Momentos reveladores estudiando física

En esta entrada os voy a hablar de cinco aprendizajes que me dejaron huella en la carrera. Cinco momentos en los que muchas cosas en mi cabeza cuadraron. Momentos que hicieron que me enamorara aun más de la física.

Eso sí, no son los cinco momentos más impactantes (sería difícil decidirlos). Y, para que haya de todo, hablaré de tres desarrollos teóricos de física y dos problemas cotidianos. Los desarrollos de física me impactaron en parte por la unión tan especial entre matemáticas y física en ellos, por todo lo que podían explicar, o por cómo hicieron click en mi mente las ideas al unirlas. Los problemas cotidianos porque me asombraron con la cantidad de física escondida en ellos.

Así que aprovechemos para divulgar un poquito sobre cada uno de ellos y, con suerte, que os impacten tanto como a mí 🙂

Principio de mínima acción

El principio de mínima acción es una de las cosas más brutales que hay en física. Ya hemos hablado de él en el blog, así que hoy dejaré que Feynman os cuente todo lo que le fascinaba a él:

«Cuando estaba en el instituto, mi profesor de física -de apellido Bader- me llamó un día después de la clase de física y me dijo: «usted parece aburrido; quiero contarle algo interesante». Y me contó algo que me resultó absolutamente fascinante, y que nunca ha dejado de fascinarme. Cada vez que el problema surge, trabajo en él. De hecho, cuando comencé a preparar esta clase me encontré realizando más análisis sobre el asunto. Y en vez de preocuparme por la clase me vi envuelto en un nuevo problema. El tema es este: el principio de mínima acción.

El señor Bader me dijo lo siguiente: suponga que tiene una partícula (en un campo gravitatorio, por ejemplo) que parte desde un cierto lugar y se mueve libremente hasta algún otro -lanza la partícula, y ella sube y baja-.

Realizamos el recorrido desde el punto original hasta el final en un cierto tiempo. Ensayemos ahora otro movimiento diferente. Suponga que para ir desde aquí hasta allí, la particula lo hiciera así:

pero que llegara hasta allí exactamente en el mismo tiempo. Entonces dijo: si calcula la energía cinética en cada instante de la trayectoria, le resta la energía potencial e integra sobre la trayectoria recorrida, encontrará que el valor es mayor que para el movimiento real.

En otras palabras, la ley de Newton podría enunciarse no en la forma F=ma sino en la forma: la energía cinética media menos la energía potencial media es tan pequeña como sea posible para la trayectoria de un objeto que va desde un punto a otro«.

Esto que Feynman cuenta en sus lectures, se traduce ni más ni menos en que el camino real que seguirá una partícula, cuya energía cinética es E_c y su energía potencial es E_p, entre dos puntos x_1 y x_2, será tal que la siguiente integral, llamada acción S:

    \[ S[\bold x(t)]=\int_{t_1}^{t_2} \left(E_c-E_p\right)\mathrm{d}t \]

sea mínima. Cualquier otro camino posible hace que la integral dé un número mayor. Ese es el principio de mínima acción.

(Va, aclaración: técnicamente el principio debería llamarse de acción estacionaria, pero en la mayoría de los casos el camino real resulta ser un mínimo así que no nos vamos a poner tiquismiquis)

Toda la mecánica newtoniana queda englobada en tan simple afirmación. Pero da más de sí: se aplica a cualquier objeto físico, ya sea un electrón en un campo electromagnético o pasando a través de dos rendijas. ¿No es alucinante? Además, las transformaciones que dejan invarante la acción (las simetrías del sistema) permiten encontrar cantidades conservadas como la energía, el momento angular… De ello (lo cual también fue todo un shock cuando lo estudié) hablábamos en la entrada sobre simetrías.

Pongámonos técnicos. Si os fijáis, este no es un mero problema de máximos y mínimos. La acción S no depende de una variable, sino de una función. La idea es considerar funciones suficientemente próximas a la solución real para comprobar que es efectivamente un mínimo. Este es un tipo de problema distinto, y la rama de las matemáticas que se ocupa de él es el cálculo variacional. Y esta rama, aunque no le daré un puesto a parte por no abusar, es también una de las cosas más flipantes que te enseñan en la carrera. ¿Por qué?

Piénsalo. En física, desde que entendimos este genial principio, nos van los mínimos. La luz sigue la trayectoria que le toma el menor tiempo; los objetos se mueven por el espaciotiempo siguiendo geodésicas, que son las trayectorias de menor longitud; la forma de las pompas de jabón es tal que minimiza la tensión superficial… y así infinidad de ejemplos. Y el cálculo variacional aplica a todos ellos.

Y hablando de geodésicas…

¿Por qué no se puede salir de un agujero negro?

Cuando estudié esto en la asignatura de relatividad general de la carrera realmente mi cabeza explotó. Por fin cuadraba todo. Eso que tanto les gusta a los divulgadores dejar caer en sus libros: de un agujero negro no se puede salir. Y yo siempre me preguntaba: ¿pero eso, cómo se come? Pues os contaré como.

Nada puede viajar más rápido que la luz, luego en cualquier punto de un espaciotiempo podemos dibujar dos líneas que simbolicen la trayectoria de rayos de luz desde tal punto. Cualquier cosa con masa debe moverse dentro de ambas líneas (sino recorrerían más espacio en cierto intervalo de tiempo del que la luz puede recorrer).

Todas las cosas alcanzables en tu futuro quedan en la mitad superior, y tu pasado en la mitad inferior. Fuera, todos los eventos (suceso espaciotemporal) a los que no puedes llegar por ir más lento que la luz.

¿Y por qué lo llamamos cono? Pues añade una dimensión más, y pon el tiempo en vertical. Rotando el diagrama anterior sobre el eje vertical se genera un cono con todos los puntos que alcanza la luz.

Sacada de aquí.

Si añades una tercera dimensión, ahora tienes una esfera de luz, pero para visualizarlo nos quedaremos con el cono que es más sencillo.

¿De dónde salen las ecuaciones de los conos? Pues precisamente de lo que hablábamos: son las geodésicas que sigue la luz en un espaciotiempo dado. Para resolverlas, se procede en dos pasos: se resuelven las ecuaciones de Einstein para encontrar la métrica de un espaciotiempo (g_{\mu\nu}), objeto que nos dice la geometría de la solución), y después el movimiento de las partículas se estudia con la ecuación de las geodésicas:

    \[\ddot{x}^{\rho}+\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}=0\]

que, de nuevo, viene de imponer que la longitud espaciotemporal sea mínima. ¿Veis que bonito el cálculo variacional? (Los interesados pueden ver como se resuelven echando un vistazo a mi TFM).

Estos conos son muy útiles, pues nos permiten entender de un vistazo la estructura causal (eventos que te pueden o puedes influir) de los espaciotiempos.

Sacada de «Teoría de la Relatividad General» de Bert Janssen.

Para espaciotiempo plano (Minkowski), simplemente en cada punto del espaciotiempo tenemos un cono de luz, que limita las trayectorias posibles a su interior. Pero en todos los puntos del espaciotiempo la situación es la misma. Pero, ¿y para un agujero negro?

Gargantúa, agujero negro de la película de Interstellar.

Resulta que si estudias la estructura causal (recordad, consiste en resolver las ecuaciones de las geodésicas que sigue la luz) de los espaciotiempos con agujeros negros (como Schwarzschild, que son los que no rotan) te sale algo como esto:

Sacada de «Teoría de la Relatividad General» de Bert Janssen.

Si estas lejos de la esfera r=2M (M es la masa del agujero negro, este radio es el radio de Schwarzschild) los conos de luz son como en el espacio plano. Nada interesante pasa, la vida sigue, puedes vivir tranquilo orbitándolo como si orbitaras una aburrida estrella amarilla.

Pero conforme te acercas… ¡Los conos de luz literalmente se tuercen! Y justo para la esfera r=2M una de las líneas del cono de luz está sobre ella. Como no puedes salirte del cono, quedas irremediablemente atrapado en el interior del agujero negro. Esta esfera es el archiconocido horizonte de eventos.

Y diré más. Dentro del agujero negro, los conos de luz apuntan hacia distancias menores de r. Por lo que no te queda otra que desplazarte (aunque estés quieto!) hacia el centro del agujero negro, la singularidad, que está en tu futuro.

Conforme te acerques, las fuerzas de marea te espaguetizarán, y como no puedes comunicarte con el exterior no podrás llorarle a nadie. ¡Y chimpún! Ya sabes por qué no se puede salir de un agujero negro.

Idea integrales de camino.

Y no podíamos hablar del principio de mínima acción, de cómo este fascinó a Feynman, sin hablar de su versión cuántica (que él mismo descubrió).

La cosa sigue desde que entendemos las matemáticas de la doble rendija. En dicha entrada entendimos que, por cada manera posible en que un evento puede suceder, debemos añadir la amplitud de probabilidad correspondiente tal evento a la amplitud total. Por tanto, si la partícula podía llegar de S a x a traves de las rendijas 1 y 2, la amplitud de probabilidad total quedaría tal que así:

    \[ A_T=A(S\to 1, 1\to x)+A(S\to 2, 2\to x) \]

Sacada del libro «Quantum Mechanics and Path Integrals» de R. P. Feynman y Albert R. Hibbs

Pequeño recordatorio: las A‘s son números complejos, por lo que al tomar módulos obtendremos interferencias. Sigamos.

Ahora viene Feynman, que era un tío muy listo, y se pregunta: «¿y si hacemos una tercera rendija?» Bueno, no problem, se dice. La cosa se modificaría fácilmente:

    \[ A_T=A(S\to 1, 1\to x)+A(S\to 2, 2\to x)+A(S\to 3,3\to x) \]

Y ahora Feynman se dice: «Bueno, pero podríamos complicarlo más. ¿Y si añadimos una segunda pantalla?«. La cosa se vuelve más engorrosa, pero una vez entendido el principio (por cada manera posible añadir una amplitud de probabilidad) tampoco es tan difícil. Por ejemplo, con dos pantallas P y P' con dos agujeros cada una P_1, P_2 y P_1', P_2':

    \[\begin{aligned} A_T =& A(S\to P_1, P_1\to P_1', P_1'\to x)+A(S\to P_1, P_1\to P_2', P_2'\to x)\\ &+A(S\to P_2, P_2\to P_1', P_1'\to x)+A(S\to P_2, P_2\to P_2', P_2'\to x) \end{aligned}\]

Si te has perdido entre tanto símbolo no te preocupes, porque no es necesario entender el desarrollo para entender la genial idea que tuvo Feynman. Probablemente se dijo: «Bueno, y ¿por qué no ir más allá y añadir una cuarta pantalla? ¿y una quinta?» Quizá entonces reparó en más cosas: «¿por qué no hacer más agujeros? ¿por qué no hacer tantos agujeros que al final no podamos decir que aun quede pantalla?«

Sacada del libro «Quantum Mechanics and Path Integrals» de R. P. Feynman y Albert R. Hibbs

Ya podréis imaginar por dónde iban los pensamientos de Feynman, ¿no? Si ponemos cada vez más pantallas, y les hacemos cada vez más agujeros, realmente al final no tenemos ninguna pantalla, pero el desarrollo matemático es inapelable: para calcular la amplitud de probabilidad total debemos sumar sobre todos los caminos creados. Y en este caso, lo que quedan son todas las trayectorias posibles que unen S y x. Por eso a esta formulación se la denomina a veces suma sobre caminos (o suma sobre historias).

Ale, ya has entendido la idea de las integrales de Feynman.

Como ves, son una generalización enorme del principio de mínima acción. En el primero, considerábamos caminos muy cercanos al real para comprobar que el real es el que hace la acción mínima. Aquí los consideramos todos: la amplitud de probabilidad de ir de un punto a otro debe tener en cuenta que por el camino hayas podido hacer lo que te venga en gana (lo que tiene sentido porque las trayectorias en mecánica cuántica no están definidas, luego puedes haber ido por cualquiera de ellas).

Y lo más brutal es que son la manera perfecta de demostrar que la física cuántica engloba a la clásica, pues resulta que cuando calculas la amplitud total… ¡te sale proporcional a la acción! Por tanto, la trayectoria clásica, que minimizaría la acción, hace que las trayectorias más cercanas a ella se pueda sumar (interfieren constructivamente) mientras que el resto se restan (interfieren destructivamente). Por tanto, cuando no es necesario un tratamiento cuántico (no necesitamos tratar con partículas pequeñas), las matemáticas se reducen a las de la mecánica clásica.

Esta genial idea es la que utilizamos en la entrada sobre el comportamiento cuántico de la luz, donde con cero matemáticas, y solo armados con la idea de suma sobre caminos obtuvimos todos los fenómenos ópticos clásicos desde la cuántica.

¿Hacia donde se va un globo de helio en un coche que frena?

Pero basta de desarrollos teóricos. A veces una inocente pregunta sobre un efecto cotidiano tiene más física en su interior que libros y libros de carrera. Y la pregunta inocente en este caso es la siguiente: ¿hacia donde se va un globo de helio en el interior de un coche cuando este frena?

Esta pregunta tan inocente ya ha aparecido en el blog. Su historia es curiosa cuando menos: en primero de carrera, el profesor de física general la preguntó en el tema de fluidos. En tercero de carrera, el profesor de relatividad general la preguntó en el examen parcial, pero no valía invocar a Arquímedes en la respuesta. ¿Qué relación hay entre ambos enfoques?

Primero, lo básico. Todos hemos experimentado que, si un coche acelera, nos pegamos al asiento. Es como si una fuerza invisible nos empujara contra él. De igual manera, si frena nos vamos hacia delante (con catastróficos resultados a veces).

Esto es la primera ley de Newton, que de manera llana, dice que los cuerpos tienden a perseverar en su estado de movimiento. A estas ganas de seguir en tu estado de movimiento la llamamos inercia, que no es más que la masa. Si frena, por inercia sigues hacia delante, que era tu estado de movimiento. Y si acelera, te pegas contra el asiento, porque la inercia era a continuar en reposo.

Invoquemos a Arquímedes. Él descubrió que los objetos menos densos flotan sobre los más densos. Por tanto, los globos flotan por ser menos densos que el aire que los rodea.  Pero dentro de un coche, cuando este acelera, tanto tú como el aire que te rodea os vais hacia el fondo del coche por inercia. Ahora, como el globo es menos denso que el aire, este aire apretujado al fondo empuja al globo en la dirección contraria.

Si tu espíritu científico llama a la puerta, déjale entrar y prueba a hacerlo 😛 Pero si eres de naturaleza vaga (como un servidor), puedes ver un vídeo en YouTube donde se muestra.

Ahora invoquemos a Einstein. Él descubrió una cosa que en el fondo es muy sencilla: es imposible distinguir (localmente, es decir, en un espacio reducido) una aceleración de un campo gravitatorio constante. Este es el famoso principio de equivalencia (que ya hemos tratado en el blog).

Si lo piensas, es muy intuitivo. Imagínate en una habitación aislada flotando en el espacio exterior. De repente, un motor hace que acelere en cierta dirección. Si un objeto flotaba, dado que el suelo acelera en su dirección, el objeto chochará contra el suelo. Pero si estás dentro, la manera de razonarlo será distinta: parecerá que estás en un campo gravitatorio, y el objeto ha caído simplemente. Este mismo razonamiento implica también que la luz se curve en campos gravitatorios (¡y que el tiempo se dilate!)

Ahora que ya tenemos claro que es imposible distinguir (localmente) una aceleración de un campo gravitatorio, veamos como se explica lo del globo.

Sobre la Tierra, a nadie le sorprende que los globos floten. Claro, el aire es más denso, y por gravedad cae contra el suelo empujando al globo hacia arriba. Por el principio de equivalencia, lo mismo ocurriría dentro de nuestro ascensor espacial.

Pero es que, dentro del coche, cuando este acelera, podemos ver esta aceleración que nos pega a los asientos ¡como un campo gravitatorio hacia el fondo del coche! Así que el globo se va en dirección contraria igual que lo hace en la Tierra bajo un campo gravitatorio, pues ambas situaciones son equivalentes.

¿Por qué al subir la temperatura del aire desciende, si el aire frío pesa mas?

Para cerrar la entrada, quería contar esta historia, que empezó siendo yo un inocente jovenzuelo en clase de física en bachillerato.

Tenía allí por profesor a un hombre al que le encantaba hacerte conocedor de tu ignorancia. No para que aprendieras, sino por gusto personal suyo. Lo paradójico es que a mí me empezó a gustar la física ese mismo curso, pues por primera vez la ponían como un reto. Soy así, que le vamos a hacer.

Entre una de las muchas cosas que preguntaba de vez en cuando para reírse un poco de nosotros, dejó caer la siguiente cuestión: «¿por qué si el aire frío es más denso, al aumentar la altitud hace más frío? ¿No debería ese aire caer y elevarse el caliente?» Y esperó a que formuláramos nuestras hipótesis.

«¿Es porque está más cerca del sol? ¿Es porque al estar más lejos de la Tierra, que es la que absorbe mayormente el calor, no se calienta?» Así pasamos el resto de la clase, soltando toda una retahíla de posibles explicaciones a las que el profesor respondió con sonoras carcajadas.

La pregunta quedó escondida en el baúl de «cosas que no entiendo pero espero entender algún día» de mi mente. Hasta que llegué a la asignatura de Física de la Tierra en tercero de carrera, asignatura que versaba básicamente sobre meteorología.

La historia se repitió: iniciábamos el tema de estabilidad atmosférica, y el profesor (que también era muy dado a preguntarnos y dejarnos debatir) repitió la pregunta que me había martirizado años atrás. Solo que esta vez el profesor quería que aprendiéramos la respuesta. Aunque no nos lo iba a poner fácil.

Teníamos la pregunta, tocaba debatir. Tras tres años de carrera, es sorprendente lo tontas que pueden llegar a ser nuestras argumentaciones si no nos paramos a pensar antes de abrir la boca. Y eso no te lo enseñan en la carrera. Así que la misma retahíla de posibles explicaciones se repitió, las cuales, obviamente, eran todas erróneas.

Mientras proponíamos explicaciones, la guía para saber cómo de cerca andábamos era el ángulo que el profesor inclinaba sus cejas. Esa mueca de horror ante una manipulación desastrosa de las leyes físicas. Pero con todo, nos sirvió. Y finalmente dimos con la explicación.

La cosa es como sigue: el aire de arriba realmente… ¡Está más caliente que el de abajo!

Parémonos a analizarlo. Aunque si pusiéramos un termómetro nos diría que el aire está más frío arriba, fijémonos que no estamos comparando dos situaciones equivalentes. Conforme la altura aumenta, la presión disminuye. Y, ¿qué le ocurre a un gas cuando la presión disminuye?

Que se expande.

¿Y qué le ocurre a un gas cuando se expande (sin aportes de calor externos)?

Que se enfría.

Y voilá: el aire al subir, dado que tiene menos aire encima, se expande por la disminución de presión luego se enfría.

Si cogiéramos una parcela de aire y la bajáramos hasta el suelo para compararla con otra parcela equivalente, en este proceso su temperatura aumentaría hasta estar a mayor temperatura que el aire del suelo. Por eso cuando se habla de estabilidad atmosférica se usa la temperatura potencial \theta: la temperatura que tendría el aire si fuese traído sin transmisión de calor hasta el suelo. Esta temperatura aumenta con la altura, lo que refleja que la atmósfera es estable (tomad esto con pinzas, la realidad, como siempre, es más complicada). En caso contrario, se producirían turbulencias hasta que alcanzase la estabilidad. Esto nos deja con gráficas como la siguiente:

Sacada de aquí.

¡Y hasta aquí esta entrada!

Como sospecharéis los pocos que me sigáis, ando falto de tiempo, pero sabía que a mi yo futuro le dolería ver el calendario con un mes sin entradas publicadas. Así que he sacado unos cuantos ratitos para hacer esta, aunque al final, como siempre, me enrollo. Espero que por lo menos hayáis aprendido algo con ella y, si gusta, haré una segunda parte 😛

6 comentarios en “Momentos reveladores estudiando física”

  1. Muy interesante Adrián. Me surge una duda al leer lo de la atmósfera y es como se combina lo que comentas con el gradiente adiabático. Ese gradiente no habla de esa temperatura potencial sino de un enfriamiento progresivo conforme se asciende. Quizá no está relacionado.

    Responder
    • Gracias Francisco.
      La idea es que se puede definir una magnitud, la temperatura potencial, que se mantiene constante si el proceso de expansión se produce de manera adiabática (no así la temperatura usual, que disminuiría). Por tanto, esta temperatura potencial es mejor magnitud para estudiar la estabilidad atmosférica (una atmósfera será estable si la temperatura del aire superior es potencialmente mayor que la del inferior, puesto que necesitaríamos realizar trabajo para bajar ese aire al suelo, por lo que de manera natural no caerá). La relación entre ambas la puedes encontrar por ejemplo aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Potential_temperature

      ¿Era eso lo que preguntabas? Un saludo

      Responder

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