¿Desde dónde se ve el Everest? Terraplanistas, horizontes y agudeza visual

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Si algo «bueno» ha tenido el confinamiento por el coronavirus, es el descenso en los niveles de contaminación. Esto ha hecho que se aprecien fotografías nunca vistas, como Madrid sin su habitual nube de smog fotoquímico, permitiendo ver la sierra a los madrileños. 

La red enseguida ha proliferado con fotos impresionantes, algún que otro montaje y muchos memes ironizando con la situación. Pero, ¿cómo saber si una foto así es posible? Para que no te la cuelen, en esta entrada vamos a responder la siguiente pregunta: ¿desde dónde se vería el Everest?

La entrada ha venido inspirada en fotografías espectaculares como ver los rascacielos de Madrid desde Alcalá de Henares (aunque la famosa foto viral resulta que no es de ahora, y está hecha con un teleobjetivo), o la que más a cuento viene, la cordillera del Himalaya a más de 200 km:

Pero también ha habido algún que otro montaje, como el de la Torre Eiffel desde Londres:

https://twitter.com/EAE_Africa/status/1244970968109309969

Aunque más que montaje, parece que lo que graba es la más mundana estación transmisora Cristal Palace. Ya con la carrerilla cogida, la gente se ha lanzado a hacer memes, como que desde su casa ahora veían el letrero de Hollywood, el logo de Universal (en el cielo) o el ojo de Sauron. El siguiente junta bastantes:

Pero la pregunta que nos hacemos es evidente: ¿cómo saber a qué distancia podremos ver algo? Y la respuesta tiene bastante física detras.

Horizontes

Primero deberíamos encontrar en general a qué distancia vemos el horizonte por el mero hecho de ser la Tierra curva.

Esta pregunta, que podría parecer un problema díficil a priori, la podría responder cualquier estudiante de secundaria sin más que usar el teorema de Pitágoras. Para ello, nos apoyaremos en el siguiente esquema:

Persona observando el horizonte. Que mis buenas dotes artísticas no te despisten de fijarte en que no está a escala.

La línea de visión entre tus ojos y el horizonte ha de ser tangente a la esfera. Esto hace que se forme un triángulo rectángulo de catetos x y R, con R el radio de la esfera y x la distancia en línea recta (sí, ya sé que la distancia real s será curva por ser un arco de círculo, ya hablaremos de eso), y R+h la hipotenusa, con h tu altura.

¿Qué nos dice el tito Pitágoras de los triángulos rectángulos? Que se cumple

    \[ x^2+R^2=(R+h)^2 \]

Desarrollando el cuadrado, podemos despejar la distancia x como:

    \[ x=\sqrt{2Rh+h^2} \]

Para tener una fórmula manejable, podemos usar que habitualmente la altura será mucho menor que el radio de la Tierra. Esto implica que podemos despreciar h^2 y quedarnos con la siguiente fórmula bien mona para la distancia al horizonte:

    \[ x=3.572\sqrt{h} \]

donde hemos usado que  R=6378\:\mathrm{km} e, introduciendo h en metros, obtenemos x en kilómetros.

Pero espera, queremos tratar con cosas tan altas como el Everest, ¿es lícito hacer esa aproximación? Si calculamos la distancia al horizonte en ambos casos tomando como altura el Everest, 8848 m, veremos que desde su pico el horizonte queda a unos nada desdeñables  336 km con la expresión exacta. ¿Y con la aproximada? Redondeando a kilómetros, también 336 km. Por lo que «no problemo» en usar la aproximada.

Sin duda te asaltará otra duda: vale, podras despreciar h^2 y todo lo que tu quieras, pero  la distancia sobre la Tierra (el arco s) debe diferir enormemente de la distancia en línea recta x, ¿no?

Pues tampoco.

Del esquema, podemos obtener s como sigue. En un círculo, un arco se relaciona con el radio y el ángulo que subtiende \theta como s=R\theta (puedes fiarte sin más que comprobar que para \theta=2\pi -círculo completo- obtienes la longitud del círculo).

Por trigonometría, podemos ver que

    \[ \cos\theta=\dfrac{R}{R+h} \]

luego

    \[ s=R\cos^{-1}\left(\dfrac{R}{R+h}\right) \]

Para el Everest de nuevo, obtenemos s=335.76 km. Un error despreciable. Esto es porque la Tierra es enorme. Un arco de ese tamaño representa menos del 1% de su longitud total.

(Los más atrevidos pueden entretenerse en comprobar que el desarrollo en serie de Taylor de la expresión del arco nos lleva a la expresión de distancia lineal si h\ll R.)

Todo esto está muy bien, te puedes entretener en calcular cosas cómo cuánto cambia la distancia al horizonte de estar sentado a de pie (ya te digo que tanto que te permite ver dos puestas de Sol seguidas en la playa). Pero nosotros lo que queremos es saber a qué distancia se pueden ver dos objetos dados, tú (que presumiblemente tienes cierta altura no nula) y otra cosa como una montaña o la Torre Eiffel.

Realmente tu altura cambia poco los números, pero una fórmula así podría ayudarnos a desmentir el vídeo de la Torre Eiffel desde Londres, que está grabado desde un edificio. Así que al lío.

Para ello, fíjate que la fórmula es muy sencilla: si dos objetos dados se ven, debe ocurrir que la línea de visión entre ambos sea (en el peor de los casos) tangente a la esfera.

Que mis increíble habilidad para el dibujo no continúe distrayéndote: sigue sin estar a escala. Lo de la derecha es una montaña, sí ¬¬

Por tanto, para encontrar la distancia d a la que dos objetos con alturas h_1 y h_2 pueden verse solo hay que sumar las respectivas distancias a los horizontes:

    \[ d=x_1+x_1=3.572(\sqrt{h_1} +\sqrt{h_2}) \]

Luego en un mundo donde solo existierais tú (humano medio con ojos a metro setenta del suelo) y el Himalaya, podrías ver el Everest a una distancia lineal de 340 km. Si te aburres, verás que sumando los arcos, s_1+s_2, obtienes lo mismo. Insisto, somos insignificantes.

De hecho, la distancia es aun mayor, pues la atmósfera refracta los rayos debido al cambio de densidad con la altura. Ello hace que, por ejemplo, cuando vemos el Sol ponerse, realmente hace rato que se escondió tras el horizonte y su ángulo respecto al mismo está 0.567º por debajo. Este efecto es máximo para el Sol, pues sus rayos atraviesan toda la atmósfera posible, pero para dos puntos sobre la Tierra no conlleva tanta corrección (cambiar el factor 3.572 por 3.86, fuente): pasaríamos de 340 km a 368 km. Meh, minucias.

Estas sencillas cuentas descartan de lleno que el vídeo sobre la Torre Eiffel sea verídico (aunque no hacían falta muchas mates para saberlo): la distancia Londres-París es, según Google Maps que mide el arco a lo largo de un círculo máximo pues es la menor distancia posible, 340 km (vaya coincidencia no? Desde Londres verían el Everest si estuviera en Paris). Si nos situamos en el edificio más alto de Londres, el rascacielos The Shard (altura de \sim 300 m), el horizonte queda a unos míseros 61.8 km. De igual manera, el horizonte desde la punta de la Torre Eiffel (también \sim 300 m de altura) queda igual de lejos. Por tanto, para verse entre ambos deberían estar a unos 123 km, y no es el caso. Lo siento terraplanistas. Lo siento, mujer que grabó el vídeo y acusó a los humanos de ser el virus (ahí no me meto).

En cambio, nos podemos fiar de las fotos del Himalaya, pues están tomadas a 200 km.

Pero ahora va y viene un terraplanista y te dice que la Torre Eiffel no se ve porque tu ojo no puede ver a tanta distancia. ¿Con qué argumentos le rebates ahora?

Para eso tenemos que preguntarnos: ¿cuándo somos capaces de ver algo?

Agudeza visual

No sé si alguna vez te lo has preguntado, pero ¿cuándo podemos diferenciar un punto de otro?

Lo primero, cuando la luz llega a un determinado objeto, se refleja y llega a nuestros ojos. La luz es una onda (permitidme que use ese verbo hoy), por lo que para poder ver un objeto es necesario que este sea mayor que la longitud de onda. Si no, en cierto sentido la luz será «insensible» a su forma y no podrá devolvernos una imagen definida del mismo (esto es similar a cuando tocamos un objeto liso y no notamos rugosidades, aunque sin duda las tenga si ampliamos).

Salvando este primer obstáculo, suponiendo que usamos luz en el rango visible y queremos ver objetos de tamaño mayor a la longitud de onda de la misma (\sim 400 - 700 \: nm), podemos imaginar el proceso de ver un punto como sigue: la luz llega a punto en cuestión, se refleja, llega a nuestros ojos y…¿Qué pasa ahí?

Pues recuerda que nuestros ojos, grosso modo, tienen una abertura (un orificio, que conocemos como pupila) cuyo tamaño lo regula el iris actuando a modo de diafragma. Esta abertura es circular, con un diámetro de entre 2 y 8 mm. Tras ello, los rayos desordenados se focalizan gracias al cristalino, una lente biconvexa cuya distancia focal puede variar gracias a los músculos ciliares, con el objetivo de producir la imagen enfocada sobre la retina en un proceso conocido como acomodación.

Pero claro, ¿qué le pasa a la luz, ondeando como ella va siempre, cuando atraviesa una ranura circular? Que se difracta.

Esto hace que las fuentes puntuales nos parezcan manchones borrones, surcados de franjas que las atraviesan. Por ejemplo, cuando miras a las estrellas, seguro que te has fijado en estas franjas: es la luz difractándose en (el borde de) tu iris. Por eso desde siempre hemos dibujado a las estrellas con puntas.

En concreto, el patrón de difracción de la luz en una abertura circular es conocido como patrón de Airy (por George Bidell Airy, quien primero lo describió y trató matemáticamente) y tiene esta forma:

Patrón real obtenido con láser rojo.

Para que podamos ver dos puntos como separados, es necesario que los manchones centrales (discos de Airy) no se superpongan.

Matemáticamente, la función que describe el patrón de Airy es el cuadrado de la función de Bessel J_1(z)/z (ahí lo llevas). Si la pintamos, sale una figura como esta:

De la teoría de difracción, sabemos que el ángulo entre máximo central y el primer mínimo es

    \[ \theta=1.22\dfrac{\lambda}{D} \]

con \lambda la longitud de onda de la luz y D el diámetro de la abertura circular.

Esta fórmula es muy interesante, porque nos permite concretar la afirmación que hicimos anteriormente: no podremos obtener una imagen veraz de un objeto si la longitud de onda es mayor que el tamaño del mismo, pues a mayores longitudes de onda el manchurrón que provocará en nuestra retina hará que parezca distorsionada (con dimensiones mayores que las del propio punto). Por eso usamos microscopios electrónicos: la longitud de onda de los electrones puede ser hasta 100000 veces menor que la de la luz visible.

Si tenemos dos fuentes de luz separadas, para poder verlas como distintas (resolverlas) lo que queremos es que produzcan patrones de difracción sobre nuestra retina cuyos máximos centrales no se superpongan. El criterio que se suele seguir, conocido como criterio de Rayleigh, es que el máximo de una caiga sobre el primer mínimo de la otra. Algo como lo siguiente:

Fuente: Hyperphysics

Imaginando el proceso a la inversa, el ángulo que subtienden los dos puntos separados que queremos ver ha de cumplir exactamente la expresión del criterio de Rayleigh. Bueno, para ser justos, como nuestro ojo tiene un índice de refracción n mayor a la unidad (entorno a 1.34 para el humor vítreo y acuoso) ha de incluirse en la expresión:

    \[ \theta=1.22\dfrac{\lambda}{nD} \]

Introduciendo numerajos (longitud de onda 555 nm, diámetro pupila 2 mm) salen unos 52 segundos de arco (para el rango de valores que hemos dado oscilaría entre 12 segundos de arco y minuto y medio). Esto es un ángulo enano. Enanísimo. Es el ángulo con el que verías una moneda de un euro a casi 100 metros. En general, te puedes entretener calculando cosillas como a qué distancia puedes ver un pelo, o cuando es capaz un telescopio de ver dos estrellas separadas (en un sistema binario por ejemplo, esto era un ejercicio típico de examen de óptica en la carrera), o si desde el espacio se puede ver la muralla china (espoiler, NO).

Pero ojalá la vida fuera tan sencilla. Realmente no tenemos una teoría completa sobre la visión que permita responder a la cuestión anterior. ¿Qué complicaciones entran en juego?

Pues la primera, que para entender dos puntos como separados, sus patrones de difracción deben caer en células nerviosas diferentes (conos). Si no, no se podrá enviar el estímulo adecuado al cerebro. Lo gracioso del asunto es que la separación entre conos lleva a un resultado similar. Es un buen ejemplo de cómo la naturaleza no «derrocha» recursos, y la evolución se ajusta a los límites que la física impone (¿para que meter más conos de por medio?).

Entre otros efectos debemos tener en cuenta aberraciones, microfluctuaciones de las curvaturas del cristalino… En fin, un pifostio que nos impide obtener una teoría decente sobre resolución (mínimo separable) del ojo.

Pero bueno, como buena aproximación podemos tomar 1 minuto de arco para la resolución angular máxima. No podremos ver objetos que subtiendan un ángulo menor.

De hecho, en la prueba con las que los oftalmólogos se ríen de nosotros ponen a prueba nuestra agudeza visual (esa de las letritas que debemos leer a distancia, conocida como test de Snellen), se considera que ves bien (20/20) cuando tienes una resolución entre 6 y 12 veces la que impone el criterio de Rayleigh. Las personas con una vista sana resuelven ángulos el doble de grandes de lo que el límite físico impone, y las que ven excepcionalmente bien lo rozan. La evolución es increíble.

En resumen, ¿qué le respondemos al terraplanista gentil hombre que mantiene creencias desmentidas siglos atrás?

Uno podría pensar (yo mismo lo pensaba hasta antes de hacer la cuenta) que para poder ver la torre Eiffel o el monte Everest es necesario que su punta sobresalga del horizonte lo suficiente para que subtienda un ángulo mayor al que impone el criterio de Rayleigh, y que por tanto la distancia real a la que podríamos ver objetos distantes se acortaría enormemente.

Pero como hombre de ciencias, en lugar de aferrarme a mis convicciones, he hecho la cuenta y veo que me equivocaba. Un mísero minuto de arco es un ángulo taaaan pequeño que con poco que te adelantes ya asomaría suficiente montaña/torre Eiffel para satisfacer el criterio de Rayleigh. Prueba y error, no hay otra.

Pero el capcioso argumento del terraplanista (qué «leídos» son para lo que quieren) no iba por aquí. Según él/ella, en una Tierra plana, no vemos la torre Eiffel a más de 60 kilómetros porque subtiende un ángulo tan pequeño que somos incapaces de resolverla.

Pero esto no es cierto.

Por ejemplo, en una tierra plana, a 60 kilómetros la Torre Eiffel subtiende un ángulo 20 veces mayor al mínimo resoluble. Luego se vería perfectamente ¿Cuánto nos tendríamos que alejar para no verla? Pues 20 veces más: a 1200 km de distancia. Vaya, ahora sí que se vería de sobra desde Londres.

Podríamos pensar que quizá podamos distinguir dos puntos por su altura, pero no por su ancho. Realmente esto no importa tanto mientras contraste mínimamente con el cielo de fondo, por eso podemos ver los cables de tensión a gran distancia pese a que son meras líneas sin grosor desde lejos.

Obviamente, la contaminación (ahora menor), las perturbaciones atmosféricas (gradientes de índice de refracción y demás) y simples montañitas debidas a irregularidades del terreno impedirían verla a distancias mucho menores. Pero, ¿y el Everest?

Pues en una Tierra plana, la distancia máxima a la que podríamos resolverlo serían 35 MIL kilómetros. No sé si aquí, por mucha perturbación atmosférica que metamos, podemos explicar que el Everest, en los mejores días, no se vea a más de los 300 kilómetros que dijimos. De hecho, en una tierra plana las protuberancias por irregularidades del Terreno importarían menos si te alejas, y la falta de aire a las alturas de la cúspide del Everest harían que las perturbaciones fueran menores (por eso vemos las estrellas tan bien en comparación a objetos en la lejanía sobre la Tierra).

En resumen, los argumentos terraplanistas nunca se sostendrán…porque la Tierra no es plana.

Al menos respondiéndolos aprendemos física por el camino 😛

8 comentarios en «¿Desde dónde se ve el Everest? Terraplanistas, horizontes y agudeza visual»

  2. Ofendido por este artículo y por las vanas evidencias aportadas en contra de los que concebimos la realidad que es que la Tierra es plana, y podrías documentarte y ver las evidencias básicas por los que se afirma que la Tierra es plana:
    1 – No hay curvatura visible en el horizonte.
    2 – Si la Tierra fuera un globo la nivelación de los mares sería imposible.
    3 – No se vio nunca a la Tierra girando desde el espacio.

    Saludos,
    JL.

    Responder

    • Ay, ojalá fuera JL de verdad, eso significaría que el blog va llegando lejos! 😛

      No responderé en detalle porque estoy seguro de que conoces las respuestas.

      Un saludo.

      Responder

      • Adrián Castello:
        Aunque me has aportado muchos conocimientos y puntos de vista; pasa que no consigo tener claro, al 100%, si el hecho de que podemos disfrutar de un horizonte rectilíneo, como debe ser, pero evidentemente nítido/definido/destacado, en un día diáfano, visto desde una playa ‘envidiable’, observándolo de pie junto a la orilla ‘mar/arena’ (horizonte a unos 5 km), etc ¿no es evidencia de que existimos sobre una enorme ‘bola’? ¿no se vería una bruma ocultando el ‘horizonte’ en esa falsa tierra de los terraplanistas?
        Gracias por ‘culturizar’

        Responder

  4. Respondiéndome a mí mismo:
    Donde dice «Castello» debe decir, por supuesto, «Castelo».
    No confundan las distracciones con las impertinencias, algo muy frecuente, por eso lo digo. De nada sirve tener cultura/conocimientos/etc, si no somos más educados si cabe ..

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