchan. Te dan esa sensación de que la física te permite calcularlo todo (al menos casi todo, si modelas bien). Y la mayoría necesitan muy poquitas mates, más bien buenas ideas.

Eso sí, las expresiones que puedes llegar a necesitar para abordarlos no son moco de pavo. Cuando al querer aproximar un problema tienes que desarrollar por tu cuenta las expresiones porque nadie más lo ha hecho antes, ya no es un cálculo de servilleta, es una investigación hecha y derecha. Aquí hemos visto cómo se obtienen las expresiones que necesitábamos, pero porque me parecía interesante que se quedaran en el blog y poder referenciarlas alguna que otra vez. El camino aleatorio por ejemplo es ubicuo en ciencia, desde el movimiento browniano al mercado de valores (yo por ejemplo lo usaba por aquí en un trabajo -del máster- sobre la expansión de civilizaciones galácticas, ya que tiene como límite la ecuación de difusión).

Si esta entrada te ha parecido muy dura, siempre puedes ver este vídeo divulgativo (esto con animaciones se digiere mejor).

Si por el contrario te has quedado con ganas de leer más sobre el camino aleatorio, el físico Leonard Mlodinow tiene un libro sobre cómo la aleatoriedad está presente en nuestras vidas: The Drunkard’s Walk: How Randomness Rules our Lives.

La mayoría de lo desarrollado aquí (camino aleatorio y recorrido libre medio) lo he sacado del primer volumen de las lectures de Feynman (que puedes leer gratis aquí).

Sobre procesos biológicos donde el paseo del borracho se utilice, hay un libro muy curioso llamado Biological Physics: Energy, Information, Life dedicado a aspectos donde física y biología se tocan, e incluso uno más específico dedicado únicamente al paseo del borracho en biología: Random Walks in Biology (ambos de nivel universitario).

*Los hiperenlaces conducen a la página de amazon para que puedas comprar estos libros si lo deseas. A ti no te costarán más y a mí me darán una (minúscula) comisión. Pero si se los puedes pedir a tu librero de confianza, mejor que mejor.


Y nada más. Sé que esta entrada se ha quedado un poquito técnica (aunque me concederéis que con un nivel de matemáticas de bachillerato se puede seguir). Pero el rapero Kase-o decía que:

«pienso en las canciones que quiero escuchar y las hago»

y cuando comencé este blog me propuse escribir las entradas que yo querría leer. Espero que me sepáis perdonar 🙂

15 comentarios en “¿Cuánto tarda un fotón en salir del Sol?”

  1. Buenas tardes.
    Muy buena entrada tio. La desviacion tipica del random walk por induccion y el recorrido libre medio con la seccion eficaz y la densidad… Ambas calculadas de formas muy elegantes

    Dejo esto por aqui y me voy

    Responder
    • Muchas gracias Antonio!

      Entiendo por la canción que te gusta el giro de los acontecimientos hacia entradas más técnicas? 😛

      Un saludo.

      Responder
          • No te desprestigies.
            Lo que haces esta muy completo, claro, bien estructurado y ademas se hace ameno. Se nota que te gusta la enseñanza. Estoy aprendiendo mas con estas entradas que con papers

  2. Hola, he dejado un comentario con enlace a un vídeo, pero el comentario no aparece, ¿ha ido a parar a la carpeta de spam?
    Saludos.

    Responder
    • Guau, el vídeo es alucinante, tiene una estética muy chula. Muchas gracias por ponerlo Albert!

      pd: en el blog, una vez que apruebo comentarios de un internauta dado ya puede comentar siempre. Lo que acabo de descubrir es que si el comentario tiene un hiperenlace a YouTube debo aprobarlo manualmente (aunque no estoy cien por cien seguro, hace poquito alguien incluyó en un comentario un vídeo a YouTube y no tuve que aprobarlo manualmente).

      pd2: ¿Has visto que por la entrada he colado un hiperenlace a tu blog? 😛

      Responder
      • ¡Pues no lo había visto!, ja, ja, …
        El vídeo que yo he enlazado no se ha incrustado aquí, como el que ha enlazado el comentarista «Antonio» más arriba, ¿sabes por qué?
        Saludos.

        Responder
          • Anonadado me hallo, pues al mismo publicar el comentario sí salía. Esta clase de cosas es lo que nos pasa a los que no sabemos mucho de informática jajajaja. Me informaré a ver, aunque sea por curiosidad 😛

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