Einstein vs Hilbert: ¿de quién es el mérito de la relatividad general?

Hace un tiempo Javier Santaolalla publicó un tweet donde comentaba que Hilbert presentó las ecuaciones del campo gravitatorio cinco días antes que Einstein. La pregunta entonces es: ¿por qué todos recordamos a Einstein en lugar de a Hilbert? ¿De quién diantres es mérito pues la Relatividad General?

A mí, que no hacía mucho había leído justamente una discusión al respecto en el libro «Albert Einstein: su vida, su obra, su mundo» de José Manuel Sánchez Ron, me apeteció matizar un poco el tweet con un hilo que tuvo cierta repercusión (y que podéis leer por aquí -en tweets- o aquí -todo junto-).

Y ahora he pensado: oye, ¿por qué no hacer una entrada al respecto?

Para ello me he leído unos cuantos paper de historiadores de la física en aras de profundizar un poquito más. Porque al final, en la historia de la ciencia (como en la vida), nada es blanco o negro, y esta historia tiene muuuuuchos matices.


Somos animales, nos gustan las historias simples, con maniqueísmos incluidos.  En la naturaleza es más fácil sobrevivir si sabes categorizar los peligros rápidamente: sabes en qué confiar y en qué (o quién) no, y por eso nos es tan fácil prejuzgar. Así que primero repasemos la historia en crudo, para después matizarla.

En blanco y negro

Primero, no es cierto que todo el mérito sea de Einstein. A poco que empieces a estudiar relatividad general, verás que el nombre de Hilbert sale. ¿Dónde sale, preguntas? Pues en la parte más importante de una teoría: su acción.

    \[S=\dfrac{1}{16\pi G} \int \mathrm{d}^4 x \sqrt{|g|} R\]

Y es que esa cosita bonita que ves ahí arriba permite derivar las ecuaciones de campo de la relatividad general en un santiamén por procedimientos estándar que cualquier estudiante del grado de física aprende (aquí también caben matices :P). Pues bien, se llama acción de Einstein-Hilbert.

Y la acción fue propuesta por…(redoble de tambores)… Hilbert.

Segunda década del siglo XX. Desde hacía unos años Hilbert se había interesado por la física. A parte de ser un gran matemático (probablemente de los mejores de toda la historia) tenía gran interés en los nuevos desarrollos acaecidos en la física. En 1905 se interesó por la teoría del electrón, acudiendo a seminarios para aprender sobre ella. Por otro lado, escogió a Alfred Landé como asistente para que le informara de la evolución de la teoría cuántica.

Estaba claro que tarde o temprano se fijaría en el problema que atacaba Einstein desde 1905: encontrar unas ecuaciones relativistas para el campo gravitatorio.

Pero Hilbert, con su amor por las matemáticas, al dedicarse a dicho problema no estaba haciendo física. Estaba haciendo matemáticas. Y preguntaréis, ¿qué diferencia hay?

Pues mucha.

Hilbert admiraba la manera en que Gustav Mie y Albert Einstein estaban cambiando la manera de hacer física, partiendo de primeros principios. Creía que la física, como las matemáticas, se podría axiomatizar. De hecho, de sus famosos 23 problemas, el 6º es «tratar de igual manera, es decir, por medio de axiomas, las ciencias físicas, en las cuales hoy las matemáticas juegan un importante papel«.

Hilbert, bajo la creencia de la época de que solo existían fuerzas electromagnéticas y gravitatorias, quiso derivar ecuaciones dinámicas para ambos campos a partir del principio de mínima acción. De hecho, criticaba a Einstein no intentar hacer lo mismo, y no incorporar el electromagnetismo en las versiones que fue presentando de su teoría gravitatoria.

Hilbert presentó una acción que contenía una parte que daba cuenta del campo gravitatorio, y otra (llamada ‘función electrodinámica’) cuya variación daba el tensor de energía momento por definición. Así, al variar su acción respecto a la métrica (y los potenciales electrodinámicos) llegaba a ecuaciones formalmente idénticas a las que presentó Einstein, pero que no encierran la misma física: para Hilbert, el tensor energía-momento solo tenía en cuenta las interacciones electromagnéticas (lo que recalco, tenía sentido en la época, Lorentz por ejemplo creía que los átomos eran densificaciones del campo electromagnético), algo que no ocurría en la teoría de Einstein.

Es decir, Hilbert creía que la fuente de la gravedad era la masa de los sistemas… siendo esta un reflejo de sus interacciones electromagnéticas.

En palabras de Sánchez Ron: «La teoría de Hilbert, que pretendía describir toda la realidad física, no hacía referencia alguna a la física«. Esto se debe a que Hilbert creía (al igual que otros matemáticos como Minkowski y Weyl) que el puro razonar matemático bastaba para hacer física.

Einstein sabía que no.

«No me agrada la representación de Hilbert. Está indebidamente especializada en lo concerniente a la <<materia>>, […] refleja la pretensión de un superhombre mediante un camuflaje de técnicas«. Escribía Einstein en una carta a Paul Ehrenfest al respecto.

«La suposición hilbertiana sobre la materia me parece infantil, en el sentido de propia de niños que no conocen malicia en el mundo exterior. […] El método axiomático poco puede ayudar en esto.» Escribía en otra a Weyl.

Así me imagino a Einstein tras escribir esto en las cartas:

Así a Hilbert:

 

Einstein llegó a sus ecuaciones de manera heurística. Basado en primeros principios en parte, sí, pero tratando de describir el mundo físico. Buscaba una teoría covariante, matemáticamente coherente, y donde la fuente de gravedad serían todos los tipos de energía. Aquí parece pertinente una cita de Dieter W. Ebner, en su artículo: «How Hilbert has found the Einstein Equations before Einstein and forgeries of Hilbert’s page proofs»:

«Las leyes de la naturaleza no pueden ser deducidas o derivadas. Solo pueden ser propuestas, esperando que futuros experimentos las confirmen o al menos no las desmientan. Esto se debe a que la naturaleza no anticipa nuestros deseos

Aun así, es claro que Hilbert presentó el 20 de noviembre las ecuaciones de campo, ecuaciones formalmente idénticas (aunque no del mismo alcance) a las que Einstein presentó el 25 de noviembre. ¿O no?

Einstein, tras su teoría de la relatividad especial (presentada en 1905), se pasó los siguientes 10 años buscando una teoría relativista para el campo gravitatorio. Después de muchos pasos errados, y de la ayuda de su amigo matemático Marcel Grossmann (quien le puso sobre la pista de la geometría riemanniana y le ayudó a comprenderla, algún día abordaremos la historia de estos diez años), para 1915 estaba bastante cerca de llegar a unas ecuaciones para el campo gravitatorio.

En noviembre de 1915 llegó a presentar cuatro versiones distintas de dichas ecuaciones a la academia (en los días 4, 11, 18 y 25). Einstein nunca había trabajado tan frenéticamente. ¿El motivo? Que sabía que Hilbert andaba cerca de encontrarlas también.

En ese mes Hilbert y Einstein habían estado en estrecho contacto postal.  Dicha correspondencia muestra cierta rivalidad entre ambos, podríamos decir que sana (pues Hilbert llegaba a invitar a Einstein a pernoctar en su casa), aunque después matizaremos esto.

El 18 de noviembre Einstein escribía a Hilbert (es de suponer que en alguna carta Hilbert le había dado detalles de sus avances, pero no se conserva) que, por lo que creía entender, su desarrollo (el de Hilbert) estaba de acuerdo con lo que él mismo había encontrado y comunicado a la academia la semana anterior (en el artículo del 11 de noviembre).

Pero las ecuaciones que aparecen publicadas de la conferencia de Hilbert son las ecuaciones correctas de la relatividad general

    \[R_{\mu\nu}-\dfrac{1}{2} g_{\mu\nu} R=\kappa T_{\mu\nu},\]

y no las erróneas que presentó Einstein el 11 de noviembre

    \[R_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}.\]

¿Qué ocurre aquí?

Esto es algo que descubrió en 1997 Leo Corry, y es que las ecuaciones de la conferencia de Hilbert fueron corregidas por el propio Hilbert el 6 de diciembre, ¡tras la presentación de las ecuaciones correctas el 25 de noviembre por parte de Einstein!

Si nos quedásemos aquí, desde luego pensaríamos que la historia incluso se ha portado bastante bien con Hilbert, para no haber llegado a las ecuaciones correctas.

Pero la historia tiene más matices que debemos repasar, pues como decíamos al inicio, en la historia, y en concreto en la historia de la física, nada es blanco o negro.

Los matices

Para empezar con los claroscuros, el trabajo de Leo Corry no es apoyado por gran parte de la comunidad de historiadores, que creen que intenta nostrificar el trabajo de Einstein (aquí se refieren a una cita de Einstein diciendo que Hilbert intentaba ‘nostrificar’ su teoría, más adelante la incluyo) habiendo podido manipular (él u otra persona con acceso a los papeles de Hilbert) los manuscritos para inclinar la balanza hacia un lado.

De hecho, sería raro que Hilbert se arriesgue a copiar las ecuaciones, ya que Einstein no las deriva, y no sabría si son las que se derivan correctamente del lagrangiano (aunque, dicho sea de paso, es una cuenta «fácil» de hacer una vez se tiene el lagrangiano adecuado).

Por otra parte, es curioso que la carta de Hilbert a Einstein con las ecuaciones que habría de presentar el 20 de noviembre esté perdida, cuando cartas más triviales se conservan. Puede ser que realmente estuvieran las ecuaciones correctas, y Einstein solo se fijara en el tensor de Ricci igualado al tensor energía momento, pasando por alto el escalar de Ricci. Pero pensando mal, puede ser que precisamente de ahí cogiera la idea para introducirlo y empezara a experimentar con su inclusión.

Y es que al final,  Hilbert tenía conocimientos mucho más profundos de la geometría Riemanniana que Einstein.

Una vez puesto sobre la pista de que se podía entender la gravedad como curvatura, no era dificil elegir como lagrangiano a la única contracción escalar posible del tensor de Riemann y derivar las ecuaciones de campo correctamente.

[[Nota técnica: el lagrangiano de cualquier teoría tiene que ser un escalar, es decir, un número (no un vector, ni un tensor). Bajo la idea de que gravedad=curvatura, el tensor de Riemann (que describe la curvatura de un espacio) se erige como candidato principal para buscar unas ecuaciones en esta teoría. Pero como decimos, necesitamos un escalar, no un tensor, así que buscamos sus contracciones (maneras matemáticas de reducir el rango de un tensor, pudiendo conseguir incluso un escalar). Y resulta que la única contracción que da ecuaciones de movimiento (en 4 dimensiones) es el escalar de Ricci.]]

Esta ventaja de Hilbert sobre Einstein queda patente en lo siguiente: Einstein ya conocía el principio básico de la relatividad general (principio de equivalencia) en 1907, y tardó 8 años más en desarrollar a una formulación matemática adecuada. Hilbert se comenzó a ocupar del problema en 1915 tras un seminario que invitó a dar a Einstein en Junio, y ese mismo año llegaría a las ecuaciones de movimiento correctas.

Podemos ver la ira de Einstein en la siguiente carta a Zangger el 26 de noviembre:

<<La teoría tiene una belleza única. Solo un colega la ha entendido realmente, pero trata mañosamente de «nostrificarla». En mi experiencia personal no he conocido mejor las miserias de la especie humana que con ocasión de esta teoría y en relación con ella. Sin embargo, eso no me preocupa en lo más mínimo.>>

En base a esta cita parece más probable que Hilbert le enviase las ecuaciones correctas, pues si no, no podía tener la oportunidad de ‘nostrificar’ su teoría.

Aun así, este resentimiento no era mutuo, pues en la conferencia del 20 de noviembre Hilbert da el crédito a las ideas de Einstein, mientras que en el paper del 25 de Einstein no se menciona a Hilbert.

Eso sí, este resentimiento no sería eterno, pues en una carta de Einstein a Hilbert el 20 de diciembre este escribía:

<<Ha habido cierta frialdad entre nosotros, cuya causa no quiero analizar. He luchado contra cualquier resentimiento con éxito. Pienso en usted de nuevo con simpatía, y le pido que intente hacer lo propio conmigo>>

Quizá esta carta no sea más que un intento de calmar las aguas, ya que Hilbert era el matemático de mayor renombre del mundo y Einstein, aunque conocido, no lo era tanto y una rivalidad pública con Hilbert podía hundir su carrera.

Aquí cabe destacar que esta carta nos muestra firmemente que parte de la correspondencia está perdida, pues en ningún momento podemos pensar por la que se tiene a día de hoy que llegasen a enfrentarse en cartas.

En resumen

Creo que podemos aseverar que el mérito de la relatividad general (sus principios, la ambición y la necesidad de buscarla, preocuparse de que tuvieran el límite newtoniano correcto…)  es de Einstein, mientras que el mérito de encontrar las ecuaciones correctas (se pensase sobre ellas lo que se pensase) es de tanto de Hilbert como de Einstein.

Es más, Hilbert así lo pensaba:  su biógrafo (Constance Reid) le atribuye la siguiente frase: «cualquier chico en las calles de Göttingen sabe más acerca de geometría cuatridimensional que Einstein. Aun así, Einstein hizo el trabajo y no los matemáticos«.

Eso no quita que hoy día las deduzcamos variacionalmente à la Hilbert. Pero con el tiempo las teorías (y su presentación) se pulen, pasando a formar parte del corpus de conocimientos de los físicos, y la manera de presentarlas se clarifica (y si no que cualquiera que las haya estudiado trate de leerse el artículo de Einstein y me diga si lo entiende :P)

Como resumen de este enfrentamiento, finalmente, me gustaría dejaros con la siguiente cita de Ivan T. Todorov, en su artículo «Einstein and Hilbert: the creation of general relativity»:

<<Einstein y Hilbert tuvieron la fuerza moral y la sabiduría -después de un mes de intensa competencia, de la que, en última instancia, todos (incluida la ciencia misma) se beneficiaron- de evitar una disputa de prioridad de por vida (algo en lo que fracasaron Leibniz y Newton). Sería una vergüenza para las siguientes generaciones de científicos e historiadores de la ciencia tratar de deshacer su logro.>>

2 comentarios en «Einstein vs Hilbert: ¿de quién es el mérito de la relatividad general?»

  1. Muy buen artículo Adrián!!!
    Especulo; quizás el problema era que Hilbert abusaba matemáticamente de Einstein al darse cuenta de que a Einstein le costaba dominar tecnicismos que para Hilbert eran «fáciles». Y por su lado, Einstein tenía muy claro la idea física que quería representar, mientras Hilbert no entendía nada de eso; él sólo veía tecnicismos matemáticos.

    También hay una historia curiosa: la relación entre Einstein y Poincaré. Siempre me han parecido muy interesantes las indirectas que se lanzaron uno al otro, sin ni siquiera nombrarse.

    https://culturacientifica.com/2022/04/05/einstein-y-jules-henri-poincare/#:~:text=Poincar%C3%A9%20nunca%20acept%C3%B3%20p%C3%BAblicamente%20la,que%20nunca%20me%20haya%20tropezado%E2%80%9D.

    Personalmente le tengo mucha estima a Poincaré, por encima de Hilbert e incluso Einstein

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