¿Por qué los electrones no se caen al núcleo de los átomos? Lo que nunca te contaron

Hace no mucho vi una pregunta en twitter que me pareció interesante:

¿por qué los electrones no se caen al núcleo del átomo mientras lo orbitan?

No es una cuestión baladí, pues preguntarnos lo mismo sobre la Luna causó la primera gran unificación de la física. La cosa es que quizá los electrones no se comportan como esperaría uno que lo hicieran con la imagen típica del átomo en la cabeza.

Al lío.

Las respuestas que nunca fueron

Como decíamos, una de las preguntas más importantes en la historia de la ciencia fue, sin duda, por qué no se cae la Luna a la Tierra debido a la gravedad si las piedras sí lo hacen. Responderla dio lugar a la teoría de la gravitación universal, donde la fuerza con la que se atraen dos masas M y m a una distancia r viene dada por:

    \[ F=G\dfrac{Mm}{r^2} \]

La respuesta es «sencilla»: la Luna sí que se cae, solo que tiene la suficiente velocidad horizontal para no darse con la Tierra en su caída.

Esto es fácil verlo con el experimento mental del cañón de Newton: si lanzamos desde cierta altura una bala de cañón con cada vez más velocidad, finalmente avanzará lo suficiente para compensar la curvatura de la Tierra en su caída y no dejar de caer nunca. A esto lo llamamos orbitar:

Pasados unos siglos los científicos empezaron a preguntarse acerca de la constitución de la materia, llegando (o redescubriendo) el concepto de átomo. Y con este, los primeros modelos para el mismo.

Rápidamente (ya los trataremos en profundidad algún día :P)

Thomsom descubre partículas negativas en la materia. Los libros de texto dicen que tras esto propone que los átomos constan de partículas cargadas negativamente (electrones) inmersas en un fluido eléctricamente positivo de manera que el conjunto es neutro. Todo parece muy sencillo, como si Thomsom no diera más de sí, pero añádele que los electrones están en configuraciones electrodinámicamente estables y entretente en calcularlas para más de dos electrones como sí hizo Thomsom, verás qué risa.

Rutherford se lía a piñazos con los átomos intentando explicar la dispersión de partículas alfa. La única manera que se le ocurre para explicar estos experimentos es que la mayor parte de la masa esté concentrada en el centro de los átomos, surgiendo (junto a otros coétaneos que también lo proponían) el concepto de núcleo de los átomos. Para Rutherford el átomo tiene el aspecto que ves en el logo del blog.

Modelos de Thomsom y Rutherford y cómo el de Thomsom no supera el escrutinio al que le somete un experimento de dispersión de partículas alfa. Sacada de aquí.

Qué pena que este modelo también esté mal (ergo mi logo también =( ).

¿Por qué, te preguntas, si tú ya sabes que entre la carga positiva del núcleo y los electrones existe una fuerza que es matemáticamente similar a la de la gravitación?

Va, pongámosla para quien no conozca la fórmula:

    \[ F=k \dfrac{Qq}{r^2} \]

En este caso, sustituimos masas por cargas (y cambiamos las constantes que regulan la intensidad de las fuerzas), pero matemáticamente estamos ante el mismo tipo de fuerza (una fuerza central).

Pues el problema es que cuando las cargas eléctricas sufren aceleraciones (y para orbitar algo hay que sufrirlas, ya que de manera natural los cuerpos se mueven en línea recta) resulta que radian ondas electromagnéticas, perdiendo energía y cayendo en espiral hacia el núcleo.

Y eso no mola.

De hecho, eso lo sabía Rutherford. Pero a él le interesaba explicar los experimentos de dispersión que el modelo de Thomsom no explicaba. Por lo de no caer en simplificar mucho la historia y tal.

Y ya, por fin, es cuando en nuestra historia entra Bohr.

En aras de seguir con el rigor histórico en esta entrada y con eso de no simplificar los relatos historicofísicos, reproduciremos fielmente su línea de pensamiento a continuación:

– ¿Cómo que si los electrones orbitan los átomos no pueden ser estables? ¿Quién ha dicho eso?

– Maxwell, señor. (Supongamos para esta dramatización que en la mente de Bohr vive un mayordomo -con estudios en física- que le ayuda en sus razonamientos).

A mi no va a venir un escocés a decirme qué pueden hacer o no los electrones. Pueden orbitar siempre que…

– ¿Siempre qué, señor?

– Siempre que su momento lineal… digo, no, su energía… no, no, mejor, su momento angular, sí. Su momento angular sea un número de veces cierta constante.

– ¿Y qué constante, señor?

– La de Planck mismo, que lleva el cotarro del Annalen der Physik y así nos lo publica.

Obviamente esta dramatización no fue así. A Bohr no le caían mal los escoceses (digo yo).

El caso es que si permitimos que los electrones estén en órbitas estables en las que no radien siempre que su momento angular sea un múltiplo entero de veces la constante de Planck explicamos multitud de cosas.

Entre otras, el tamaño de los átomos: el tamaño de las órbitas de los electrones es proporcional a cierta constante a_0, ahora llamada radio de Bohr, cuya expresión es:

    \[ a_0=\dfrac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2 }{me^2 }\approx 5,29·10^{-2}\: nm \]

Modelo de Bohr. Sacada de aquí.

Pero qué curioso que el laxo Bohr, el mismo que más de una vez estuvo dispuesto a renunciar al principio de conservación de la energía en aras de explicar algún resultado experimental, en su juventud fuera tan recto y obligara a los electrones a permanecer constreñidos en estrechas órbitas.

Y es que, como ya sospecharás, ávido lector, los átomos tampoco son así.

La respuesta intuitiva: el principio de incertidumbre

Hay una manera de entender por qué los electrones no se caen al núcleo: resulta que el principio de incertidumbre de Heisenberg no les deja.

Disclaimer. Me gustaría destacar que, en parte, está feo eso de hablar de leyes físicas que obligan, impiden, inducen, dejan o no dejan hacer, etc., pues pareciera que los sistemas físicos tuvieran conciencia. Y nada más lejos de la realidad. Las matemáticas son claras, el resto es interpretación nuestra sumado a tener que trasladar a palabras estos comportamientos (y que a los humanos nos gustan los relatos).

El caso es que tras el átomo de Bohr se sucedieron unos años de grandes avances en física teórica que culminaron con la formulación de la mecánica cuántica, de la que se deduce el susodicho principio. Este implica que no se puede determinar con arbitraria precisión simultáneamente la posición y el momento (masa por velocidad) de una partícula. Ya hemos mencionado este principio en el blog, aunque seguramente le dedicaremos una entrada próximamente.

De tan simple enunciado se puede ver que los átomos tienen que tener un tamaño mínimo (y por ende la distancia promedio del electrón respecto al núcleo) para que se satisfaga este principio. Y como en este blog nos van las mates, veamos cómo se deduce en un tris.

Recordemos que en cuántica entendemos que las partículas se encuentran dispersas por el espacio (tienen cierta probabilidad de estar en cada punto del espacio), con cierta distribución de velocidades (momentos). Grosso modo, puedes imaginar a los electrones como una nube entorno al núcleo (también otra nube):

Sacada de aquí.

Cuando midamos la posición del electrón lo encontraremos en distintos puntos con cierta probabilidad. Podemos suponer que el electrón se dispersa en torno al núcleo con una indeterminación a, que nos da una idea de su lejanía media respecto al núcleo.

Por otro lado, si medimos el momento lineal encontraremos diferentes valores, con cierta probabilidad de medir unos u otros. De nuevo, podemos suponer que se distribuyen con una indeterminación p que nos da una idea del momento medio del electrón.

Ahora entra el principio de incertidumbre: como poco, la indeterminación en posición y momento del electrón debe ser tal que a\cdot p \sim \hbar. De manera que podemos despejar el valor aproximado de la indeterminación en el momento:

    \[ p\sim \dfrac{\hbar}{a} \]

¿Cómo podemos hacer ahora para encontrar a? Exigiendo que la energía total del electrón sea mínima para este, ya que en la naturaleza los sistemas tienden al mínimo de energía.

La energía es:

    \[ E=\dfrac{p^2}{2m}-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{a}\longrightarrow E(a)\sim \dfrac{1}{2}\dfrac{\hbar^2 }{ma^2 }-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{a} \]

Para minimizar la energía derivamos respecto a la posición e igualamos a cero:

    \[ \dfrac{dE}{da}=\dfrac{1}{a^2}\left(\dfrac{e^2 }{4\pi\varepsilon_0}-\dfrac{\hbar^2 }{ma}\right)=0\longrightarrow a\sim \dfrac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2 }{me^2 } \]

Anda, ¡si es el radio de Bohr!

La cuántica, no constriñendo al electrón a estrechas órbitas, aun así reproduce los resultados del modelo de Bohr (y sigue donde este no puede).

[[Uno podría pensar que esta demostración ha sido muy vaga/cutre (pese a que la incluye Feynman en sus lectures). Y yo le daría toda la razón del mundo. Aun así, para su tranquilidad, le redirijo al libro Quantum mechanics, de Leslie Ballentine, página 224-225, donde se estudian los estados que satisfacen la igualdad en el principio de incertidumbre (estados de mínima incertidumbre).]]

Es curioso que, de manera llana, los átomos tengan que tener un tamaño mínimo, no pudiendo ser comprimidos fácilmente, debido al principio de incertidumbre. Es más, esto es lo que explica que al andar no atravesemos el suelo: nuestra masa trata de comprimir los átomos de nuestra suela y los del suelo, pero esto localizaría aun más a los electrones, aumentando su momento lineal y por tanto su energía, y por tanto es algo que evitan.

Aun así la cuántica tiene una respuesta que no te imaginas a por qué los electrones no se caen al núcleo, y no me resisto a contarla.

La respuesta pragmática: ya están en el núcleo

¡Pues sí! Los electrones ya están en el núcleo. Bueno, de hecho, pueden estar en todos lados.

Como ya comentábamos en el anterior apartado, los electrones tienen cierta amplitud de probabilidad de estar en todos los puntos del espacio. Y el núcleo no es una excepción.

Cuando uno resuelve la ecuación de Schrödinger para el hidrógeno (el átomo más simple de todos, para el resto hay que tirar de simulaciones) obtiene las funciones de onda posibles del electrón. Si no tenemos en cuenta el spin, estas dependen de tres números (cuánticos): n, l y m.

Para el estado de mínima energía del hidrógeno, llamado 1s (números n=1, l=0, m=0), esta función es

    \[ \psi_{100}=\dfrac{1}{\pi a_0} e^{-r/a_0} \]

Si representamos su módulo al cuadrado, que nos da la densidad de probabilidad de que el electrón se encuentre en un pequeño volumen a una distancia r del núcleo, obtenemos:

Sacada del libro Física Universitaria, Volumen II, Sears, Zemansky, Young & Freedman.

El máximo de probabilidad…¡Está en el núcleo!

Esto es algo que también se repite con el resto de estados con l=0. Por ejemplo, los estados 2s y 3s:

Por tanto, no tiene sentido preguntarse por qué el electrón no se cae al núcleo, ya que de hecho existe cierta probabilidad de encontrarlo en este.

Nos podríamos preguntar ahora, entonces, si los electrones sufren algún proceso por tener cierta probabilidad de encontrarse en el núcleo. Y la respuesta es que sí. Los electrones pueden ser «capturados» por núcleos con exceso de protones respecto a neutrones, de manera que un protón se convierta en un neutrón, emitiéndose un neutrino en el proceso. Esto se conoce como captura electrónica.

Diagramas de Feynman de primer orden en los que se muestra el proceso de captura electrónica. Sacada de aquí.

Aun así, puede que te estés preguntando: y esto, ¿cómo se reconcilia con la demostración de que el lugar más probable de encontrar al electrón era el radio de Bohr?

Me encanta que me hagas esa pregunta (o que yo me la haga suponiendo que eso quieres que haga).

La cosa es que en lugar de preguntarnos la probabilidad de encontrar al electrón en cierto punto, podríamos preguntarnos la probabilidad de encontrarlo a cierta distancia r del núcleo, independientemente de la dirección (en matemáticas hablamos del cascarón esférico entre r y r+dr). En tal caso estamos estudiando la densidad de probabilidad radial.

En tal caso, las densidades de probabilidad tienen máximos a las distancias predichas por el modelo de Bohr (bueno, solo aquellas con l=n-1):

Sacada del libro Física Universitaria, Volumen II, Sears, Zemansky, Young & Freedman.

Peeeero, en honor a la verdad, «mirar» la densidad de probabilidad y «buscar el máximo» no es la manera de funcionar que tiene la cuántica. La cuántica es una teoría probabilística, esto es, su manera de predecir resultados es realizar multitud de veces un experimento y estudiar valores medios, desviaciones típicas, etc.

En concreto, en cuántica asociamos operadores (objetos matemáticos que actúan sobre las funciones de onda) a las variables que nos interesan medir de un sistema. En concreto, utilizamos el operador posición \hat r para estudiar los valores posibles de una medida de posición. Si realizáramos múltiples veces la medida de la posición del electrón en el estado fundamental del hidrógeno y promediáramos, obtendríamos que el valor medio es

    \[ \leftangle r\rightangle = \dfrac{3a_0}{2} \]

lo que es ligeramente superior al predicho por el modelo de Bohr, aunque como siempre, con que el orden de magnitud sea similar nos contentamos.

En resumen

La respuesta simple y directa a por qué los electrones no se caen al núcleo es que los átomos tienen un tamaño mínimo en aras de satisfacer el principio de incertidumbre de Heisenberg. Si el electrón se acerca al núcleo se localiza en una región del espacio menor, lo que indetermina su momento lineal y por tanto gana la suficiente velocidad para escaparse.

Por otro lado, la respuesta sin vaguedades: los electrones no es que no se caigan al núcleo, es que realmente no son bolitas definidas orbitando sino nubes de probabilidad, con cierta amplitud de probabilidad de estar en el núcleo pero también a un kilómetro de este.

4 comentarios en «¿Por qué los electrones no se caen al núcleo de los átomos? Lo que nunca te contaron»

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