Simetrías en física. Parte II: simetrías en física de partículas

En la anterior entrada de esta serie entendimos qué es una simetría y por qué son importantes y útiles en física. Vimos los tipos de simetría más conocidos, desde simetrías sencillitas como la de rotación a extrañas como las transformaciones locales o la covarianza de las leyes físicas. Y yo sé que tras esa entrada muchos se quedarían con ganas de decirme:

«Vale, pero te has llenado la boca muchas veces hablando de lo increíblemente conectadas que están la física de partículas y las simetrías. ¿Nos vas a hablar por fin de eso o qué?»

Pues sí, por fin finalizamos la tetralogía de entradas sobre física de partículas y simetrías en física. En esta (última) entrada vamos a contar la historia del uso de las simetrías en física de partículas. Para que veáis hasta qué punto ambas ramas están entrelazadas. Y os aseguro que es bestial.

Van a aparecer un montón de veces enlazadas a lo largo de la entrada. Pero por si aún no te las hubieras leído, las dejo aquí en orden (son requisito casi imprescindible para entender/disfrutar esta entrada final con todas las de la ley):

Ahora sí que sí. Al lío.

Isospín

El uso de simetrías en física de partículas entra de la mano de Heisenberg (el del principio de incertidumbre, no el que fabricaba meta azul :P). Cuando se empezó a entender el núcleo, los físicos no se explicaban por qué no estallaba. Sí, sí, estallar. Un conglomerado de protones (y neutrones) debería repelerse eléctricamente. Como ya vimos en la primera entrada sobre física de partículas, la solución fue introducir una nueva interacción: la fuerza (nuclear) fuerte.

Esta fuerza ligaría a los componentes del núcleo sobreponiéndose a la repulsión eléctrica. Es más, se había observado que la interacción con la que se atraían protones entre sí, neutrones entre sí, o protones y neutrones entre sí, era similar. Esto llevó a Heisenberg a considerar a protones y neutrones como estados distintos de la misma partícula: el nucleón.

De igual manera que el electrón podía tener dos estados (espín arriba o abajo), el nucleón podía aparecer en dos estados: isospín (o espín isotópico) arriba o abajo, correspondiendo uno al protón y otro al neutrón. Las matemáticas de esta simetría son las mismas que la del espín en mecánica cuántica no relativista (ambos son momentos angulares), las del grupo SU(2), y esta sería una simetria global: si «rotamos» neutrones en protones, lo hacemos en todos los puntos del espacio. Todos los neutrones en nuestra teoría se convertirían en protones y viceversa. Como simetría que es, el isospin se conserva, al menos bajo la interacción fuerte.

Pero como seguro que estáis pensando, esta simetría no es exacta. Y estáis en lo cierto, un neutrón y un protón no son iguales. Una simetría aproximada es algo así como un daltónico poniéndose calcetines: quizá los calcetines realmente no sean del mismo color, pero cumplen su objetivo. Por aquellos años los físicos de partículas eran un poco como el daltónico de nuestra analogía: no querían simetrías exactas, querían tirar para adelante con modelos aproximados que les permitieran hacer algunos cálculos y ver cómo de errados andaban.

Pero profundicemos y liguemos un poquito más esto con la entrada sobre simetrías. ¿Qué implica que dos partículas puedan «rotarse» una sobre otra (o más generalmente sobre una combinación de otras partículas)? Quieren decir que están en la misma representación del grupo (el mismo multiplete). Y aquí la cuántica es rotunda: te dice que si dos partículas están en la misma representación deberían tener la misma masa (pues el generador de la simetría conmuta con el hamiltoniano, para los lectores con inclinación matemática). Ya no es solo que el protón esté cargado y el neutrón no, es que solo con ver sus masas se sabía que la simetría no podía ser exacta. Pero sus masas son casi iguales, lo que indicaba que no andaban muy desencaminados.

Por otro lado, introducir esta simetría ayudó a entender que todas las partículas que interactuasen fuertemente pertenecían a una representación de SU(2). Eso permitía hacer algunos cálculos de probabilidades más sencillos, y hacer algunas clasificaciones de partículas según multipletes guiándose por la similitud entre las masas. Por ejemplo, las masas de los piones es de 140 MeV para los cargados y 135 Mev para el neutro. Estos eran distinguibles por sus cargas en cuanto a interacción electromagnética se refiere, pero respecto a la fuerza nuclear eran indistinguibles. Estas consideraciones llevaban a entender que los piones formaban un triplete de isospin, así como neutrón y protón formaban un doblete.

Por suerte para nuestra historia, en los años cincuenta a algunos físicos esto de las simetrías aproximadas les chirriaba. Ellos querían que las leyes más profundas sobre la naturaleza se basasen en simetrías exactas.

Simetrías gauge

Ya no es solo que querían que las simetrías fueran exactas. Los físicos, ambiciosos ellos, no se contentaban con que sus ecuaciones no cambiasen bajo transformaciones globales. Querían exigirle a la naturaleza que también fuese invariante bajo transformaciones locales, transformaciones que cambian punto a punto del espacio tiempo. Las conocidas como simetrías gauge (traducible como «calibre», término debido a Weyl en un contexto totalmente distinto, en el cual sí tenía sentido :P).

Pero algo inesperado sucedió. Cuando le exiges a tus ecuaciones ser invariantes bajo transformaciones locales, ellas te dicen que no les da la gana. Esto es porque dado que las ecuaciones de nuestras teorías son ecuaciones diferenciales, introducir una transformación que depende del punto en que la hagas introduce un montón de términos nuevos por las derivadas de la transformación, haciendo que la ecuación no sea la misma.  Para intentar arreglarlo, tienes que introducir términos nuevos que compensen las partes que hacen que las ecuaciones cambien. Y lo impresionante es que ¡estos términos nuevos resultan ser los términos de interacción de la teoría!

En cierto sentido, la simetría dicta el diseño de las leyes físicas.

Por ejemplo, el electromagnetismo, en su versión cuántica, es invariante bajo transformaciones globales de fase e^{i\alpha} (el grupo asociado es U(1), un grupo abeliano, como ya vimos). Por el teorema de Noether, esto conlleva una cantidad conservada, que resulta ser la carga eléctrica. Ahora gaugeamos la simetría, pasando de global a local, y las ecuaciones dejan de ser simétricas. Para restaurar la simetría, tenemos que introducir unos términos que resultan ser los potenciales electromagnéticos, ¡que cumplen unas ecuaciones que son justamente las ecuaciones de Maxwell! Hay que introducir tantos campos gauge como dimensiones tenga el grupo en cuestión, en este caso solo es necesario introducir un campo, que representa al fotón.

La cosa caló tan hondo que hoy en día todas las interacciones fundamentales las entendemos como interacciones gauge: al exigir que la acción que las describe sea invariante bajo transformaciones locales obtenemos la forma de las interacciones que se darán en la naturaleza. Estas transformaciones estarán llevadas a cabo por grupos de Lie, y el número de bosones que aparecen coincide con la dimensión del grupo de simetría.

Por lo anterior, a los bosones portadores de las interacciones los denominamos bosones gauge.

De hecho, la propia relatividad general de Einstein es una teoría gauge en cierto sentido: es invariante bajo transformaciones locales arbitrarias de coordenadas (el grupo sería Diff(M), es decir, los difeomorfismos que se pueden hacer en el espaciotiempo en cuestión). El resultado de esta exigencia es el campo gravitatorio, cuyo cuanto, el gravitón, sería el responsable de la interacción gravitatoria. Todo lo dicho es clásico: no hemos conseguido una teoría cuántica gauge de la gravitación (y hay ciertas sutilezas que hacen que el formalismo no sea totalmente análogo).

Si tras leer el todo esto no has alucinado como nunca en tu vida, no tienes corazón, permíteme decirte 😛

Pero me estoy adelantando a la historia, porque realmente los físicos que estudiaron la electrodinámica cuántica no se dieron cuenta de todo esto. Hacían falta físicos valientes que probaran con grupos de simetría más complicados.

Los campos de Yang-Mills

La cosa quedó ahí. La electrodinámica cuántica era una teoría gauge, pero tampoco parecía algo demasiado trascendental (este hecho solo se aprovechaba para simplificar cuentas, fijando un gauge conveniente). Pero las simetrías gauge podrían dar mucho más de sí.

Los primeros y valientes físicos que tiraron de este hilo fueron Chen Ning Yang y su colaborador Robert Mills.

Yang y Mills se dijeron: ¿y si probamos a desarrollar las matemáticas de la simetría SU(2) tomada como local, en lugar de global? SU(2) era el siguiente grupo más sencillo con el que probar, y aun así no era nada trivial, pues es un grupo no abeliano. Su elección no tenía por qué corresponderse con la realidad, simplemente querían ver qué les arrojaban las matemáticas y ya más adelante decidirían si era útil o no.

Y lo fue.

Como ya hemos contado, resultó que de tan simple petición la teoría les devolvía las interacciones compatibles con dicha simetría y el número de bosones mediadores (que coincide con la dimensión del grupo siempre, lo recalco), cuyos campos se conocen en su honor como campos de Yang Mills (en general se conocen así a todas las teorías con simetrías internas gauge basadas en grupos especiales unitarios, SU(N)). Pero un vistazo rápido a la lista de partículas conocidas les aseguraba que no existían: su modelo implicaba la existencia de tres bosones de espín unidad (dos de ellos eléctricamente cargados) sin masa. Y los bosones conocidos con tales características tenían todos masa (salvo el fotón).

Es más, si el grupo gauge es no abeliano, los bosones mediadores pueden interactuar entre sí (a diferencia de los fotones, que no pueden interactuar entre sí por salir de un grupo abeliano!). Esto lo complicaba todo, en especial probar que teorías así fueran renormalizables. Es decir, que al hacer las cuentas estas no se fueran al garete dando siempre infinitos. Se había aprendido a arreglar las cuentas (a renormalizar) en electrodinámica cuántica, pero una simetría no abeliana complicaba todo demasiado, así que muchos físicos se desanimaron.

Esta vía quedó aparcada unos años, a falta de algún mecanismo que permitiera dotar de masa a los bosones sin romper la simetría gauge y de aprender a renormalizar teorías no abelianas. Y la pragmaticidad inundó el panorama tras el triunfo de Gell-Mann con su camino óctuple,  haciendo olvidar a los físicos la búsqueda de simetrías exactas de nuevo.

El camino óctuple

Que era necesario buscar un grupo de simetrías mayor que SU(2) para la fuerza fuerte era evidente desde que se descubrió la extrañeza y se vió que la fuerza fuerte la conservaba. Con dos números cuánticos por ahí danzando (isospín y extrañeza) se necesitaban  más dimensiones (grupos mayores) para su descripción.

Como explicamos en la segunda entrada de la serie de física de partículas, en los años 60 el físico Murray Gell-Mann (e independientemente Yuval Ne’eman) consiguió poner algo de orden en el zoológico de partículas existente con su camino óctuple, basado en las simetrías del grupo SU(3).

Anteriormente Gell-Mann había propuesto modelos fenomenológicos (es decir, basados en simetrías aproximadas, con campos mediadores que seguramente no serían los adecuados) intentando explicar las características de la fuerza débil y la fuerza fuerte, pero aunque no eran tan malos, las cosas no terminaban de cuadrar.

Ironías de la vida, en el año académico de 1959-1960, Gell-Mann se hallaba en el College de France tratando de generalizar la simetría SU(2),  y de vez en cuando comía con los matemáticos franceses de dicha universidad. Uno de ellos, Jean-Pierre Serre, era uno de los expertos mundiales en la clase de matemáticas que a Gell-Mann le harían falta. Pero la física pasaba por tal época de pragmaticidad, que Gell-Mann no mostró interés por el trabajo de sus colegas , retrasando su propio trabajo. Esto nos enseña que es necesario crear puentes entre ambas disciplinas, pues surgirán siempre sinergias. Muchos problemas de matemáticas vienen del mundo de la física, y practicamente cada nueva herramientas matemática que se ha desarrollado ha encontrado cabida en uno u otro aspecto de la física.

Así con todo, a finales de los sesenta, Gell-Mann habló con el matemático Richard Block, quien le explicó que lo que trataba de hacer era un problema conocido desde hace tiempo en matemáticas. Se trataba de estudiar las representaciones del grupo SU(3).

Yo creo que a Gell-Mann le mostraron patrones como este:

Sacado del libro «Lie Algebras in Particle Physics» de Howard Georgi

y entendió que era justo lo que buscaba. Intentó cuadrar las partículas conocidas en dichas configuraciones y… el resultado es apabullantemente concluyente, ¿no creéis?

Decuplete de bariones de espín 3/2. Sacada de aquí

De las representaciones de SU(3), una de las más simples, la representación octodimensional (de ahí lo de óctuple camino), permitía cuadrar a los bariones ligeros conocidos. La decadimensional, a los más pesados.

Quizá creas que el uso de teoría de grupos se reduce a una mera labor de taxonomía. Nada más lejos de la realidad. Observar patrones te permite predecir regularidades. Recordemos que, para cuando Gell-Mann propuso los multipletes anteriores, en el decuplete faltaba el barión Omega menos. Por tanto, propuso su existencia. Es más, usando las propias matemáticas del grupo SU(3) predijo cosas tales como la masa de dicha resonancia (la famosa fórmula de masas de Gell-Mann-Okubo). El tiempo le dio la razón (y fama… y un nobel).

Pero aún quedaban sorpresas.

Los grupos especiales unitarios tienen una cualidad especial: cualquier representación se puede obtener mediante el producto (tensorial) de suficientes representaciones fundamentales. La representación fundamental de SU(3) es tridimensional. Esto llevó a Gell-Mann, e independientemente a George Zweig, a proponer la existencia de entidades más fundamentales que los mesones y los bariones, de los cuales estarían hechos, a las que llamó quarks. (Hubo un intento anterior de simplificar todo este embrollo por parte de Sakata, proponiendo al protón, al neutrón y a la resonancia Lambda como el triplete de la representación fundamental, pero no consiguió cuadrar el resto de bariones en multipletes).

El producto de representaciones tridimensionales permitía obtener todos los patrones donde los mesones y bariones encajaban a la perfección. Y de hecho, la formulita matemática para ello es muy simple (engañosamente simple, más bien).

Si multiplicamos dos representaciones tridimensionales, obtenemos una unidimensional (el singlete) y una octodimensional (el octuplete):

    \[3\otimes \bar{3}=1\oplus 8\]

Si multiplicamos tres representaciones tridimensionales, obtenemos:

    \[3\otimes 3\otimes 3= 1\oplus 8\oplus 8\oplus 10\]

donde ya aparece nuestro querido decuplete (y más octetes para los demás mesones). Ahora te pediría (te rogaría) encarecidamente que repases la segunda entrada sobre física de partículas donde discutimos estos patrones. ¿No te parece absolutamente increíble que existan unas «super-matemáticas», como llamó Eddington a la teoría de grupos, que los expliquen?

El Gell-Mann de diez años viendo que 3×3 es 1+8, y que 3x3x3 es 1+8+8+10. el de 35 años usándolo para explicar las resonancias mesónicas y bariónicas. Esto es una exageración, pues Gell-Mann fue un niño superdotado, así que con diez años sabía más que el que aquí escribe 😛

Aun con todo, se sabía que la simetría no podía ser exacta, pues las masas de los mesones y bariones en el mismo multiplete no eran iguales. De hecho, las masas de los propios quarks no eran iguales. El problema era considerar el grupo SU(3) como una simetría respecto al sabor de las partículas (como si cambiar dos quarks dejase la física invariante, lo cual no es cierto dado que sus masas no son iguales, y la simetría está explícitamente rota), cuando la verdad era que este mismo grupo guardaba nueva física bajo la manga.

Simetría de color

Como hemos dejado caer, finalmente los físicos entendieron que el grupo SU(3) era el correcto, pero la simetría que empleaban era la equivocada. La física no era invariante bajo cambios de sabor, sino bajo cambios de color.

El color, como ya vimos, fue introducido por Greenberg en 1964 para que se cumpliera el principio de exclusión de Pauli en determinados bariones. Lo siguiente que hizo falta fue entender que el grupo SU(3) se podía ver como un grupo gauge cuya simetría interna era el intercambio de la carga de color.

Así surgió la cromodinámica cuántica. Al gaugear la simetría, las matemáticas te devolvían la forma de las interacciones: estas estaban mediadas por ocho bosones gauge, llamados gluones (del inglés glue, «pegamento», por la gran intensidad con la que unían los hadrones). Esta teoría tuvo que enfrentar; y sigue enfrentando, muchos problemas que impidieron que se consolidara rápidamente (un articulillo de Francis por aquí).

Los gluones también sufren el fenómeno de confinamiento (pues tienen carga de color, de hecho dos cargas, pero eso es una sutileza que ahora no viene a cuento, así que me callo) que expliqué por aquí.

De nuevo las física tiene poco más que decir, y deja paso a las matemáticas. Como hemos dicho, el número de bosones que aparecen cuando tenemos una teoría Yang Mills coincide con la dimensión del grupo. Los grupos especiales unitarios SU(N) tienen dimensión N^2-1, por lo que la dimensión de SU(3) es 8, y aparecen 8  bosones vectoriales (que forman un octete).

Sacada de aquí.

Los quarks forman tripletes de color, y por eso distintos quarks (distintos sabores de quark) tenían masas distintas. Realmente la simetría es exacta al intercambio de color: un quark de un sabor dado aparece en la naturaleza con tres cargas de color distintas, pero por ser simetría, los tres colores de quark tienen la misma masa.

Bosones de Goldstone y mecanismo de Higgs

La solución a muchos de los problemas que enfrentaban los físicos teóricos vino del campo que menos se esperaban: la física de estado sólido.

Allí se había dado respuesta a problemas como el siguiente: ¿cómo se vuelve magnético un material que en un inicio no lo es? Tratando de explicarlo, se había entendido que en el proceso ocurría algo que se denominó ruptura espontánea de la simetría (ruptura, que no rotura).

Piensa en un imán. La teoría nos dice que los espines atómicos en él pueden apuntar en cualquier dirección. Luego tanto su estado como las ecuaciones que los gobiernan son invariantes bajo rotaciones. Pero claramente los espines se han alineado en una dirección preferente, reforzándose y creando un campo magnético macroscópico. Por una cuestión probabilística, los espines atómicos han acabado orientados en una dirección en concreto. El estado del imán, al inicio invariante bajo rotaciones tridimensionales (grupo SU(2)) ahora solo es invariante bajo rotaciones alrededor del eje respecto al cual los espines se han alineado (grupo U(1)).

Recordemos que las ecuaciones siempre son invariantes, pero las soluciones no tienen por qué serlo. Este es un caso. Lo que ocurre es que el estado de más baja energía (estado fundamental) no corresponde al de mayor simetría (espines desordenados con espín total nulo), sino al de espines alineados. En la evolución hacia el estado de menor energía la simetría del sistema se ha roto. Es algo así como cuando pones un lapiz completamente vertical sobre la punta. La situación inicial es la de mayor simetría: podría caer a priori en cualquier dirección. La situación final es una de tantas, en la cual la simetría inicial se ha perdido.

Resulta que, cuando se rompe espontáneamente una simetría global, pasando de un grupo de dimensión n a otro de dimensión menor m (subgrupo del primero), aparecen tantos bosones sin masa y espín cero como diferencia de dimensión tengan estos grupos. Estos bosones se llaman bosones de Nambu-Goldstone. Este teorema fue probado en 1961 por Goldstone, Salam y Weinberg. (Yoichiro Nambu hizo otras cosillas anejas en las que no entraremos).

Esto permitía entender las características de los piones como bosones de la fuerza nuclear fuerte. Su pequeña masa, en comparación con la del resto de partículas conocidas, se achacaba a que la simetría no fuera exacta. Se les llama pseudo-bosones de Goldstone.

De hecho, cuando al inicio estas ideas de la física del estado sólido se importaron a la física de partículas se pensó que las simetrías aproximadas eran el resultado de la ruptura de simetrías exactas. El problema es que no se entendía aun bien el papel de las simetrías aproximadas. El teorema de Goldstone se usaba como un teorema de imposibilidad, cerrando las vías a la creatividad de muchos jóvenes físicos: «no, por ahí no tires, que el teorema de Goldstone demuestra que eso no puede llevar a ningún lado».

En 1965 un joven Peter Higgs e, independientemente Robert Brout y Francois Englert (realmente aquí más nombres que citar, tantos que parece una broma ya, ABEGHHK’tH mechanism dice la wikipedia que lo llama el propio Higgs), intentando recuperar la idea de los campos de Yang Mills para la interacción fuerte, demostraron que si las simetrías rotas eran locales (gauge) en lugar de globales, los bosones que aparecen sí pueden tener masa y espín. La idea era introducir un nuevo campo, el ahora conocido como campo de Higgs, cuyo estado de vacío (el fundamental) no fuera tan simétrico como la teoría en sí, produciéndose una ruptura de la simetría en esta elección. En este sentido, el efecto no es algo dinámico, sino que debe ser introducido a mano en las ecuaciones y por tanto el valor esperado del campo de Higgs en el vacío ha de ser medido.

El mecanismo de Higgs era la respueta a la pregunta: ¿Cómo conservamos nuestras teorías basadas en simetrías gauge a la vez que podemos dotar de masa a las partículas? Pero aun hacía falta acoplarlo a algun modelo realista. Algún día nos podemos detener a explicar el mecanismo, pero mientras tanto, si quieres aprender sobre el mismo con una canción, puedes ver este vídeo del genial canal A Capella Science.

Teoría electrodébil

Tras las ideas de Yang y Mills, fueron muchos los físicos que trataron de encontrar una teoría para la interacción débil que se basase en simetrías gauge.

Quizá el más importante de los primeros que lo intentaron fue Julian Schwinger, ya famoso por sus contribuciones a la electrodinámica cuántica (que le valdrían el nobel junto a Feynman y Tomonaga). A mitad de los cincuenta le contó a sus estudiantes sus avances, con la suerte de que entre esos estudiantes estaba Sheldon Glashow. Este fue el primer físico que intentó una teoría con el grupo de simetrías adecuado para la interacción débil, SU(2)\times U(1) (sí, también podemos multiplicar grupos y obtener nuevos grupos). El problema es que introdujo a mano términos de masa, perdiendo la invarianza gauge (y la posibilidad de obtener una teoría renormalizable, ya que los términos de masa lo estropean).

Ya en 1967, Steven Weinberg e independientemente Abdus Salam dieron con la clave: utilizar dicho grupo como el grupo de simetrías gauge para unificar las interacciones débiles con las electromagnéticas, obteniendo una teoría para la fuerza electrodébil. Su éxito radicó en introducir el mecanismo de Higgs para dotar de masa a los bosones mediadores, sin necesidad de perder la invarianza gauge considerando términos explícitos de masa. El artículo que Weinberg publicó, A model of Leptons, es hasta hoy el segundo artículo más citado de la historia en física. Todo este trabajo, además, les brindaría un nobel a estos tres geniales físicos en 1979.

Sacada de aquí

¿Y cómo entra la simetría aquí?

Pues ahora se tiene que el grupo de simetrías es SU(2)\times U(1), el cual se rompe espontáneamente (conforme el campo de Higgs adquiere un valor esperado definido) a U(1). La simetría dicta el diseño, y las matemáticas nos dicen en tal caso que aparecerán tres bosones masivos (los dos W^{\pm} cargados y el neutral Z^0).

El modelo descrito fue un logro enorme de la física de partículas por varias razones:

  • Por fin se explicó la interacción débil tras más de 80 años de haber observado la radiactividad, de la cual era responsable. Anteriormente se tenían teorías (de Fermi, o la versión mejorada V-A), pero eran insuficientes a todas luces para calcular los procesos a cualquier energía.
  • Fue la primera unificación en física de partículas (y la última hasta el momento). Las interacciones electromagnética y débiles quedaban unidas. ¿En qué sentido hablamos de unificación? Pensemos por un momento en qué hace que digamos que Einstein unificó espacio y tiempo en espaciotiempo. Einstein descubrió que, debido al principio de relatividad (mismas leyes físicas para todos los observadores inerciales), lo que para uno es espacio para otro puede ser tiempo. Es decir, las coordenadas espacio y tiempo pueden rotarse una sobre otras al hacer un cambio de sistema de referencia. Esto es precisamente lo que expresan las transformaciones de Lorentz. De igual forma, cuando se estudia la ruptura de simetría del grupo SU(2)\times U(1), aparecen cuatro bosones que no sabemos cuáles son. Los bosones físicos que observamos resultan de combinar estos (con sumas y restas). En cierto sentido, es como si los rotásemos unos sobre otros para mezclarlos y dar tres bosones masivos (W’s y Z) y uno sin masa (\gamma).
  • Por fin se usó una teoría de Yang Mills de manera que pudiera dotar de masa a las partículas sin necesidad de perder la invarianza gauge. El mecanismo de Higgs permitía hacer esto, aunque al inicio descolocó a muchos investigadores. El propio Weinberg escribió:

» Como a los teóricos les suele ocurrir, caí enamorado de esta idea. Pero como usualmente ocurre con las historias de amor, al principio estaba algo confuso respecto a sus implicaciones».

  • Predecía la existencia de corrientes neutras, es decir, procesos donde las partículas que participan no cambian su carga, como en la dispersión entre neutrones o neutrinos, electrón neutrino, etc. Dichas corrientes no habían sido observadas, pero pronto (1973) se encontraron pruebas experimentales de su existencia. De hecho, los grandes logros del CERN (por aquí vídeo de Quantum  Fracture) tienen que ver con esta teoría: encontrar las corrientes neutras, medir la masa de los bosones W y Z y descubrir al famoso Higgs.

Todo esto dejaba más o menos sentadas las bases de lo que se comenzó a llamar Modelo Estándar de la Física de Partículas. Pero aun quedaba un problema que ninguno de estos investigadores supieron solventar. ¿Eran sus teorías renormalizables?

Las teorías de Yang Mills son renormalizables

La renormazibilidad de las teorías de Yang Mills traía de cabeza a todos los físicos.

Weinberg, tras proponer su modelo, trató de demostrar que era renormalizable sin éxito. Como él mismo confiesa, el problema residía en no aprovechar todas las herramientas matemáticas a su disposición (en concreto, intentó probarlo usando la formulación usual de teoría cuántica de campos, basada en operadores de creación y destrucción, pero en este caso era mejor usar la formulación de integrales de camino de Feynman). Moraleja 1: usad siempre todas las herramientas a vuestra disposición. Moraleja 2: cuantas más matemáticas sepáis, mejor.

La solución vino en 1971 de un joven Gerard’t Hooft y su director de tesis Martinus Veltman, los cuales demostraron que cualquier teoría de Yang-Mills podría ser renormalizable. Con esto la confianza en el modelo de Weinberg, Salam y Galshow llegó a cotas insospechadas, lo que hizo que todo el mundo se lanzara a comprobarlo experimentalmente y a trabajar en él. De ahí que por 30 años el artículo de Weinberg fuera el más citado.

Sacada de aquí.

El Modelo Estándar

Con todo lo dicho, a finales de los años 70 ya se hablaba de un «Modelo Estándar» para la física de partículas. Este modelo, a día de hoy, ha demostrado ser suficiente para predecir todo lo que un experimentador puede llevar a cabo en un laboratorio con las energías hoy disponibles (no así en otros contextos mucho más energéticos, y aun así, a bajas energías caben matices en lo anterior).

El modelo (más que modelo, teoría) queda como sigue: basado en el grupo de simetrías gauge SU(3)_C\times SU(2)_L\times U(1)_Y, donde SU(3)_C es el grupo que describe la interacción fuerte y SU(2)_L \times U(1)_Y describe la interacción electrodébil. Aunque la simetría es (o así lo creemos) exacta, el vacío no es simétrico al grupo electrodébil, por lo que hablamos de una ruptura espontánea de la simetría de dicho grupo al grupo U(1)_{\text{em}} que describe la interacción electromagnética, ruptura que además permite dar masa a los bosones vectoriales W^{\pm} y Z y a los fermiones y que implica la introducción de una nueva partícula, el bosón de Higgs.

En total, el grupo correspondiente a la interacción fuerte aporta 8 bosones gauge (dimensión 8), los gluones, y el de la interacción electrodébil 4 más (dimensión 4), que tras una ruptura espontánea de la simetría resultan en los conocidos W^{\pm}, Z y nuestro querido y no masivo fotón \gamma.

¿Véis ahora qué bien encaja todo? Pues los teóricos aun quieren más.

Teorías de Gran unificación

Con la unificación de las interacciones electromagnética y débil los físicos tenían ganas de más.

A muchos les movía (y les mueve) un sentido estético del que algún día podríamos hablar. Creen que, una teoría más simétrica, donde todas las fuerzas puedan unirse y la disparidad de interacciones que observamos procedan de rupturas de simetría, debe ser la manera en que la naturaleza tiene que funcionar. Bien por una economía de medios que le adhieren a la naturaleza o bien porque tendemos a la unidad (somos animales, reducir los fenómenos observados a una sola causa nos causa placer ya que no debemos focalizar la atención en múltiples puntos).

Pero las unificaciones tienen ventajas más allá del placer estético que nos produzcan.

Hacen los modelos más predictivos, menos arbitrarios. Deshumanizan la física. Como comentábamos en la entrada sobre el Modelo Estándar, según cómo se cuente se tienen hasta 61 campos distintos. Tal como está hoy día formulado, es necesario medir entre 18 y 26 parámetros que la teoría no te da (masas, constantes de acoplo, ángulo de Weinberg…). Las unificaciones hacen las teorías más predictivas al reducir el número de parámetros necesarios.

Por eso no es de extrañar que los físicos se lanzaran de inmediato a buscar un grupo que incluyera al grupo del Modelo Estándar como subgrupo, y que por ruptura espontánea de simetría lo produjera. A estas teorías se les conoce por el nombre de Teorías de Gran Unificación (GUT).

Alguna que otra pista les decía que debían poder unificarse las fuerzas. En concreto, el estudio del confinamiento de los quarks y la libertad asintótica les había enseñado que las constantes de acoplamiento de las interacciones no son tan constantes. Varían con la energía. Y si se pinta esta variación, parece que pudieran llegar a unirse en algún momento (dentro del margen de error experimental):

Las teorías gauge no abelianas son asintóticamente libres, por eso las inversas de las constantes de acoplo crecen con la energía para la fuerza débil y la fuerte mientras que decrecen para la electromagnética, que se hace más intensa a distancias menores.

El primer y más famoso de los grupos que se propusieron (en este caso por Howard Georgi y Shelley Glashow) fue SU(5).  Las matemáticas, de nuevo, son tajantes: asociado a este grupo gauge deben haber 24 bosones gauge. Es decir, 12 más que en el modelo estándar, que se suelen representar con las letras X e Y, y se entiende que el modelo estándar sale como resultado de una ruptura espontánea de la simetría a energías mayores (entorno a 10^{15} veces la masa de un nucleón). Dicha ruptura de simetría dota de masas enormes a los bosones X e Y, lo que hace que no participen en los procesos cotidianos.

Al respecto, Anthony Zee bromea en su libro «Fearful Symmetry» que Dios no dijo «¡Sea la luz!«. Más bien dijo: «Sea una teoría Yang-Mills SU(5) con todos sus bosones gauge, sea la simetría espontáneamente rota, y sean todos sus bosones no masivos salvo uno confinados a la esclavitud infrarroja. Este último bosón es mi favorito. ¡Que ilumine todas mis creaciones!» (La esclavitud infrarroja es el hecho de que las fuerzas fuerte y débil sean asintóticamente libres).

Lo que se consigue con este grupo es cuadrar a los fermiones del modelo estándar en tres copias de las representaciones de dimensión 5 y 10 del grupo (esto que despacho con una frase es de una belleza apabullante. Recuerdo a mi profesor de partículas contándolo y alucinando con que se pudiera hacer. Solo esto ya convenció a muchos físicos de que algo de verdad había en el modelo).  ¿Consecuencias?

  • La carga estaría cuantizada. Esto se debe a que el grupo U(1) responsable del electromagnetismo ya no está factorizado del grupo total, sino que aparece como subgrupo tras sucesivas rupturas de simetría. (La cuantización de la carga también implica monopolos magnéticos que por el momento no han sido encontrados).
  • Las matemáticas de teoría de grupos explicarían la carga de electrones y quarks, perdiendo la arbitrariedad tan grande que tenían (¿por qué la carga de protones y de electrones es igual pero opuesta? Aceptando el modelo se responde a la pregunta).
  • Ahora quarks y fermiones caen dentro de la misma representación, lo que permite que los bosones X e Y los conecten y, tachín tachán, el número bariónico…¡ya no se conservaría! En concreto, el protón ya no sería estable, pudiendo desintegrarse (por ejemplo según p\to \pi^0+e^+). Se puede calcular la amplitud de probabilidad de este proceso, que resulta inversamente proporcional al cuadrado de la masa del bosón X. Esto implica que la vida media del protón sería de 10^{30} años (la vida del universo es 10^{13} años!).
  • Lo anterior reconforta a muchos físicos, que lo ven como (parte) de la solución al problema de la asimetría entre materia y antimateria en el universo. Realmente, nuestro universo es un mar prístino y homogéneo de fotones ensuciado por unos pocos bariones. ¿Cómo de pocos? Un barión por cada diez mil millones de fotones. ¿Por qué nadie haría un universo tan limpio y homogéneo, para después ensuciarlo con unos pocos bariones? (qué teísta queda, no me lo tengáis en cuenta: palabras de Zee, no mías). La solución está en que de igual manera que los bariones pueden desintegrarse, también pueden crearse. Mientras el unvierso se expandía y enfriaba se crearían, y la pequeña violación de CP que acomodamos en el modelo estándar explicaría que haya más materia que antimateria (o viceversa, llamar materia a una cosa y antimateria a lo otro es un convenio). Aunque esta explicación no es lo suficientemente profunda, convence en gran medida a algunos físicos enamorados de esta simetría.

Se han hecho muchos experimentos desde entonces, y se ha conseguido descartar con suficiente precisión que la vida media de los protones sea esa, haciendo perder el interés en este grupo a muchos físicos (no a unos cuantos enamorados del mismo, como A. Zee, que creen que algo de verdad hay en él). Esto hace que se hayan seguido buscando teorías de gran unificación, basadas en grupos más grandes (como SO(10), SU(8), SO(18), etc). Esto empuja el tiempo de vida media del protón aun más lejos, y traen otras cosillas curiosas que quizá algún día contemos 😛


¡Y así acaba nuestro periplo por el mundo de la física de partículas! Tras cuatro entradas, creo que he contado una visión general de cómo los físicos entienden la física de partículas y como la simetría entra en escena.

Espero haberte convencido de que la simetría es muy (pero que muy) importante en la física actualmente.

Las simetrías son democratizadoras. Unen puntos de vista. Eliminan redundancias.

Las simetrías son restrictivas. Por ejemplo, imagina una arquitecta que debe diseñar una catedral. A priori, infinidad de diseños son posibles. Pero ahora viene el obispo y le exige que la catedral debe ser simétrica frente a rotaciones de sesenta grados (obispo caprichoso donde los haya). Con ello, la cantidad de opciones se reducen: podría hacer una catedral hexagonal, dodecagonal,… pero no cualquier catedral vale. Se han restringuido sobremanera las posibilidades.  De igual manera, las simetrías restringen las formas de las leyes físicas. No puedes proponer cualquier ley que se te ocurra, debe demostrar ser invariante bajo las simetrías que hagan falta. Y esto nos lleva al siguiente punto.

Las simetrías dictan el diseño de las leyes físicas. Desde Einstein, la manera de hacer física ha cambiado. El foco está puesto sobre las simetrías. Antes se observaban hechos, se formulaban leyes y se descubrían simetrías en estas leyes y en los hechos. Ahora se abstraen simetrías, y se usan para conjeturar la forma de las ecuaciones de las que se derivan predicciones y se explican los hechos. Nuestras teorías se construyen para respetarlas, ya que las consideramos fundamentales, inherentes a la naturaleza. En esta entrada este punto ha quedado claro: por el mero hecho de introducir una simetría gauge, quedan fijados el número de bosones, la forma de las interacciones, masas, cargas, tiempos de vida media…

Somos siervos de las simetrías que introducimos en nuestros modelos. Somos productos de las simetrías que la naturaleza eligió para funcionar.

Me dejo mucho más en el tintero. Sobretodo, me gustaría hablar algún día del sentido estético que ha guiado a los físicos muchas veces en aras de construir modelos más simétricos (Einstein con el principio de relatividad, Dirac con su ecuación, o incluso Copérnico y Newton asegurando que nuestra posición no es especial en el universo). Pero eso será en otra entrada 🙂

Lecturas recomendadas

Respecto a libros de divulgación que haya leído para esta entrada, los que más me han gustado han sido Fearful Symmetry de Anthony Zee (solo en inglés),  Partículas elementales, de Gerard’ t Hooft (que reseñamos por aquí) y Not Even Wrong, de Peter Woit (este último solo algún trocillo relativo a las simetrías en física de partículas).

Libros que más bien son divulgación para físicos (quieren entrar por la puerta de la divulgación, pero realmente ni de coña) y que también he consultado han sido Gravitación, de Ivanenko y Sardanashvili, y El camino a la realidad, de Roger Penrose.

Libros de texto de los que he sacado cosillas más técnicas han sido Quantum Field Theory in a Nutshell, de A. Zee también, Física nuclear y de partículas, de Emilio Torrente (profesor que tuve en el grado de física en Murcia), Introduction to elementary Particle Physics, de David Griffiths, y Lie Algebras in Particle Physics de Howard Georgi (he consultado cosillas sueltas, tampoco vayáis a pensar que me los he leído todos, qué más quisiera yo que disponer del tiempo para ello).

También os dejo algúnos articulillos técnicos cuya consulta es gratuita: The Standard Model, para una revisión de todo el modelo estándar bastante amena, A simple introduction to Particle Physics para uno que se focaliza más en teoría de grupos y su aplicación en física de partículas y The making of the Standard Model, para una revisión de la historia del modelo estándar por uno de sus creadores, Steven Weinberg.

2 comentarios en “Simetrías en física. Parte II: simetrías en física de partículas”

  1. Enhorabuena por la pedazo entrada que te has marcado!
    Se nota que hay mucho curro y muchas lecturas atentas tras esta serie de entradas.

    Leyéndola me han surgido algunas dudas generales, que me gustaría preguntarte:

    1) Comentas que la Relatividad General (RG) de Einstein es una teoría gauge, invariante bajo transformaciones locales de coordenadas. Se podría entonces derivar toda la la RG cogiendo las simetrías del grupo de Lorentz, y haciendolas locales?

    2) Leyendo en el pasado cosillas sobre simetrías en física de partículas, siempre me ha rayado la notación de producto tensorial (\otimes) y suma directa (\oplus). Pienso que sería mucho más fácil de imaginar si lo pudiéramos escribir como matrices. Así, cuando escribes por ejemplo 3 \otimes \bar{3} = 1 \oplus8, es correcto imaginarme que en el lado izquierdo tengo el producto tensorial de matrices 3×3, cuyo resultado es una matriz 9×9? Y entonces, tendría en el lado derecho la suma de dos matrices 9×9, una con un bloque cuadrado 8×8 lleno de ceros y la otra con solo una fila y columna llena de ceros?

    3) Has dicho que las teorias gauge no abelianas son asintóticamente libres, es decir que a mayores energías (distancias más pequeñas) la intensidad de la interacción disminuye. Y al revés, a menores energías (distancias más grandes) la intensidad de la interacción aumenta. Entonces, por qué en la interacción débil no tenemos fenómenos como el confinamiento, presentes en la interacción fuerte?

    Gracias por adelantado
    Sigue haciendo entradas así de molonas 🙂

    Responder
    • Buenas Guille, muchas gracias 🙂
      Te contesto en orden:
      1) La relatividad general se puede «derivar» como una teoría gauge, aunque el grupo a «gaugear» sería el de Poincaré, no el de Lorentz. Hay salvedades entre ambos formalismos, por ejemplo, en relatividad general la conexión de la derivada covariante no hace el papel de campo dinámico que represente a la gravedad, mientras que en las teorías gauge de física de partículas los campos gauge sí actuan como conexión. Las diferencias están comentadas en el libro «Gravitación» que cito al final, por si te apetece profundizar.
      2) Respecto al producto tensorial, yo también lo he imaginado así alguna vez aunque cuando he estudiado alguna cosilla al respecto es más complejo. Si te sirve de ayuda, puedes pensar en la suma de momentos angulares que hacíamos en cuántica en la carrera: sumar dos momentos angulares consiste en descomponer el producto tensorial de los espacios vectoriales iniciales en suma directa de espacios vectoriales.
      3) Las teorías gauge no abelianas son asintóticamente libres (tanto la fuerza fuerte como la débil), pero a distancias mayores la única que sufre la «esclavitud infrarroja» es la fuerza fuerte. Debo cambiar la frase de Dios, me temo, debería decir «y sean todos los bosones no masivos salvo uno confinados a la esclavitud infrarroja». La esclavitud infrarroja, es decir, que la interacción crezca sin fin a distancias mayores no ha sido probada, aunque más o menos se extrapola en la fuerza fuerte y se cree que será así. Por otro lado, a energías normales, la fuerza débil (aunque sea cuando más «fuerte» es) sigue sin ser lo suficientemente intensa para formar estados ligados.

      Gracias a ti por las preguntas 😛

      Edito: ya he cambiado la frase, sin tu comentario no me habría dado cuenta

      Responder

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