Simetrías en física. Parte I: Qué son, cómo se describen y qué tipos hay

«Si pudiera volver a empezar mi estudios, seguiría el consejo de Platón y empezaría con las matemáticas.» Galileo Galilei

En esta entrada vamos a estudiar las simetrías en física. Cómo se ven en las ecuaciones, cómo se describen matemáticamente y los tipos de simetrías. Por el camino aprenderemos un poquito de teoría de grupos (el lenguaje de las simetrías), nos las veremos con el teorema de Noether y entenderás por qué podrías explotar si le chocaras la mano a un extraterrestre. Al menos espero que con esto último te den ganas de clicar en el «leer más» 😛

¿Clicaste? Pues al lío.

Si tienes mentalidad de físico seguramente tu reacción ante dos tipos de figuras sea como la siguiente:

Ahora bien, los físicos no son amantes fieles. Si por delante de sus ojos pasa una simetría que haga las ecuaciones más atractivas, probablemente su reacción sea tal que así:

La presencia de una simetría revela redundancia y permite simplificar. Explican mucho con poco. Veamos con más detalle a qué nos referimos.

¿QUÉ SON LAS SIMETRÍAS Y POR QUÉ IMPORTAN EN FÍSICA?

Todo el mundo puede imaginar a qué nos referimos cuando hablamos de una simetría. Consiste en una transformación de un sistema tal que tras realizarla el sistema se queda igual que si no la hubieras hecho (es indistinguible del original). Por ejemplo, un cuadrado es simétrico frente a rotaciones de novena grados:

Pero el círculo es aun más simétrico: se queda igual le hagas la rotación que le hagas. Como podemos rotarlo una cantidad de ángulos arbitraria , posee mayor simetría que el cuadrado. Y aquí viene la primera diferencia entre ambas figuras, de importancia monumental: la simetría del circulo ¡es continua! Mientras que hacía falta rotar al cuadrado una cantidad concreta de grados para que quedase igual, rotes cuanto rotes el círculo siempre se verá igual. Es infinitamente más simétrico que el cuadrado, vamos.

La cosa es, ¿como se plasma esa simetría en las ecuaciones?

Esta es la ecuación de un círculo (con centro en el origen de coordenadas):

   

Es fácil entender porqué es así si usáis Pitágoras: son los del plano tal que la distancia respecto al origen (la hipotenusa del triángulo rectángulo que forman entre ambos) es el radio del círculo. Bendito Pitágoras.

Ahora imaginemos que otro observador , situado en el mismo punto, quiere describir el mismo círculo. Ese observador no tiene porqué elegir los ejes e alineados con el primero, aunque los siga dibujando perpendiculares entre sí. Supongamos que este observador elige su eje rotado un ángulo respecto al eje de nuestro primer observador. Dado un punto del plano, un observador lo etiquetará como y otro como . Nos interesaría encontrar como se relacionan las coordenadas primadas con las sin primar, es decir, encontrar la transformación de coordenadas entre ambas.

Con un poquito de trigonometría, es fácil ver (inténtalo!) que el resultado es:

   

Ahora, el observador escribirá su ecuación para el círculo, que obviamente será:

   

(coincidimos en que el radio es para él también, no? :P)

¿Qué pasa si ahora decido introducir en la anterior ecuación las transformaciones de coordenadas? Sustituyendo:

   

Hasta aquí, nada extraño. Pero si desarrollamos los cuadrados…

   

¡Fíjate que el término se cancela! Ahora, sacando factor común e :

   

De nuevo, por la identidad fundamental de la trigonometría (bendito Pitágoras again) , con lo que:

   

¡La ecuación se queda igual tras aplicarle la transformación de rotación!

A esto nos referimos cuando decimos que una ecuación es invariante bajo una cierta transformación: tras aplicarla, la ecuación no cambia (recuerda que o son simples letras!). Por eso, rotar el círculo un ángulo es una transformación de simetría.

No hay que confundir simetría de las leyes físicas con simetría de sus soluciones. Por ejemplo, las leyes de la gravitación son invariantes frente a rotaciones, pero es sencillo ver que sus soluciones no son invariantes: podemos distinguir una elipse tras rotarla. Lo que sí es cierto es que una elipse rotada es también solución de las leyes de la gravitación. Las simetrías permiten generar infinitas soluciones tras conocer una.

Otro ejemplo interesante sobre que las soluciones no tienen que ser simétricas nos lo da la biología. Resulta que muchas moléculas que podemos utilizar/sintetizar los seres vivos son lo que llamamos levógiras. Las llamamos así porque rotan el plano de polarización de un haz de luz que atraviese una disolución de estas a izquierdas, en contraposición con las moléculas dextrógiras. La cosa es que las moléculas levógiras son la imagen especular (por un espejo) de las moléculas dextrógiras. Por lo que químicamente son iguales. Pero a los seres vivos solo nos valen las levógiras. Esto es un ejemplo de asimetría en las soluciones: los seres vivos somos soluciones de ecuaciones físicas (soluciones muy complejas), y por un accidente en la historia evolutiva solo aprovechamos las moléculas levógiras (no en todos los casos y no todos los seres vivos, pero se entiende la idea, ¿no?).

Bueno, ¿y qué tiene que ver todo lo anterior con la física? Ay, atrevido lector, antes de adentrarte en un nuevo país has de aprender su idioma. Y el lenguaje de las simetrías es la teoría de grupos.

EL LENGUAJE DE LAS SIMETRÍAS: TEORÍA DE GRUPOS

Veamos qué cumplen las transformaciones de simetría:

• Dado que una transformación de simetría deja en un estado equivalente al original al sistema, dos transformaciones de simetría seguidas también lo harán. Esto es lo mismo que decir que dos transformaciones de simetría son también una simetría. Por ejemplo, rotar un círculo 30º y después 60º es equivalente a rotarlo directamente 90º.
• Dado que podemos revertir la transformación y dejar al sistema en su estado original, esto también es una transformación de simetría.
• No hacer nada es también una operación de simetría.

Lo que hemos descrito son justamente las mismas propiedades que describen un grupo en matemáticas. Como decía Galileo, la naturaleza está escrita en lenguaje matemático. La teoría de grupos es el lenguaje de las simetrías.

Los grupos no son algo súper abstracto: por ejemplo, los números naturales forman un grupo bajo la suma. Y concretando más, los números pares forman un grupo bajo la suma, pero no los impares, dado que la suma de dos impares es un número par.

Tenemos grupos para todo: de permutaciones, de traslaciones, de rotaciones, de transformaciones de Lorentz…

Aquí podríamos distinguir dos tipos de grupos: discretos y continuos. Fíjate que al estudiar la rotación del círculo no hemos necesitado especificar el ángulo, podía ser cualquier número, luego esta simetría es continua, frente a la simetría del cuadrado, que era discreta.

Los grupos discretos son aquellos en que entre dos transformaciones no hay más transformaciones intermedias. Por ejemplo, un cuadrado o lo rotas 90 grados o 180, pero ninguna cantidad intermedia es una transformación de simetría. Por otro lado, en un grupo continuo entre dos transformaciones cualesquiera hay infinitas transformaciones intermedias que también son de simetría. Por ello, para describir transformaciones continuas usamos parámetros que son números reales. Y el número necesario de parámetros para especificar una transformación dada es la dimensión del grupo. Por ejemplo, las traslaciones en una dimensión solo dependerán de un parámetro; la cantidad que te trasladas, y en dimensiones dependerán de parámetros continuos. De igual manera, una rotación en un espacio de tres dimensiones depende de tres parámetros: dos para indicar la dirección (el eje) respecto al cual rotas, y un tercero para indicar cuánto rotas respecto a tal eje, mientras que en dos dimensiones solo dependen de un parámetro, el eje respecto al que rotas.

A los grupos continuos, que son los más interesantes en cuanto a leyes fundamentales se refiere, los conocemos como grupos de Lie, por el matemático Sophus Lie (y no por ser «grupos de mentira»), quien sentó gran parte de las bases de la teoría (álgebras de Lie).

En estos, necesitamos hacer una nueva división: grupos abelianos y no abelianos (no es que esta distinción sea única de los grupos continuos, pero no nos interesa en otro caso).

Los grupos abelianos son aquellos en que las transformaciones de simetría conmutan: no importa el orden en que la hagas. Por ejemplo, las traslaciones o las rotaciones en el plano son ejemplos de grupos abelianos. Por el contrario, los grupos no abelianos son aquellos en que las transformaciones no conmutan: importa en que orden las hagas. Por ejemplo, las rotaciones en tres dimensiones son un ejemplo de grupo no abeliano:

Todo esto es abstracto (en el buen sentido de la palabra): un grupo es un conjunto de elementos y la manera en que se mezclan, sin necesidad de especificar qué objetos componen el grupo. Pero los físicos trabajamos con lo concreto. Por eso echamos mano de la teoría de representaciones de grupos: asociamos los elementos de los grupos de simetría a objetos matemáticos con los que trabajar. Por ejemplo números, matrices…

De esta manera, una rotación en un plano se puede visualizar mediante la multiplicación por una matriz de dos dimensiones que afecte a las componentes de los vectores que rota. Esta matriz representa la rotación. A este grupo lo denominamos . A las rotaciones en tres dimensiones (la viene de ortogonal, la de especial, por realizar rotaciones). Si trabajamos con números complejos (como las funciones de onda!) echamos mano de matrices unitarias, y los grupos pasan a tener ‘s: , … Cuando representamos grupos por matrices, es muy probable que sean no abelianos, ya que las matrices no conmutan ().

Además, los grupos tienen una representación que destaca sobre las demás, conocida como representación fundamental. Quédate solo con que en el caso de los grupos mencionados, si el grupo en su versión más simple trabaja rotando vectores de dimensión 3, la representación fundamental será también de dicha dimensión. Pero se puede utilizar el mismo grupo en dimensiones mayores porque lo que define al grupo es cómo se mezclan unos elementos del grupo con otros, y eso se puede mantener en dimensiones más altas.

Y tras este interludio de teoría de grupos, volvamos al tema en cuestión. ¿Qué nos importan las simetrías en física?

SIMETRÍAS GLOBALES: DE SIMETRÍAS A LEYES DE CONSERVACIÓN

Las simetrías han cobrado especial relevancia desde que la señorita Emmy Noether nos dejó un teorema tremendamente bello: por cada simetría global continua de la acción de un sistema físico se tiene una cantidad conservada.

En el enunciado anterior habrán dos palabras que te chirriarán: global y acción.

¿Qué es una simetría global? Pues una simetría que transforma de la misma manera todos los puntos del espaciotiempo. Por ejemplo, si hacemos una traslación, tenemos que trasladar todos los puntos del espaciotiempo la misma cantidad. Si hacemos una rotación, tenemos que rotar todos los puntos del espaciotiempo la misma cantidad.

Y, ¿qué es una acción?

¿QUÉ LEÑES ES LA ACCIÓN?

La acción es básicamente a lo que nos referimos los físicos con teoría. Son palabras prácticamente intercambiables en nuestro contexto, pues dada una acción podemos sacar las leyes que cumplirán los objetos de nuestra teoría. Pero eso no nos dice qué es la acción.

Simplificando un tanto (que no del todo), la acción es la integral en el tiempo de la diferencia entre la energía cinética y la potencial de un sistema para una trayectoria dada. Es decir, la integral del lagrangiano de un sistema. Si en cada instante de tiempo restas el numerito que es la energía cinética con el numerito que es la energía potencial y los sumas (integras) para una trayectoría (historia) concreta, obtienes la acción del sistema para esa trayectoria:

   

Y la manera de obtener de ella las ecuaciones de movimiento consiste en exigir que la trayectoria real del sistema sea aquella que haga que la cuenta anterior tome el menor numerito posible, lo que se conoce como principio de mínima acción. A partir de aquí, el resto son matemáticas. El contenido físico de la teoría está en dar con la acción adecuada e imponer el principio de mínima acción. Por eso acción (o lagrangiano) y teoría son palabras intercambiables, aunque realmente teoría sea un término mucho más amplío.

Podemos ejemplificar cómo funciona eso de minimizar la acción imaginando un cuerpo que cae desde el reposo:

• Al principio, su velocidad será pequeña, haciendo que el término de energía cinética contribuya poco,  y pasando mayor tiempo en la parte alta del movimiento, para que el término de energía potencial , que va restando, haga aun menor el numerito resultante.
• Conforme cae, en aras de que lo anterior se potencie al máximo, resulta que la caída con aceleración constante es la mejor opción para que la acción sea la menor posible.

Esta manera de entender la dinámica de los sistemas comenzó como una mera reformulación de las leyes de Newton, pero su concisión y la manera en que se evidencian las simetrías de una teoría estudiando la acción hizo que se impusiera como la vía adecuada para hacer física. Por eso hoy en día hablamos de acción de Einstein-Hilbert, o del lagrangiano del Modelo Estándar…

LO QUE NOETHER NOS LEGÓ

El teorema de Noether es de las cosas más bellas en física: conecta cada simetría con una ley de conservación. Resulta que si la acción es…

• invariante bajo traslaciones temporales, entonces se conserva la energía.
• invariante bajo traslaciones espaciales, entonces se conserva el momento lineal.
• invariante bajo rotaciones, entonces se conserva el momento angular.

Estas son las simetrías  que llevan a las leyes de conservación más conocidas.

Lo anterior es muy chocante la primera vez que lo lees. ¿Cómo que si mi teoría no cambia tras avanzar o retroceder en el tiempo, entonces se conservará la energía? ¿Qué tiene que ver que no cambie al trasladarme en el espacio con que el momento se conserve? Pero tiene algo de lógica si lo razonas…

Si el espacio es homogéneo espacial o temporalmente, es decir, igual en todos los puntos o en todos los instantes, significa que aunque traslademos un sistema de un punto a otro seguirá sin haber influencia externa que pueda cambiar el momento lineal o la energía.

Si el espacio es isótropo, es decir, igual en todas direcciones, significa que aunque rotemos el sistema cierto ángulo seguirá siendo inmune a la orientación que tenga, por lo que las rotaciones entorno a un ángulo dado no cambian nada, y el sistema mantendrá su estado de rotación. Por tanto, el momento angular se conservará.

¿Cómo se conecta esto con teoría de grupos? Pues cada transformación de simetría continua irá asociada a un grupo de Lie (que la llevará a cabo). Por ejemplo, si tenemos invariancia bajo rotaciones el grupo en cuestión será . Resulta que habrán tantas cantidades conservadas como dimensiones tenga el grupo, en este caso, tenemos 3 cantidades conservadas: las tres componentes del momento angular.

Quitémosle hierro al asunto:

• Si un experimento se puede desarrollar igual aquí que allí, en el sistema en cuestión se conservará el momento lineal. Por ejemplo, en los movimientos en un campo gravitatorio se conserva el momento lineal en aquellas direcciones en las que no hay gravedad, pues moverte por ellas no afecta en nada al sistema, pero la dirección según la cual está el campo gravitatorio es privilegiada (asimétrica): moverte por ella sí influye al sistema y el momento no se conserva.
• Si un experimento en concreto se puede desarrollar igual en una dirección que rotando todos los aparatos cierta cantidad de grados, en el sistema en cuestión se conservará el momento angular. Cuando una patinadora cierra los brazos al rotar y se acelera, se debe a que el momento angular se conserva. Y se conserva porque no importa que empiece a rotar apuntando con los brazos a un sitio o a otro, pues la única dirección privilegiada es la marcada por la gravedad (arriba-abajo), y la rotación se da entorno a esta dirección, es decir, en el plano perpendicular.
• La energía es un numerito que se conserva cuando el resultado de un experimento no importa si se realiza en este momento o en otro (aquí os insto a ver este genial vídeo de Quantum Fracture): entendiendo a la energía como capacidad de producir cambios en un sistema, la manzana que se deja caer desde cierta altura provocará los mismos cambios hoy que mañana, pues las leyes no cambiarán de hoy a mañana.

Fíjate que en cada simetría destaca una parte de la realidad física que es inobservable: no podemos definir una localización absoluta en el espacio, luego nuestras teorías tienen que ser invariantes bajo traslaciones espaciales. No podemos identificar un momento absoluto en el tiempo, por lo que la física no puede cambiar de hoy a mañana. Y no podemos identificar una dirección absoluta en el espacio (derecha, izquierda… son convenciones históricas!), por lo que las leyes físicas tampoco pueden ser sensibles a rotaciones. Lo increíble y mágico del asunto es que este desconocimiento esté asociado a cantidades conservadas.

SIMETRÍAS DISCRETAS

No solo de simetrías continuas vive la física.

Como ya hemos visto, en estas simetrías la transformación del sistema no se puede llevar a cabo de pasito en pasito, sino de golpe, sin existir estados intermedios entre dos dados. Ya hemos visto el ejemplo del cuadrado, y podríamos hablar de millones de simetrías discretas más y conectar con la cristalografía, esa bonita rama de la física del estado sólido que las clasifica y analiza sus propiedades.

Pero estamos interesados en las simetrías de las leyes fundamentales de la naturaleza. Y la cristalografía es otro ejemplo de simetría en las soluciones, no en las leyes.

Las simetrías discretas que se presentan en la naturaleza son varias. Y por desgracia a ellas no se les aplica el teorema de Noether y por tanto no tienen cantidades conservadas asociadas. Pero no por ello son menos interesantes 😛

PARIDAD

La simetría por paridad consiste en que la física debe ser la misma si estudias el sistema en cuestión reflejado en un espejo. Ya nos la hemos encontrado con las moléculas levógiras y dextrógiras. Estaría descrita por un grupo discreto, cuyo nombre es .

Fundamentalmente, que los sistemas sean simétricos bajo paridad es la aseveración de que izquierda y derecha (que es lo que invierten los espejos), son convenciones que a la naturaleza ni le van ni le vienen, por lo que las leyes no deben ser sensibles a tales distinciones. Por ejemplo, si construimos un reloj y luego construimos el reloj que resulta de invertir todas sus piezas (fijándonos en la imagen que devuelve un espejo), deberían funcionar igual.

Vaya sorpresa se llevaron los físicos cuando se demostró que esto no era cierto.

A priori, uno diría que cómo va a ser eso, cómo van a distinguir las leyes físicas entre izquierda y derechas. Pero ya en los años 50 se llevaron a cabo unos experimentos que dejaron poca duda al respecto: la interacción débil, la cual media las desintegraciones de los átomos, no es simétrica bajo paridad. Lo demostró en un famoso experimento la física experimental china Madame Wu, bajo sugerencia de Lee y Yang. Este resultado conmocionó a la comunidad física, hasta el punto de que aun hoy se cree que la asimetría bajo paridad se debe a que el modelo estándar no es la última palabra en términos de física de partículas. Pero por el momento, parece que Dios es de izquierdas.

CONJUGACIÓN DE CARGA

De igual manera que izquierda y derecha son convenciones del lenguaje, a lo que llamamos materia y a lo que llamamos antimateria también son convenciones. Por ende, la física no debería depender de nuestros caprichos mundanos, y si en un sistema cambiamos todas las partículas por sus antipartículas, operación conocida como conjugación de carga, no deberíamos ser capaces de distinguir cuál es cuál. El grupo de simetrías es el mismo que en paridad, pero sus actuaciones (la manera en que los representamos) son distintas. Y mira tú por dónde, la interacción débil también viola esta simetría.

Eso sí, en el experimento de Madame Wu, la aplicación de paridad seguida de conjugación de carga haría que el sistema reflejado en el espejo (y hecho de antimateria) fuese indistinguible del original. Así, CP (conjugación de carga y paridad) parece una simetría de la física.

¡Pero resulta que también se viola! Y esta violación de CP es la que parece ser la responsable de la asimetría materia-antimateria en el universo, aunque los números aun no cuadran y el modelo estándar está pendiente de acomodarla.

Al respecto, podemos contar una historia graciosa que a veces aparece en los libros de divulgación:

Si quisieras comunicarte con un extraterrestre y explicarle cómo eres, podrías aprovechar la no invariancia bajo escala de las leyes físicas para hablarle de tamaños y distancias. Es decir, no le puedes decir que mides tantos metros o tu masa son tantos kilogramos, pues estas unidades no significarán nada para él. Pero sí le puedes intentar explicar usando las matemáticas estas cosas (como ya vimos aquí). Y eso es gracias a que la naturaleza no es simétrica a cambios de escala: los átomos tienen una medida exacta (dentro de la difuminación cuántica, entiéndase), y siempre puedes decirle «mido tantos átomos de hidrógeno apilados» (o tantas longitudes de onda de transición hiperfina) y «mi masa es la de tantos átomos de hidrógeno».

Pero tras describirle y describirle, llegas a querer decirle que el órgano que te mantiene vivo está ligeramente desplazado hacia la izquierda en tu caja torácica. Ahí, tu nuevo amigo te para en seco (todo lo en seco que te pueden parar cuando esperas señales mandadas a años luz de aquí) y te dice: ¿qué es eso de izquierda?

Si la naturaleza fuese fundamentalmente invariante bajo paridad, jamás podrías explicarle qué es la izquierda para ti. No le podrías decir «realiza este experimento (por ejemplo, el lugar hacia el que se desvían las partículas cargadas en un campo magnético) y eso será la izquierda» (pues la frase anterior solo tiene sentido tras definir por convención la izquierda!). Pero afortunadamente, la ruptura de la paridad por la interacción débil lo permite: le pides que realice el experimento que realizó Madame Wu, y así acordáis qué dirección es la izquierda.

Tras años, decidís quedar, y cuando te vas a estrechar la mano derecha con un extraterrestre convenientemente antropomórfico, el levanta la izquierda. Tú, desconcertado pero amable, acudes raudo al encuentro alzando tu zurda y de repente… ¡Explotáis!

Lo que ha ocurrido es que el extraterrestre estaba hecho de antimateria. ¡Por lo que la dirección que el entendió como izquierda al realizar el experimento resulta ser la contraria! Si hubieras leído esta entrada antes de tu encuentro, habrías sospechado al instante y no se la habrías estrechado. La física (en concreto este blog) puede salvarte la vida 🙂 .

INVERSIÓN TEMPORAL

No, no me refiero a cuando dedicas tiempo para lograr un objetivo, por loable que sea. Nos referimos a que las leyes físicas no distinguen en su nivel más fundamental si el tiempo corre hacia delante o corre hacia detrás. Que no te engañe el verbo correr en la anterior frase: esta simetría es discreta, pues consiste mandar la coordenada de tiempo de a y ver si algo cambia, lo cual no es una transformación continua. Y de nuevo, el grupo es .

Seguro que alguna vez has visto el siguiente ejemplo: si te muestran un choque de bolas de billar, eres incapaz de decidir si te lo muestran tal y como se rodó o si te lo están mostrando de manera rebobinada. A esto nos referimos con que las leyes físicas no dependen de si el tiempo corre hacia delante o hacia detrás.

Pero antes de que se te enciendan todas las alarmas y me menciones a la termodinámica, ya la traigo yo a colación. Sí, sí, tenemos montones de ejemplos en los cuales lo anterior no es cierto. Nadie esperaría que un huevo roto se recomponga, ni que un hielo derretido se volviese a congelar solito de la misma manera. Es obvio que cualquiera podría distinguir en este caso que le están mostrando la cinta rebobinada.

Para dar cuenta de esta irreversibilidad, los físicos necesitaron introducir la entropía: una magnitud física que debe aumentar (o como poco quedarse igual) en cualquier proceso físico (en un sistema aislado). Pero esta frase tiene una letra pequeña nada desdeñable: su aumento se basa en que tomamos promedios del estado de las partículas que componen un sistema.

Si fuésemos al detalle, a la interacción fundamental, nadie sería capaz de dirimir si fue ese electrón el que llegó primero y después se fue ese neutrino, o tal átomo repelió a este otro o viceversa. La supuesta irreversibilidad que vemos día a día es ficticia: se debe a que en promedio, los sistemas tienen muchos más estados accesibles para evolucionar de manera desordenada que ordenada, y por pura probabilidad acaba en estados desordenados. Pero las leyes físicas a un nivel fundamental ni se enteran de esto. Aun así quedan interrogantes abiertos como la supuesta flecha del tiempo, etc. En futuras entradas, quizá 😛 .

Por último, esta simetría revela una conexión profunda con las dos anteriores: y es que resulta que, aunque la aplicación conjunta de C y P se violase, ¡la aplicación de CPT no se viola en el modelo estándar! Las tres juntas conforman una verdadera simetría en todos los niveles (para ello hace falta que T también se viole, de manera que se cancelen las tres violaciones). Y es que se puede demostrar que decir que el modelo estándar es simétrico bajo CPT es lo mismo que decir que es invariante Lorentz. Por ello es de esperar que esta simetría sea exacta.

Bonito no, lo siguiente.

SIMETRÍA POR INTERCAMBIO DE PARTÍCULAS IDÉNTICAS

Llegamos a la última de las simetrías discretas de relevancia fundamental en física (y no solo de partículas) y es la simetría bajo el intercambio de partículas idénticas.

Esta simetría se basa en que las partículas fundamentales son idénticas entre ellas, luego no pueden ser etiquetadas, y cambiar una por otra no debería ser detectable. (El grupo de simetrías sería un grupo de permutaciones, ). Pero existe una diferencia crucial en este intercambio. La función de onda, ese objeto que describe todas las propiedades de un sistema en cuántica, es simétrica frente al intercambio de bosones (su signo no cambia) mientras que antisimétrica (su signo cambia) bajo intercambio de fermiones.

Y diréis, ¿tanto importa un signo menos?

Y os diré… ¡Todo esto importa!

Y es que toda la química se basa precisamente en esto, pero los químicos lo conocen con otro nombre: Principio de exclusión de Pauli (el de los neutrinos). Dada la naturaleza fermiónica de los electrones, está prohibido que ocupen simultáneamente el mismo estado cuántico (mismos números atómicos), haciendo que no puedan amontonarse y dando lugar a una enorme variedad de átomos distintos, cada uno de su padre y de su madre en lo que a comportamiento se refieren. Hete aquí la tabla periódica. Y toda nuestra sociedad moderna se basa en estos aspectos químicos de la tabla periódica que, en su origen, vienen de la asimetría de la función de onda.

Pero es que la superfluidez, la superconductividad, los láseres… se basan en el comportamiento bosónico de la materia. En esta profunda simetría cuántica de los agregados de partículas. Las enanas blancas y las estrellas de neutrones se mantienen ahí, luchando contra la gravedad, por el carácter fermiónico de sus constituyentes. Para que veas cuánto importa un menos en esta vida.

SIMETRÍAS LOCALES

Si te fijas, todas las simetrías descritas hasta ahora se pueden clasificar en: discretas o continuas, internas  o externas , globales y… Espera, ¿cuál es el antónimo de global? Pues claro, simetrías locales, también conocidas como simetrías gauge.

Las simetrías locales han acompañado desde siempre a la física. Por lo menos desde que la formulamos diferencialmente. ¿Recuerdas cuando antes te he presentado a la acción? Las ecuaciones de movimiento surgen de exigir que la trayectoria real del sistema sea mínima, pero la integral a minimizar no cambia si se le añade una función al lagrangiano tal que

   

pues obtendremos las mismas ecuaciones de movimiento.

Elegir un lagrangiano y no otro es obviar todos estos infinitos grados de libertad, lo que se conoce como fijar un gauge.  El término gauge viene de «calibre» en inglés. Y es una de esas palabras que surgió para algo que no tiene nada que ver con lo que ahora entendemos por transformaciones gauge, pero ya nos hemos acostumbrado, así que a tirar pa’lante.

No solo en mecánica se dieron cuenta de esto. En electromagnetismo también. Cuando decimos que una toma de corriente está a 120 voltios, estamos implícitamente diciendo que está a 120 voltios respecto a algún otro punto al que le asignamos cero voltios, usualmente la tierra. Solo somos capaces de hablar de diferencias de potencial. (Lo mismo pasa con la energía potencial gravitatoria de la Tierra).

Todo esto se debe a que los potenciales son objetos auxiliares (ejem..ejem… ¿alguien ha dicho Aharonov-Bohm?) que se introducen para simplificar las ecuaciones, pero resulta que existen infinitos potenciales para la misma situación física. Elegir unos y no otros es fijar un gauge. (Se dice que se trabaja en el gauge de Coulomb, de Lorenz…)

También se dieron cuenta de esto en cuántica: dado que es el módulo al cuadrado de la amplitud de probabilidad (un número complejo) lo que tiene importancia física, multiplicar la función de onda por una fase (una exponencial compleja ) no cambia nada, luego elegir una función de onda y no otra con una fase extra es arbitrario.

   

La cosa se quedó ahí. Hasta que Yang y Mills lo trajeron de nuevo a colación en los años 50 del pasado siglo. Pero eso es algo para la siguiente entrada de esta serie.

INVARIANCIA VS COVARIANCIA

Entre invariancia y covariancia hay una sutil diferencia, y en esta entrada la haremos patente.

Ya introdujimos el término covariancia en la entrada sobre el experimento de Michelson y Morley. Pero resulta que en dicha entrada podríamos haber usado el término más simple de «invariancia» sin problema alguno. ¿Dónde está la diferencia?

Con invariancia nos referimos a que la forma de las ecuaciones no se ve alterada tras una transformación. Eso es lo que pasa al rotar las coordenadas en el círculo. Eso es lo que le pasa a las ecuaciones de Newton tras hacer una transformación de Galileo. Y eso es lo que le exigimos a las transformaciones para considerarlas simetrías de la acción.

En cambio, covariancia implica que ambos miembros de una ecuación se transformen de la misma manera. Por ejemplo, una carga creará para un observador en reposo relativo a esta un campo eléctrico, mientras que un observador en movimiento uniforme relativo verá un campo magnético. Es imposible que una transformación que conecte estos dos estados deje invariantes las ecuaciones: un campo eléctrico y uno magnético no tienen la misma forma. Por eso decimos que las leyes de Maxwell son covariantes bajo transformaciones de Lorentz. Transforman de manera adecuada para respetar el principio de relatividad.

Y es que el principio de relatividad (en su versión más general) implica la covariancia de las leyes físicas. Para que la covariancia se haga patente en nuestras ecuaciones, debemos escribirlas mediante tensores, pues todos los tensores transforman de la misma manera. Por eso el principio de covariancia general (que introdujo Einstein con la relatividad general) es equivalente a exigirle a las teorías que escriban sus ecuaciones de manera tensorial.

¿Y qué es un tensor? Algún día me gustaría hacer una entrada al respecto, pero mientras tanto te dejo con el genial canal del IFT.

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¡Y hasta aquí  esta primera entrada! En la segunda parte relacionaremos en mayor medida lo aprendido con la física. Entenderemos por qué las simetrías han guiado el avance de esta, y veremos como la mano de las simetrías ha influido enormemente en el desarrollo de la física de partículas, aplicando de lleno lo aprendido sobre teoría de grupos.