En este tema veremos los problemas que quedaban por resolver en la física del siglo XIX y cuya solución dio comienzo a una de las teorías más revolucionarias que se han visto: la mecánica cuántica.

Para ello, primero repasaremos el estado de las teorías en tal momento y, posteriormente, las soluciones aportadas y los físicos que las desarrollaron.

Problemas precursores y limitaciones de la física clásica

A finales del siglo XIX los físicos creían que la física estaba completada, y que el trabajo de generaciones venideras «se hallaba en la sexta cifra decimal», en el sentido de que quedaba era mejorar la precisión.

Tal creencia se derivaba de que la física se había construido sobre lo que parecían tres pilares sólidos: la mecánica, el electromagnetismo y la termodinámica. Incluso la termodinámica parecía poder derivarse aplicando las leyes de la mecánica a los sistemas supuesta su composición de corpúsculos (teoría cinética).

Aun así los físicos sabían que no todo estaba resuelto. Como atestiguan las palabras de Lord Kelvin, quedaban «dos nubes sobre el horizonte» por despejar: determinar las propiedades del éter (supuesto medio material necesario como soporte para las ondas electromagnéticas) y entender cómo aplicar la teoría cinética para obtener los calores específicos de gases y sólidos, pues hasta entonces fallaba.

La solución al primer problema vino en forma de la teoría de la relatividad especial, que encontraba que la velocidad de la luz era la misma para todos los observadores inerciales, algo que ya cumplían las leyes del electromagnetismo, por lo que hubo que reformular la mecánica. Y la solución al segundo problema dio lugar a la teoría cuántica, que podemos resumir en que en ciertos sistemas los intercambios energéticos están cuantizados.

De hecho, el segundo problema afloraba de otras maneras.mei

Problema de la radiación del cuerpo negro

Un cuerpo negro es un objeto que idealmente absorbe toda la energía radiante que incide sobre él. Tal nombre fue acuñado por Gustav Kirchhoff, cuya propia ley establece que si un cuerpo es un buen absorbente de energía también es un buen emisor y viceversa. Es decir, un cuerpo negro no solo es un absorbente perfecto sino también un emisor ideal.

Una manera práctica de obtenerlo es realizar un orificio en una cavidad cuyas paredes estén recubiertas de espejos perfectamente reflectantes. La radiación queda recluida en el interior (ya que si el orificio es pequeño es difícil que la luz vuelva a escapar). De hecho, este es el motivo por el que desde la calle vemos las ventanas de los edificios oscuras, pese a ser transparentes.

Pues bien, el problema es que la curva que nos da la intensidad radiada por el cuerpo negro es una función universal de la temperatura y la frecuencia, independientemente del material en consideración (bajo suposición de que se comporte como un cuerpo negro). Pero si se intentaba explicar esta curva de manera teórica (basándose en la física estadística clásica y el electromagnetismo) no se conseguía.

Los intentos más importantes fueron los de Wien, que explicaba las frecuencias altas, y Rayleigh-Jeans, que explicaban las bajas. Wilhelm Wien además demostró que la intensidad tendría un máximo a una longitud de onda que se relacionaba con la temperatura del cuerpo negro según:

(1)  

En concreto, para nuestro Sol (que se ajusta perfectamente a un cuerpo negro), cuya temperatura superficial es de unos 6000 K, vemos que la longitud de onda cae en torno al centro del espectro visible. Por esto nuestra vista evolucionó para ver en dicho intervalo de longitudes de onda.

En cuanto al intento de Rayleigh y Jeans (el cálculo inicial es de Rayleigh, y posteriormente fue refinado por Jeans), del electromagnetismo se sabía que la densidad de energía en función de la frecuencia y la temperatura de ondas electromagnéticas estacionarias en una caja de paredes reflectantes se relaciona con la energía media de las ondas según:

(2)  

donde los factores numéricos provienen de contar el número de modos normales posibles en la caja y de las polarizaciones de la luz. El problema era cómo calcular el promedio de energía de las ondas estacionarias.

Inspirados en la estadística de Maxwell-Boltzmann, donde la probabilidad de encontrar, en un sistema que contiene un gran número de subsistemas en equilibrio térmico a temperatura , uno con energía es proporcional a (con la constante de Boltzmann), Rayleigh y Jeans supusieron que la energía podría variar continuamente, de manera que el promedio se calcularía como:

(3)  

Sustituyendo (3) en (2), la densidad de energía en función de la frecuencia y la temperatura sería:

(4)  

Dicha expresión ajustaba las curvas experimentales para bajas frecuencias, pero no para altas, pues diverge (de hecho, la energía total radiada, obtenida integrando sobre todas las frecuencias, es infinita, problema conocido como catástrofe ultravioleta).

Por lo que restaba encontrar una manera de explicar teóricamente la curva de densidad de energía del cuerpo negro,o lo que es lo mismo, de intensidad emitida, pues se relacionan según

(5)  

Este problema lo solucionaría el físico Max Planck, dando inicio a la cuántica.

Efecto fotoeléctrico

En 1887 Heinrich Hertz (descubridor de las ondas electromagnéticas predichas por Maxwell) observó que una descarga eléctrica entre dos electrodos ocurría más fácilmente si sobre uno de los electrodos se hacía incidir luz ultravioleta. Esto despertó el interés de otros experimentales, llegándose a establecer los siguientes hechos:

• Cuando placas metálicas pulidas son irradiadas, pueden emitir electrones (nunca iones positivos).
• Que las placas emitan electrones depende de la frecuencia de la luz incidente. En general, habrá una frecuencia umbral que depende del metal en cuestión, antes de la cual no se producen fotoelectrones, por más que se incremente la intensidad de la radiación incidente.
• La magnitud de la corriente, cuando se produce, es proporcional a la intensidad de la luz.
• La energía de los fotoelectrones es independiente de la intensidad de la luz incidente, pero varía linealmente con la frecuencia de esta.

La existencia del efecto fotoeléctrico se podía entender bajo el electromagnetismo clásico, pues la luz, al ser una onda electromagnética, hará oscilar a los electrones del metal pudiendo llegar a arrancarlos. Pero la dependencia con la frecuencia no se puede explicar bajo tal paradigma. La fuerza que sentirían los electrones es proporcional al campo eléctrico , y este a la raíz cuadrada de la intensidad de la luz, luego a mayor intensidad mayor fuerza sentirían los electrones y deberían ser arrancados independientemente de la frecuencia, pero esto no era lo que ocurría. Por otro lado, el tiempo necesario para que el electrón adquiera energía suficiente para ser arrancado puede rondar el minuto, mientras que experimentalmente se comprueba que el retardo entre la incidencia de luz y la emisión de fotoelectrones es despreciable.

Este problema lo solucionaría un joven Einstein el mismo año que introducía la relatividad especial, ganando además el premio Nobel por ello en 1921.

Espectroscopía

Un tercer problema importante que los físicos de finales del siglo XIX y principios del XX tuvieron que afrontar fue la explicación de los espectros atómicos. Se había descubierto en el s. XIX que los gases emitían y absorbían radiación solo en determinadas frecuencias definidas. A tal conjunto de frecuencias se le conoce como el espectro del elemento del gas en cuestión. Esto se volvió un potente método de análisis químico y de descubrimiento de nuevos elementos tales como el Helio, descubierto por estudios del espectro del Sol. Pero la explicación de porqué las frecuencias eran ésas se resistía.

Para comprender sus dificultades a la hora de entender el espectro atómico, debemos conocer qué modelos atómicos se sucedieron. Tras el descubrimiento del electrón por Thomson, su modelo atómico del pudding de pasas cobró fuerza: se imaginaba que el átomo era una masa positiva con los electrones incrustados en ella. Los posteriores experimentos de Ernest Rutherford en la Universidad de Manchester entre 1909 y 1911 cambiarían esta visión. Rutherford concluyó que la carga positiva del átomo esta concentrada en un pequeño y pesado núcleo, alrededor del cual la mucho más ligera carga negativa en forma de electrones orbitan.

El problema surge de que la electrodinámica clásica (las ecuaciones de Maxwell) predice que una partícula acelerada radia energía en forma de ondas electromagnéticas, de tal suerte que se precipitaría describiendo una espiral contra el núcleo en un tiempo tan corto que la materia tal y como la conocemos no existiría pues sería inestable en nuestra escala temporal.

Este problema lo solucionaría poco después el físico Niels Bohr introduciendo la cuantización de Planck en los niveles energéticos del átomo.

Teoría cuántica antigua

En este apartado veremos la solución a los problemas revisados en el anterior.

Radiación de cuerpo negro: intercambios energéticos cuantizados

La solución al problema de explicar teóricamente la intensidad del cuerpo negro vino de la mano de Max Planck.

Planck se dio cuenta de que los datos eran bien ajustados por la siguiente curva:

(6)  

donde era una nueva constante que se acabó por conocer como constante de Planck, denominada por el propio Planck como «cuanto de acción» (Wirkungsquantum en alemán) precisamente porque sus unidades son las de la acción de un proceso físico (energía por tiempo).

Dicho ajuste fue empírico. En aras de demostrar su expresión y, en un acto de desesperación como el mismo confesó más adelante, supuso que los átomos de la caja se comportaban como osciladores armónicos con niveles de energía discretos de valor

(7)  

En tal caso, los intercambios de energía entre las ondas estacionarias del campo EM y las paredes son discretos, por lo que la energía media de las ondas electromagnéticas ya no se obtiene integrando sobre un espectro continuo, sino como una suma infinita:

   

donde . Podemos reescribir tal expresión como

   

Ahora bien, tal suma es factible de realizar usando que :

   

Sustituyendo en la expresión para la energía media obtenemos:

(8)  

Sustituyendo (8) en (2) obtenemos la relación de Planck (6).

Por último, es interesante además obtener una expresión para la intensidad total radiada en todas las frecuencias. Integrando (obtenida a partir de la ecuación (5)):

(9)  

con

(10)  

La ecuación (9) se conoce como ecuación de Stefan-Boltzmann, y nos dice que la intensidad total radiada por un cuerpo negro a temperatura solo depende de la cuarta potencia de su temperatura.

Por otro lado, de la ley de Planck se deduce la ley de desplazamiento de Wien sin más que derivar para encontrar el máximo (aunque dicho máximo se debe encontrar numéricamente pues la ecuación no es analítica), y en los rangos y se reduce a las encontradas por Rayleigh-Jeans y Wien respectivamente.

Efecto fotoeléctrico y efecto Compton: luz cuantizada

La cuantización de Planck se aplica a la materia que absorbe y emite energía, no a la radiación en sí. Sería Albert Einstein quien, en 1905, propondría que la energía de una radiación de frecuencia debía ser un múltiplo entero de veces esta frecuencia en su artículo «Sobre un punto de vista heurístico concerniente a la producción y transformación de la luz«, y conseguiría así explicar el efecto fotoeléctrico.

Pese a elogiar la teoría ondulatoria de la luz por sus buenos resultados, añade que es perfectamente concebible que, dado que las observaciones ópticas se refieren a promedios temporales antes que a valores instantáneos, la teoría de la luz (puesto que opera con funciones espaciales continuas) falle al aplicarse a los fenómenos de emisión y transformación de la luz. Además, manifestaba su creencia de que las observaciones de la radiación de cuerpo negro, fotoluminiscencia, producción de rayos catódicos (electrones) por luz ultravioleta, etc. podrían ser explicadas fácilmente si se supone que la energía de la luz está distribuida por el espacio de forma discontinua.

Einstein introduce así la cuantización en la propia radiación electromagnética, no únicamente en sus intercambios. Tales cuantos de energía se acabarían conociendo por el nombre de fotones (puesto por el químico Lewis) y su energía se relacionaría con la frecuencia según:

(11)  

La intensidad de un haz de luz estaría relacionada con la densidad de fotones, por eso aunque aumente la intensidad, si no se alcanza la frecuencia umbral no se arrancan electrones. Una vez se alcanza la frecuencia umbral, el exceso de energía de un fotón dado se convierte en energía cinética del electrón:

(12)  

En la literatura es habitual encontrar la denominación de <<trabajo de extracción>> para el término al ser la mínima energía necesaria para extraer un electrón de la superficie del metal.

Pese a que dicha expresión explicaba todos los puntos señalados en el apartado sobre el problema del efecto fotoeléctrico, la comprobación experimental se demoró años, pues la comunidad de físicos se resistía a volver a aceptar el carácter corpuscular de la luz. Fue tal vez el experimento de Arthur Compton el que permitió asentar definitivamente la naturaleza de los fotones como partículas.

Lo que Compton hizo fue hacer incidir rayos X sobre un blanco de grafito y estudiar la radiación dispersada para determinar las longitudes de onda presentes en ella. Comprobó que siempre obtenía dos máximos bien definidos al gráficar la intensidad frente a la longitud de onda para distintos ángulos entre la radiación incidente y la dispersada: uno para la misma longitud de onda que la radiación incidente y otro de longitud de onda mayor (siendo máxima la diferencia cuando la radiación era dispersada a ).

La teoría del electromagnetismo clásica podía explicar que la radiación dispersada tuviera la misma longitud de onda que la incidente, pues haría oscilar a los electrones del blanco con su misma frecuencia y estos a su vez radiarían ondas electromagnéticas de la misma frecuencia. Faltaba explicar por qué se producía además radiación de mayor longitud de onda.

Para ello debemos estudiar un choque entre fotón y electrón (que podemos considerar como libre debido a la gran energía de los rayos X en comparación con la energía de ligadura de los electrones). Dado que la velocidad adquirida por el electrón puede ser grande, echaremos mano de las expresiones relativistas.

Supongamos un fotón con momento y energía que incide sobre un electrón en reposo (energía ), como en la figura inferior a). Al dispersarse, el electrón adquirirá una energía y el momento del fotón se reducirá a (figura b).

La conservación de la energía obliga a que

(13)  

Ahora bien, la conservación del momento nos lleva a que

   

De la figura c es fácil ver que el ángulo entre y es precisamente el ángulo de dispersión , luego

(14)  

Sustituyendo (14) en (13) y desarrollando el miembro izquierdo llegamos a que:

   

Dividiendo todo por y como (relación de De Broglie, aunque para los fotones ya se conocía)

(15)  

ecuación que nos dice la diferencia entre las longitudes de onda incidentes y dispersadas en función del ángulo de dispersión. Dicha ecuación también explica el pico de igual longitud de onda a la incidente: se debe a choques con electrones altamente ligados, siendo imposible arrancarlos, por lo que el choque es con todo el átomo: la gran masa del átomo hace que en este caso (obtenido cambiando por la masa del átomo en la ecuación anterior) sea despreciable.

Átomo de Bohr: energías cuantizadas

Planck introdujo la cuantización en las transferencias de energía. Einstein a la radiación en sí. Bohr fue un paso más allá, e introdujo la cuantización en los propios niveles energéticos atómicos para evitar que los átomos fueran inestables, obteniendo un modelo para calcular los mismos y explicando los espectros atómicos.

Bohr propuso como postulados que:

• El momento angular del electrón en su órbita es un número entero de veces cierta constante . Ahora sabemos que , pero Bohr dedujo esta relación como veremos, así que temporalmente supongámosla otra constante más:

(16)  

Las órbitas cumpliendo esta condición son estables y los electrones no radian al mantenerse en ellas, por lo que no colapsan hacia el núcleo.

• Las energías de los átomos están cuantizadas, en el sentido de que solo se dan ciertas energías definidas (el conjunto de energías posibles de un átomo sería pues discreto), y que los átomos transitaban entre uno y otro estado mediante la absorción o emisión de paquetes discretos de energía: los cuantos de Einstein. La frecuencia de un fotón aborbido o emitido por el átomo en una transición entre los niveles será

(17)  

Esto explicaba los espectros atómicos: una línea (clara u oscura) en el espectro se debe a átomos emitiendo u absorbiendo energías para excitarse o desexcitarse entre niveles concretos. Bohr además ofreció un método para calcular las energías , al menos para un electrón en un campo coulombiano como el átomo de hidrógeno, o el de helio ionizado, etc, para el cual interpretaríamos que las energías del átomo son las propias energías mecánicas del electrón entorno a éste, que describe órbitas circulares de radio estables sin radiar energía.

Por la segunda ley de Newton junto con la fuerza de Coulomb y por la ecuación para la energía:

(18)  

se obtiene que

(19)  

por la relación de Einstein entre energía y frecuencia, la frecuencia de un fotón emitido en una transición de un estado a otro es

(20)  

Para encontrar , Bohr apeló al principio de correspondencia por el cual los resultados de la física clásica debían aparecer para órbitas grandes ( grande). Para y , (20) nos da

   

mientras que (19) nos da para la frecuencia clásica

   

por lo que por la electrodinámica clásica, que establece que la radiación emitida tendría la misma frecuencia que el electrón en su órbita, se tiene:

(21)  

Usando el valor de obtenido a partir de la ley de Planck, Bohr pudo obtener valores numéricos para el radio de las órbitas y la energía del electrón:

(22)  

Los niveles de energía inferidos experimentalmente de la espectroscopía estaban en gran acuerdo con la expresión anterior.

Como hemos visto la constante reducida de Planck se obtiene exigiendo que a tamaños macroscópicos la nueva teoría reproduzca lo anterior, pero de hecho para órbitas pequeñas las frecuencias de los cuantos emitidos no coinciden con la del electrón. Por ello la teoría de Bohr representa un paso más allá de la físca clásica.

La teoría de Bohr supuso un gran éxito, no solo por la explicación del espectro de átomos hidrogenoides (con un solo electrón), sino porque predijo series no observadas aun por el momento (Lyman, Brackett y Pfund) y posteriormente encontradas y encontró una expresión para la constante de Rydberg en función de otras constantes fundamentales.

Mecánica cuántica

Hasta ahora hemos repasado la teoría cuántica antigua, es decir, las propuestas que hicieron los físicos para solucionar los problemas que la física clásica no podía explicar pero intentando no romper demasiado con la misma. Estas soluciones tuvieron lugar durante las dos primeras décadas del siglo XX. En la tercera, una nueva generación de físicos entre las que se cuentan De Broglie, Heisenberg, Schrödinger y Dirac recogerían el testigo de sus precedesores y sentarían las bases de una nueva mecánica: la mecánica cuántica.

Dualidad onda-corpúsculo: la hipótesis de De Broglie

Desde Maxwell, la luz se ha entendido como un fenómeno ondulatorio: una onda de campos eléctricos y magnéticos. Tras Eisntein y Compton, se vio claramente que también se manifestaba como una partícula; un fotón. No es de extrañar que pronto se extrapolase tal comportamiento en la dirección onupuesta. ¿Podían manifestar comportamiento ondulatorio lo que siempre se había entendido como partículas? Esta fue la propuesta del francés Louis De Broglie en su tesis.

De Broglie se baso tanto en argumentos heurísticos (encontrar una dualidad en todas las partes en las que fuera importante) como de analogías entre la mecánica teórica y la ondulatoria para proponer que a toda partícula se le asocia una onda de materia u onda piloto de longitud de onda y frecuencia relacionadas con su momento y energía como:

(23)  

Es más, de Broglie incluso propuso comprobar su hipótesis mediante la observación de fenómenos difractivos en la dispersión de electrones por un cristal. Tal experimento fue llevado a cabo por Davisson y Germer con éxito, lo que derivó en que de Broglie obtuviese el nobel.

Como curiosidad, de la hipótesis de de Broglie se deduce la cuantización del momento angular del electrón en las órbitas: si este se comporta como una onda, deben haber un número entero de semilongitudes de onda en una órbita, lo que implica que . Como , entonces o lo que es lo mismo .

Mecánica ondulatoria de Schrödinger

Siguiendo con las ideas ondulatorias de de Broglie, bajo las cuales los físicos de la época se sentían cómodos (en el sentido de que trataban con ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, en contraposición a los métodos algebraicos que Heisenberg, Born y Jordan introducirían), Erwin Schrödinger encontró una ecuación para tales ondas de materia, a las que denominaban funciones de onda, iniciando así la mecánica cuántica ondulatoria.

Para esto se fijó que, para una onda plana, ,(fijémonos que según de Broglie se cumple que y ) se tiene que:

(24)  

por lo que se extrae el principio de correspondencia de la mecánica cuántica:

(25)  

Así, como clásicamente:

   

cuánticamente:

(26)  

Esta ecuación, denominada ecuación de Schrödinger, resulta en una ecuación de valores propios cuando se aplica a sistemas como el de átomos hidrogenoides, y devuelve exactamente la misma relación para las energías y hace que la cuantización resulte de manera natural, al igual que ocurría con los estados vibratorios de una onda estacionaria (cosa que satisfizo a los físicos menos dispuestos a romper con el paradigma clásico). De manera general, cuando los estados no sean estacionarios (no tengan energía definida) se escribirá:

(27)  

Por otro lado, los físicos comenzaron a aceptar el carácter aleatorio de las medidas microscópicas (ya se sabía que las transiciones atómicas tenían tal carácter). Einstein incluso había introducido una interpretación probabilista para la detección de un fotón, siendo esta proporcional al promedio del cuadrado del campo eléctrico (que es proporcional a la intensidad de la onda electromagnética). Para interpretar el significado de las ondas asociadas a las partículas, Max Born propuso que lo que tenía sentido físico no era la función de onda en sí, sino su módulo al cuadrado:

(28)  

ya que la función de onda podía ser un número complejo en general.

Dicho módulo cuadrado representa la densidad de probabilidad de encontrar a la partícula cuya onda asociada es en el punto y en el instante . Como buena densidad de probabilidad, debe ocurrir que

(29)  

condición conocida como normalización de la función de onda.

Se conectó así la física con la probabilidad, hiriendo las interpretaciones deterministas de la mecánica y ganándose el rechazo de muchos físicos (entre ellos, Einstein, de Broglie y el propio Schrödinger), pero los experimentos cada vez aportaban más pruebas en concordancia con dicha interpretación, por lo que acabó por imponerse.

Principio de incertidumbre de Heisenberg

Antes incluso que Schrödinger, Werner Heisenberg ya había presentado un nuevo acercamiento a la física cuántica, que se ha venido en conocer como mecánica cuántica matricial.

Heisenberg propuso que los físicos deberían preocuparse solo de aquellas cosas medibles, tangibles. El resto no deberían aparecer en sus ecuaciones. Por eso mismo rechazaba el concepto de trayectoria. No desarrollaremos aquí su teoría (que de hecho, pese a ser correcta, ganó pocos adeptos debido a su complejidad), pero es interesante reseñar que desde esta filosofía (no preouparse por aquello que no se puede medir) llegó a su principio de incertidumbre.

En este se encuentra que ciertas parejas de variables (aquellas que en la mecánica analítica se conocen como variables conjugadas) cumplen que el producto de sus incertidumbres (desviaciones estándar) debe ser siempre mayor o igual a un medio de la constante de Planck reducida:

(30)  

Entre estas variables se cuentan la posición y el momento pero también el momento angular y el ángulo de rotación o la energía y el tiempo .

De hecho, la mecánica matricial dio comienzo a la entrada del análisis funcional en física. A cada magnitud observable se le asocia un operador (que se puede representar con una matriz), y aquellos operadores (matrices) que no conmuten entre sí cumplirán un principio de incertidumbre. Por ejemplo, el conmutador del operador posición y el operador momento es . Bajo esta perspectiva, podemos matizar que entonces las variables no cumplen el principio de incertidumbre en sentido estricto, pues aunque la energía tenga operador asociado (el hamiltoniano ) el tiempo no tiene operador asociado (no se puede construir un operador tiempo).

También, bajo esta perspectiva, la ecuación de Schrödinger se puede escribir como:

   

Conclusiones y fenómenos que corroboran la mecánica cuántica

En este tema hemos repasado los fenómenos que la física clásica no era capaz de explicar, las respuestas que dieron los primeros físicos (teoría cuántica antigua) y las respuestas de los físicos de la tercera década del siglo XX, que inauguraron la mecánica cuántica, quizá (junto con la teoría de la relatividad) la mayor revolución de la física del siglo XX. Y es que la mecánica cuántica está en todo, pues el mundo es cuántico.

Medimos el espectro de cuerpo negro no solo en hogueras o nuestro sol, también en el fondo cósmico de microondas (luz que llena el universo y se produjo 380000 años tras el Big Bang) o (presumiblemente) en la radiación Hawking de los agujeros negros.

Usamos el efecto fotoeléctrico en fotomultiplicadores, sensores de imágenes, aparatos de visión nocturna e incluso en las puertas que se abren automáticamente en los centros comerciales y supermercados. Incluso el efecto fotoeléctrico inverso (regresar electrones a una placa metálica) libera rayos X que pueden ser usados con fines médicos. Por otro lado, el conocimiento de los espectros atómicos nos permite caracterizar los elementos, saber la composición de estrellas y planetas lejanos, o fabricar luces halógenas que iluminan nuestras casas.

La naturaleza ondulatoria de los electrones permite que los usemos en microscopía electrónica, que goza de muchos más aumentos que la óptica dado que los electrones pueden tener longitudes de onda (via de Broglie) mucho menores que las de la luz, y la naturaleza probabilista de la función de onda permite usar microscopios aun más potentes basados en el efecto túnel.

La mecánica cuántica nos ha llevado a entender la materia profundamente (la constitución de átomos y moléculas), y ha producido avances tecnológicos inimaginables: desde los transistores que han minituarizado nuestros aparatos a ordenadores cuánticos y superconductores que usaremos en el futuro cercano.

En resumen, la mecánica cuántica nos ha llevado hasta donde hoy estamos.