El experimento de la doble rendija

La mecánica cuántica fue toda una revolución que no solo afectó a la física, sino al resto de ciencias. De repente, podíamos calcular los niveles de energía de los átomos, explicar los espectros atómicos, explicar los enlaces entre moléculas… pero mucho de esto vino asociado a dolores de cabeza. Y es que la mecánica cuántica es rara. Al menos en tu primer encuentro con ella. En este artículo veremos el experimento de la doble rendija tal como lo explicó Feynman en sus lectures, del cual aseguraba que contiene el corazón de la mecánica cuántica, el único misterio. Un misterio que no se disipa explicando cómo funciona. Solo podemos ver cómo funciona, e intentar asimilar con ello las peculiaridades de la mecánica cuántica.

ONDAS VS CORPÚSCULOS

Durante siglos hemos distinguido dos comportamientos distintos en los fenómenos físicos: el corpuscular y el ondulatorio.

Los fenómenos en los que tenemos un objeto material de contorno definido, es decir, localizable en un sitio, se explican de manera corpuscular. A este objeto le asociamos un punto representativo, y su evolución está perfectamente definida por una trayectoria concreta. Por ejemplo, cuando lanzamos una piedra o disparamos una bala podemos describir perfectamente las parábolas que trazan.

Los fenómenos ondulatorios en cambio no se prestan a tal descripción. No son localizables, su naturaleza es extensa. No podemos asociar un punto a una ola, o a un sonido, sino todo un frente de ondas (puntos en estado de igual perturbación). Las ondas son así perturbaciones de algún tipo que se propagan. Por ejemplo, las olas son perturbaciones de la altura del mar (sin movimiento de ninguna partícula de agua, solo se transmite energía!), el sonido es una perturbación de presión del aire, etc.

Esto confiere a las ondas comportamientos peculiares, pero intuitivos. Por ejemplo, las ondas se difractan al encontrar un obstáculo. Es decir, la forma del frente de onda cambia, como podemos ver con las olas en la siguiente imagen:

De igual manera, las ondas interfieren (como ya vimos en la entrada del arco iris ). Esto se explica por el hecho de que las perturbaciones pueden llegar a un punto dado en fase (ambas en su punto más alto, interfiriendo constructivamente) o en oposición de fase (una en su punto más alto, y la otra en el más bajo, interfiriendo destructivamente) con todo un espectro continuo de intensidades entre ambos casos. Por ejemplo, cuando una onda plana (frentes de onda planos) llega a un obstáculo con dos finas rendijas en él, ambas se convierten en fuentes de ondas secundarias circulares las cuales pueden interferir:

Hacia el 1800, la luz se entendía como una partícula. Esto se debía principalmente a las figuras de peso de Newton y Descartes (a ver quien era el listo que se oponía). Pero en 1803 Thomas Young demostró que la luz se comportaba como una onda, realizando un experimento que hoy conocemos como el experimento de la doble rendija. En él, un haz de luz se difracta en dos finas rendijas cuya anchura es del orden de la longitud de onda (mínima distancia espacial entre dos puntos de la onda en el mismo estado de oscilación) de la luz, para después originar en una pantalla un bonito patrón de interferencia. En el siguiente vídeo puedes ver una demostración con ondas en agua en la que el patrón de interferencia se aprecia claramente.

Vista la esencia de cada comportamiento, veamos un pequeño experimento mental.

LANZANDO BALAS

¿Qué pasa si lanzamos balas (o pelotas, o cualquier otro objeto cuya naturaleza corpuscular no quede en duda) contra una pantalla en la que hayan dos rendijas del tamaño de éstas? Es decir, con un montaje como el siguiente:

¿Cuál es la probabilidad de que una bala llegue a una distancia del centro de la pantalla? Supongamos que tenemos balas indestructibles, luego a cada punto llega una bala entera o no llega nada, y supongamos que la pistola dispara a velocidad constante, con lo que la probabilidad de que llegue a la posición se obtiene contando el número de balas en tal lugar entre el total de balas en la pantalla.

Con ambos agujeros abiertos, se obtiene la curva . ¿Por qué tiene un máximo en el centro, donde no hay rendijas alineadas con la fuente? La respuesta es sencilla: si cerramos una de las rendijas, por ejemplo la 2 y repetimos el experimento, obtenemos una curva como . Esta curva posee un máximo para la trayectoria rectilínea que une la pistola y la rendija con la pantalla, ya que tal trayectoria es la que siguen las balas. Algunas desafortunadas en cambio chocan con las paredes de la rendija, desviándose de su trayectoria y dotando de cola a nuestra distribución de probabilidad. Ahora entendemos la distribución con ambos agujeros abiertos: . ¡La distribución de probabilidad con ambos agujeros abiertos es simplemente la suma de las distribuciones de probabilidad de uno abierto, otro cerrado!

Denominamos a este comportamiento como “ausencia de interferencia” por razones que ahora veremos.

LANZANDO ONDAS

Con las ondas ya sabemos qué va a pasar ¿no?

Estas, por contra, no permiten que el patrón de intensidad se consiga sumando los patrones individuales.

Ahora hablamos de intensidad, en lugar de probabilidad, aunque ambos conceptos son intercambiables en esta discusión. La razón es que las ondas no llegan en paquetes. Si realizásemos este experimento con olas del mar, una manera de medir esta intensidad sería construyendo una playa con crecimiento gradual de la altura de la arena. La erosión del agua en ciertas zonas la haría decrecer, y el cuadrado de la altura erosionada sería proporcional a la intensidad de las ondas.

¿Por qué? Como hemos dicho, las ondas oscilan, lo que permite que sus contribuciones se puedan sumar pero también cancelar. Por tanto, con ambas rendijas abiertas muestran un bonito patrón de interferencia. De ahí que el comportamiento de las balas lo calificáramos así.

Una manera de ver esto es la siguiente. Las ondas más sencillas son las armónicas, aquellas cuya oscilación es periódica, y por tanto podemos describir la amplitud de la onda en un punto con la siguiente ecuación:

   

donde tiene que ver con cúantas ondas caben en una longitud dada, con la frecuencia a la que oscilan, es la distancia desde la fuente de la onda y el tiempo . Lo interesante es que podemos reescribir lo anterior como una exponencial compleja (gracias, Euler):

   

con un número complejo (que depende de la posición), y simplemente tomar parte real del número complejo anterior cuando nos interese. La intensidad de una onda es proporcional a su amplitud al cuadrado, así que , y (la exponencial compleja tiene módulo unidad, así que desaparece en la suma. Esto es gracias a que la frecuencia de las ondas es la misma por provenir de la misma fuente, condición conocida como de “coherencia”). Ahora bien: por ser números complejos, resulta que

   

donde es el ángulo entre ambos números complejos en el plano complejo. Tal ángulo se denomina diferencia de fase, ya que depende de la distancia de cada rendija al punto de la pantalla, y por tanto se traduce en que una onda queda desfasada respecto a la otra en su recorrido. Como depende de la posición, el coseno de nos da el patrón de interferencia. Como vemos, la intensidad puede tomar cualquier valor, pues las ondas no llegan en paquetes a la pantalla. Para ondas, . Decimos que “hay interferencia”.

¿LANZANDO ELECTRONES?

Ahora viene la parte graciosa. Repitamos el experimento con electrones.

Disponemos una lampara con filamento de tungsteno que al calentarse puede emitir electrones, y la rodeamos por una caja de algún metal puesto a potencial positivo, de manera que los electrones son atraídos hacia este. Dejamos una abertura en la caja apuntando hacia una pantalla con rendijas en ella:

Con nuestro pensamiento clásico, pensamos que los electrones seguirán trayectorias rectilíneas. En la pantalla situamos alguna clase de detector, tal como un contador geiger, de esos que hacen “clic, clic” con cada partícula detectada.

Lo primero que notamos es que la intensidad de los “clic” es siempre igual. No se tienen medios clics, ni clics más fuertes que otros. En analogía con las balas, decimos que los electrones “llegan en bultos”. La probabilidad ha de obtenerse contando los electrones que han llegado a cierto punto y dividiendo por el total, también igual que con las balas.

Pero pasado un rato lo que obtenemos es algo como , totalmente equivalente a . ¿Qué pasa aquí?

LOS ELECTRONES INTERFIEREN

Como científicos de mentalidad clásica que somos, afirmamos: “Los electrones son partículas. Deben pasar por una rendija u otra”.

Nada, nada, imbuidos de espíritu científico cerremos primero una rendija y después otra y observemos qué pasa. Tras cerrar la rendija 2 obtenemos la distribución , y seguidamente tras cerrar la rendija 1 obtenemos . Claramente

   

Y como hombres de ciencia, no nos queda otra que agachar la cabeza, tragarnos nuestras palabras y afirmar: “hay interferencia”. Los electrones interfieren.

Aun alguno saldría diciendo: “quizá se parten por la mitad, y entonces…” nada nada, siempre llegan en bultos idénticos. “Quizá primero pasen por una rendija, luego por otra describiendo una trayectoria complicada…” pero fijémonos que cuando ambas están abiertas existen puntos fijos donde la probabilidad es prácticamente nula. Por contra, tras cerrar una rendija los electrones sí pueden llegar a dichos puntos. Luego no es cierto que sea necesario recurrir a tal artificio.

Estos experimentos se han hecho, y lo que se obtiene es así:

Ya os podéis imagináis como se sintieron los científicos de principios de siglo XX cuando este comportamiento se hizo evidente:

De hecho, fijémonos que el patrón de interferencia es el mismo que para ondas. En mecánica cuántica lo que hacemos es asignar a cada evento (especificación de condiciones iniciales y finales tales como “electrón sale de la lámpara, atraviesa la rendija 1 y llega a la pantalla en ”) un número complejo , denominado amplitud de probabilidad, cuyo (módulo al) cuadrado es la probabilidad de que determinado evento ocurra. Para las ondas esto era un artificio, pero resulta que para los electrones ha de ser así.

Para obtener la amplitud de probabilidad de que un determinado evento ocurra, por ejemplo:

electrón sale de lámpara, se detecta en

se deben sumar primero las amplitudes de probabilidad para todas las maneras posibles indistinguibles en las que puede ocurrir:

electrón sale de lámpara, pasa por 1 y se detecta en

electrón sale de lámpara, pasa por 2 y se detecta en

Entonces, .

Posteriormente la probabilidad se encuentra haciendo el módulo al cuadrado. Es fácil ver que como y , entonces

   

En esta línea de pensamiento, el francés Louis De Broglie; precursor de la dualidad onda-corpúsculo, afirmó que todas las partículas se comportaban como ondas cuya longitud de onda es inversamente proporcional al producto de la masa por la velocidad (a.k.a. el momentum de la partícula):

   

con la constante de Planck, cuyo valor es muy, pero que muy pequeño. Los objetos cotidianos por tanto no podrían exhibir comportamiento ondulatorio, al ser muy masivos, pero sí lo harían las partículas como los electrones. Pronto se encontraron patrones de difracción de otras partículas, como neutrones, reafirmando esta idea, pero también encorsetando a los científicos en esta línea de pensamiento.

Los electrones interfieren, pero siempre llegan en bultos idénticos. Nos podemos sentir tentados de decir algo como que “a veces son ondas, a veces son corpúsculos”. Esta idea, llevada a su extremo es la dualidad onda-corpúsculo. Aunque tampoco es buena idea seguir por ahí. En física no podemos hablar acerca de qué son las cosas, solo de cómo se comportan. A veces es útil restringirnos a un paradigma afirmando “los electrones se comportan como ondas”, y toda la teoría ondulatoria nos sirve para explicar este experimento. Pero no son unas veces una cosa, y otras otra.

El problema quizá es querer entender un paradigma totalmente nuevo en términos de objetos de paradigmas previos, y la realidad no tiene por qué prestarse a ello. De hecho, no lo hace. Diremos pues “los electrones no son ondas ni partículas”.

¿Y SI LOS OBSERVAMOS?

¿Por qué no tratamos de observar por qué rendija pasan, diréis? Bueno, pues nada, pongamos una fuente de luz entre ambas rendijas y observemos de cerca.

Ahora cada vez que detectamos un “clic” por la llegada de un electrón, casi simultáneamente observamos un destello proveniente de una de las dos rendijas, ocasionado por la dispersión de un fotón con un electrón (pues como sabemos, los campos electromagnéticos interactúan con partículas cargadas).

Lo primero que notamos es que todos los destellos son igual de fuertes. Claro, como ya sabíamos los fotones se comportan como partículas y es normal que todos los destellos sean igual de intensos si todos los fotones los recibimos como bultos idénticos.

Como los destellos provienen o de una rendija o de la otra, los electrones están pasando solo por una de las dos.

Contemos ahora los electrones que llegan a la pantalla tras ver un destello en la rendija 1. Dividiendo por el total obtenemos la probabilidad para el evento “electrón sale de la lámpara, pasa por la rendija 1 y llega a ”. De igual manera obtenemos .

Tras dejar el tiempo correr, el patrón final obtenido es el mismo que cuando disparábamos balas, y se puede obtener sumando los patrones individuales. Si tratamos de observar a los electrones, vemos que sólo pasan por una rendija pero entonces dejan de interferir.

Si apagamos la luz y repetimos el experimento, volvemos a obtener un patrón de interferencia. Esto nos asegura que es el hecho de intentar observar al electrón lo que destruye la interferencia. Pero no porque haya de existir un ser consciente que observe al electrón. Simplemente la interacción fotón-electrón produce una perturbación tal que puede mandar al electrón a un punto donde en ausencia de luz había un mínimo de probabilidad.

Pero eso tiene fácil solución, ¿no? Bajemos la intensidad de la fuente. Ahora lo que ocurre es que a veces llega un electrón a la pantalla pero no vemos un destello de luz, mientras que otras veces sí. Esto es porque la intensidad de la luz no tiene que ver con la energía de los fotones, sino con el número de estos que nos llegan por unidad de tiempo. Por eso a veces algunos electrones se escapan sin dispersarse con un fotón. Obtenemos así un patrón mixto entre y , ya que los electrones que no han sido dispersados siguen interfiriendo pero los dispersados no.

Si queremos que los empujones de los fotones sean menores, lo que tenemos que hacer según de Broglie es aumentar su longitud de onda (disminuyendo así el momento, que es una medida de cuán fuertes son los choques).

Conforme aumenta, nada cambia. Los destellos abarcan cada vez una región mayor, pero el patrón sigue sin exhibir interferencia. No es hasta que la longitud de onda es del orden de la separación entre rendijas que recuperamos el patrón de interferencia. Es decir, hasta que los destellos no son lo suficientemente anchos como para no poder asegurar por cuál rendija paso el electrón, no obtenemos patrón de interferencia. A partir de ahí, lo volvemos a obtener gradualmente.

Esto es el principio de indeterminación en su versión más general: no se puede construir un experimento tal que sea capaz de asegurar por qué rendija pasa el electrón sin destruir a su vez el patrón de interferencia. Heisenberg lo enunció de una manera distinta: el producto de la incertidumbre sobre la posición del electrón por la incertidumbre en su momento lineal siempre es mayor que la constante de Planck.

Con lo explicado ya podemos entender porqué observar a los electrones destruye el patrón de interferencia. Recordemos que la amplitud de probabilidad de un evento se obtenía sumando una amplitud de probabilidad por cada manera posible e indistinguible en la que el evento puede tener lugar. Antes no podíamos distinguir por qué rendija pasaba el electrón, luego primero sumábamos las amplitudes y después calculábamos la probabilidad. Ahora sí podemos distinguir ambos casos, por lo que debemos sumar directamente las probabilidades.

EN RESUMEN

Hemos visto que nuestra perspectiva clásica, en la que los fenómenos se pueden clasificar como corpusculares u ondulatorios, falla al intentar aplicarla en el mundo de lo muy pequeño.

En este, nuestras predicciones se ven reducidas a cálculos probabilísticos. Pero de una naturaleza muy distinta a la del mundo macroscópico. Para las balas, la probabilidad de que una llegue a es un fenómeno determinista, aunque la incertidumbre en las condiciones iniciales (la pistola no es perfecta) hace que las balas puedan desviarse, llegando incluso a rebotar, y por tanto es plausible hablar de la probabilidad de que lleguen a cierta posición . Pero en el ejemplo del electrón no tenemos lo mismo: no hay manera de seguirle el rastro al electrón, y el que impacte en un punto u otro es un fenómeno puramente probabilístico. De hecho, la bala también se comporta según las leyes de la cuántica, pero su patrón de interferencia es algo así:

Esto es debido a que, pensando que se comportan como ondas, su longitud de onda asociada es muy, pero que muy pequeña. Las leyes de la cuántica tienden a las de la mecánica clásica cuando los objetos considerados son lo suficientemente grandes. En este sentido, el marco de la cuántica engloba al de la mecánica clásica, y el mundo (en ausencia de campos gravitatorios fuertes…ejem…) es cuántico.

Pero debemos renunciar a decir que las partículas sean ondas. La amplitud de probabilidad asociada a cada evento se conoce como función de onda. Hoy por hoy se acepta que es todo cuanto se necesita conocer de un sistema cuántico para calcular probabilidades. Esta se rige por la ecuación de Schrödinger (que algún día veremos 🙂 ), que es una ecuación cuyo aspecto es parecido a las ecuaciones que cumplen las ondas. Pero cuando tienes más de una partícula, tienes una sola función de onda para ambas, luego no podemos hablar de ondas individuales. Debemos descartar esta visión. De hecho, la mejor manera que tenemos de entender a las partículas es mediante campos (cuánticos).

Hemos aprendido además que cuando un evento puede ocurrir de muchas maneras indistinguibles, primero debemos sumar las amplitudes de probabilidad para cada manera y posteriormente calcular la probabilidad. Cuando podemos distinguir, debemos sumar directamente las probabilidades asociadas a cada manera.

Esto, junto con que las amplitudes de probabilidad son números complejos que giran con el tiempo, es más que suficiente para explicar montones de efectos cotidianos de la luz. Y a eso dedicaremos la siguiente entrada. Mientras tanto, espero que esta entrada te haya servido para borrar de tu vocabulario el verbo ser cuando la dualidad onda-corpúsculo salga a relucir 😛 .