Midiendo el Universo (Parte I: la Tierra y la Luna)

¿Te has preguntado alguna vez cómo se han conseguido medir las distancias astronómicas históricamente? ¿Cómo pudieron los antiguos griegos medir el tamaño de la Tierra, la distancia a la Luna e incluso estimar la distancia al Sol? ¿Sabías que hasta el siglo XVII aun no habíamos medido con precisión la distancia al Sol, o que hasta principios del siglo XX no sabíamos el tamaño de nuestra galaxia ni que habían más como la nuestra? En esta serie de entradas haremos un recorrido histórico sobre las mediciones astronómicas, viendo el reto que supuso cada una y cómo superarlo nos abría una puerta a la siguiente escala de medidas, intentando conocer el tamaño de nuestro universo.

LA TIERRA ES REDONDA

Lo primero era darse cuenta de que nuestro planeta es esférico. La tarea no es fácil. Todas las civilizaciones se creen el ombligo del mundo. Aquellos lejos de la costa creerían que la Tierra se extendía por muchos kilómetros. Y los que se pudieran aventurar al mar (el Mediterráneo en este caso) verían que por más que navegasen no tenía fin. Si el mundo fuera plano, podría darse el caso de que fuera infinito, aunque lidiar con el infinito es algo a lo que nadie se acostumbra, por lo que rápidamente se desechó esta idea y se pensó que si era plano debía tener un final. Entonces, algo debía hacer de “tope”, en aras de que el océano no se derramase por los bordes. De aquí viene la idea del cielo como una firme coraza, firmamento, como cúpula semiesférica (pues imaginaban en general a la Tierra como un disco) que cerraba la tierra por los bordes.

Pero un hecho conocido por los navegantes es que navegando hacia el Norte ciertas estrellas desaparecían por el horizonte, así como aparecían nuevas. De igual manera ocurría navegando hacia el Sur (en dirección Este-Oeste es más difícil percibirlo, debido a la rotación terrestre). Como poco, la Tierra tenía que ser cilíndrica. Esto también venía atestiguado por el hecho de que lo primero que desaparecía de los barcos en el horizonte era el casco, mientras que el velamen aun podía verse (si la Tierra fuera plana, el barco debería ir encogiendo hasta no poder verse).

Alguien debió caer en el hecho de que este fenómeno no solo ocurría cuando navegaban hacia el norte o el sur, sino en cualquier dirección y de igual manera. Y la única superficie que se curva por igual en todas direcciones es una esfera.

Una última pista vino de los eclipses lunares. Si la tierra fuera un disco, la sombra proyectada sobre la Luna no podría ser siempre esférica, siendo en ciertos momentos del eclipse elíptica. Es decir, lo que se veía no era algo así…

sino más bien algo así:

Por tanto, para los antiguos griegos (pioneros en responder con observaciones a estas preguntas) la Tierra era claramente esférica (jaque mate, terraplanistas).

MIDIENDO LA TIERRA

Cabía preguntarse entonces por el tamaño de la Tierra. Y aquí vino en rescate el sabio griego Eratóstenes de Cirene, director por entonces de la biblioteca de Alejandría. A oídos del sabio había llegado la noticia de que cierto día del año, en la ciudad de Siena (hoy Asuán), en el momento en que el Sol se hallaba más alto, las columnas no proyectaban sombra, y el agua del fondo de los pozos reflejaba el Sol. Tal fenómeno nunca se veía en las ciudades al norte de Siena, entre las que se encontraba la propia Alejandría.

Para explicar el fenómeno, Eratóstenes supuso que el Sol se hallaba lo suficientemente alejado para que sus rayos incidiesen paralelos sobre la Tierra. Ocurriría entonces que incidían verticalmente sobre Siena, mientras que en el mismo momento en Alejandría incidían oblicuamente, haciendo que aun los objetos más verticalmente colocados proyectaran sombra. Hoy sabemos que lo que ocurre es que Asuán está (más o menos) sobre el trópico de Cáncer, donde en el solsticio de verano los rayos inciden verticalmente.

En aquel momento Eratóstenes estaba en posesión de los mejores mapas del mundo (¡recordemos que era director de la biblioteca de Alejandría!), y vio que el Nilo discurría desde Siena hasta Alejandría casi verticalmente, lo que hoy diríamos las coloca sobre el mismo meridiano (no exactamente, pues se desvía hasta 3º, algo inapreciable en aquella época). Si supiera la distancia entre ambas ciudades, y midiera el ángulo de la sombra proyectada por objetos en Alejandría en el momento en que en Siena no proyectaban sombra, podríamos entonces conocer la circunferencia de nuestro planeta. Y así lo hizo Eratóstenes.

Estimó la distancia entre ambas ciudades mediante los registros de los mercaderes que iban de una a la otra (mal método, pero muchas medidas reducen el error al promediar), dando una distancia de 5000 estadios. Midió la sombra proyectada por un objeto tal día, que resultó a la cincuentava parte de un giro completo (=7,2º). Dado que el ángulo es el mismo que el que une los radios de Alejandría y Siena, esta distancia debía representar también la cincuentava parte de la circunferencia terrestre, lo que nos brinda unos nada desdeñables 250000 estadios.

En la siguiente imagen podemos ver un esquema de la situación:

No hay consenso sobre la conversión estadios-metros; diversas fuentes arrojan resultados distintos. Siguiendo a Manuel Lozano Leyva en su libro “De Arquímedes a Einstein”, supondremos que un estadio equivale a unos 157,5 metros, lo que nos da una circunferencia de 39375 km y un radio de 6260 km, frente a los 6370 km hoy conocidos. Es decir, un error menor al 2% respecto al valor real. Con un experimento tan sencillo (que puedes hacer tu mismo con un amigo) se puede probar que la tierra es esférica, así que poquita excusa le queda a nadie para dudar de ello.

Como curiosidad, el experimento fue repetido por Posidonio de Apamea, obteniendo una circunferencia de 29000 km. Valor que fue aceptado por Ptolomeo (al cual se le antojaban demasiado grandes las cifras de Eratóstenes) y por tanto usado en el medievo. Dato que permitió a Cristóbal Colón convencer a Isabel la Católica de que un viaje a Asia rodeando el globo terráqueo sería adecuado.

DISTANCIA A LA LUNA

Conocido el tamaño de la tierra, tocaba pasar al siguiente nivel, aun con la idea en mente del cielo como cierta bóveda fija (que las estrellas parecieran no moverse de su posición; salvo una rotación diaria respecto a cierto eje, no ayudaba).

Pero de entre todos los objetos luminosos del cielo, los antiguos griegos supusieron que siete de ellos no podían estar adosados al firmamento. Estos eran el Sol; la Luna; Mercurio; Venus; Marte; Júpiter y Saturno. Los dos primeros ni siquiera tenían un aspecto similar al del resto de estrellas, por lo que no se los trató igual. Los otros cinco sí poseían un aspecto similar, pero no podían estar fijos en la bóveda celeste pues se dieron cuenta de que su posición variaba respecto al fondo de estrellas fijas. Y no como el giro uniforme que seguían las demás, sino de cierta manera errática y a priori impredecible. Por eso los denominaron “planetes”, que significa “errante”, palabra que nos ha llegado como planetas. Duda resuelta, velocirraptor.

Por la velocidad a la que se desplazaban, y guiándose por la idea de que a menor velocidad más distancia mediaba entre la Tierra y un cuerpo dado, supusieron que estos planetas se hallaban más alejados que la Luna. Por lo que se focalizaron en hallar la distancia a esta primero. Veamos cómo lo hicieron.

Lo primero, es que ellos sabían empíricamente que el cono de sombra producido por un objeto esférico tenía su vértice a una distancia que era aproximadamente 108 veces el diámetro de este objeto. Si lo quieres comprobar, puedes hacerlo con un poquito de trigonometría a partir de este esquema (no a escala, como ninguno de los que le siguen):

Obtendrás que

   

y es casi independiente de , ya que por ser mucho mayor que .

Lo segundo, durante un eclipse total de Luna Aristarco de Samos pudo deducir que la sombra de la Tierra (la sección transversal del cono de sombra) era 2.5 veces mayor que la Luna. En la literatura sólo encontramos que lo dedujo por la curvatura de la sombra, sin más explicaciones (en esta página se comenta que una manera posible sería calcar el eclipse sobre un papiro y luego realizar medidas). En la siguiente composición se puede apreciar la relación entre la sombra de la Tierra y la Luna en un eclipse total:

Como queremos usar las herramientas de que ellos disponían (medir ángulos, tiempos y unas poquitas matemáticas como el teorema de Tales) veamos una manera posible de conocer esta relación.

Dado que podían medir ángulos, sabían que la anchura angular de nuestro satélite es de entorno a medio grado. Si para ocultarse la mitad de la Luna (es decir, en el momento en que la parte que aun refleja la luz del Sol mide un cuarto de grado) ha transcurrido un tiempo , y el eclipse dura (justo hasta el momento en que la luna vuelve a aparecer) un tiempo , entonces como la velocidad orbital de la Luna es aproximadamente constante se tiene que

   

de donde el cociente se puede medir y está entorno a 5 (lo puedes comprobar aquí), con lo que de una manera u otra en aquella época podrían conocer ese dato.

Por último, usemos el teorema de Tales (conocido ya en la época de Aristarco) para averiguar la distancia a la Luna. Básicamente, usaremos que dados dos triángulos semejantes (triángulos con todos sus ángulos iguales) el cociente entre sus lados proporcionales es igual.

Nos apoyaremos en el siguiente esquema:

Tenemos tres triángulos a destacar: BAC, EAF y CFD. Es fácil ver que BAC y EAF son semejantes, pero no es trivial que CFD lo sea también. Y es que de hecho no lo es. El cono de sombra que proyecta la luna sobre la Tierra no tiene su vértice en el eje de la Tierra, sino que lo pasa hasta quedar 705 km por debajo de la superficie de la cara diametralmente opuesta. Pero si suponemos que la Luna esta lo bastante alejada, es un error casi despreciable.

Ahora juntemos todo lo anterior, cálculo debido a Hiparco de Nicea. Gracias a Aristarco sabemos que . Como BAC es semejante a CFD, entonces también. Y como entonces . ¡Pero el valor de era conocido gracias a Eratóstenes! Tenemos que , luego

   

Luego la distancia Tierra-Luna usando los valores encontrados por Eratóstenes resulta ser de 386331 km. ¡Un error menor al 0,5% respecto a la distancia media real!

El lector atento verá que lo que conocíamos no era , sino la altura del triángulo que forma el cono de sombra. Dadas las distancias implicadas, se puede ver que recurriendo al teorema de Pitágoras el resultado apenas varía. Por otra parte, existen otras maneras posibles de estimar la distancia a la Luna con lo conocido en aquella época, ¿se te ocurre alguna?

Conocida esta distancia y conocido el tamaño angular de la Luna, se puede hallar también su diámetro que resulta ser de 1681 km, frente a los 1737 km reales. Nada mal para solo saber medir ángulos y tiempos, ¿no? 😀

Por último, se intentó estimar la distancia al Sol. Para ello, Aristarco supuso que el sol era una fuente puntual lo suficientemente alejada para que en el momento en que la Luna se halla en cuarto creciente el ángulo formado por el sistema Tierra-Luna-Sol fuera recto:

Así, medidas directas de la separación angular en el cielo entre el Sol y la Luna le permitirían hallar la distancia al Sol por simple trigonometría. Como vemos en el esquema superior (cuyos ángulos están exagerados), Aristarco midió un ángulo de entorno a , con lo que

   

lo que nos dan algo más de 7 millones de km, distancia muy pobre en comparación a los 150 millones de km conocidos hoy. ¿Qué falla? La medida de ángulos en esta situación para fuentes extensas es harto difícil, y por ende imprecisa. El ángulo real son (casi un ángulo recto, pues los rayos del Sol llegan prácticamente paralelos), lo que sí nos da la distancia real.

Aún así, las vastas distancias que se pudieron estimar en aquella época probablemente hicieron pensar a Aristarco en que el Sol era una esfera aun mayor que la Tierra y con brillo propio, y le parecía más cabal situarla en el centro de todo, haciéndole pasar a la historia por ser el primer astrónomo en proponer un modelo heliocéntrico (pese a que sus coetáneos desecharan tal modelo).

Para el 150 a.C., tras cuatro siglos de astronomía minuciosa, los griegos acabaron imaginando el universo como una gigante bóveda esférica de al menos 15 millones de km de diámetro, con las estrellas fijas en ella, Tierra en el centro, y círculos concéntricos a ella por donde se movían los demás planetas (con las complicaciones que ello traía, de las que algún día hablaremos). La situación quedó estancada aquí durante más de 1600 años, hasta que la recuperación de un sistema heliocéntrico por Nicolás Copérnico y el descubrimiento de las leyes de Kepler permitieron dar el siguiente paso y embarcarnos en la medida del sistema solar, de la que hablaremos en la siguiente entrada de esta serie.

*Créditos de la imagen de portada: NEAR Spacecraft Team, JHUAPL,NASA