Dilatación temporal, contracción longitudinal y las transformaciones de Lorentz

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Ya hemos visto con suficiente detalle el experimento que puso sobre aviso a los físicos de la incompatibilidad entre mecánica y electrodinámica, y la posterior creación de la relatividad especial, desglosando las contribuciones de cada físico implicado. Intentando ahondar en estos problemas, Lorentz llegó a sus famosas transformaciones… pero por la vía errónea. Como Poincaré hizo notar, una conspiración de la naturaleza no podía ser sino una ley física. Y Einstein la encontró.

En este blog, de momento, no queremos hacer entradas con desarrollos teóricos cual libro de texto, aunque no descarto preparar algún minicurso para los interesados en el futuro. Queremos traer entradas interesantes, sobre aspectos de la física en los que quizá no habías reparado o temas que en la divulgación usual se quedan cortos de explicación. Pero me quedaría con la espinita clavada si solo mostramos como manera de llegar a las ecuaciones de Lorentz la intención de arreglar un experimento que no necesitaba arreglo. Así que esta entrada la dedicaremos a obtener las transformaciones de Lorentz partiendo del principio de relatividad y la constancia de la velocidad de la luz para todos los observadores inerciales.

Partiremos de los postulados que dio Einstein, con lo que podremos ver que el espacio y tiempo son relativos, y  de ello obtendremos las transformaciones de Lorentz por la vía adecuada. Lo haremos de manera intuitiva: los conocimientos necesarios para seguirla son un poquito de álgebra básica (nivel ESO/Bachiller). No te desanimes y si es necesario pregunta en comentarios, porque te aseguro que verte capaz de deducir por tu cuenta las transformaciones de Lorentz (con todo lo que implican!) es una sensación impagable. Vamos a ello.

LA SIMULTANEIDAD ES RELATIVA

Einstein desarrolló su trabajo en base a dos postulados:

  • Las leyes de la física deben ser las mismas para todos los observadores inerciales.
  • La velocidad de la luz en el vacío es igual para todos los observadores inerciales (y es independiente del movimiento de la fuente, como ocurre con todas las ondas)

Se pueden formular de diversas maneras, pero para esta entrada nos basta esta.

Si uno se fija en el segundo postulado, ya puede ver que va a cambiar nuestra manera de entender la simultaneidad de los eventos. Imaginemos el siguiente experimento mental (Gedankenexperiment en alemán, un recurso muy utilizado por Einstein en sus razonamientos): supongamos que en el centro del interior de un tren situamos una bombilla, y en los extremos del tren dos detectores de luz.

Imaginemos a dos observadores: uno dentro del tren junto a la bombilla, y otro fuera en el andén que puede ver lo que ocurre dentro del tren, que además tiene dos detectores también a una distancia de él igual a la de los detectores de dentro del tren medida cuando el tren esta en reposo.

Ahora el tren comienza a marchar, y justo en el momento en que ambos observadores están alineados la bombilla se enciende, creando una esfera luminosa que se extiende a la velocidad de la luz c. Dado que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores, ambos se verán en el centro de la esfera luminosa. Y esto es crucial.

El observador en el tren, que puede considerarse en reposo, verá que dado que ambos detectores están a la misma distancia de la bombilla, se encienden simultáneamente al llegar a ambos el frente de ondas de la esfera luminosa. Pero el observador en el andén discrepa: él ve que la esfera luminosa se expande mientras el observador en el tren avanza, por lo que el detector de la parte trasera llegará antes al frente de la esfera luminosa, haciendo clic, y posteriormente la esfera luminosa acaba por alcanzar al detector situado al frente del tren, oyéndose el segundo clic. Por otro lado, sus detectores hacen clic en el mismo momento.

El observador de dentro del tren considera simultáneos los clics de sus detectores, mientras que el de fuera no. Ahora bien, el observador de dentro del tren bien puede considerarse en reposo, y razonando a la inversa, verá que los clics de los detectores del observador en el andeń no suceden simultáneamente, dado que considera que este observador se mueve en la dirección contraria.

Me molestaría en hacer un esquema, pero esto se digiere mejor con una animación, así que te recomiendo encarecidamente que veas dos minutos del siguiente vídeo antes de seguir (ya está puesto desde el momento interesante):

Aceptar que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores inerciales nos lleva a que el concepto de simultaneidad es relativo. Eventos simultáneos para un observador pueden no serlo para otro en movimiento relativo uniforme a éste.

¡Vaya, Newton se equivocaba! El tiempo no es absoluto, pues la simultaneidad es relativa. ¿Qué implica esto sobre la medición de intervalos temporales? ¿Y sobre la medición de distancias?

EL TIEMPO ES RELATIVO

Es fácil entender que si la simultaneidad es relativa, los intervalos temporales también. Mientras para el observador interno al tren ambos detectores han hecho clic, para el externo no. Si antes de partir el tren, ambos acuerdan que el tiempo medido desde que se enciende la bombilla hasta que ambos detectores hacen clics es un segundo, el observador en el andén verá que el reloj del observador del tren se atrasa si el tren está en movimiento, y lo mismo pensará el observador del tren respecto al observador del andén.

Vamos a intentar encontrar una expresión que relacione los intervalos temporales medidos por ambos observadores. Para ello, recurramos a un nuevo gedankenexperiment.

Supongamos que cada observador porta un reloj. El reloj más sencillo del mundo: un rayo luminoso reflejándose entre dos espejos. Te puedes imaginar una bolita (el fotón) rebotando entre ambos si eso te ayuda, e incluso imaginarte que cada vez que el fotón rebota en un espejo escuchas un sonoro clic. Antes de montarse en el tren, ambos ponen sus relojes a funcionar a la vez y observan que los clics de ambos espejos están acompasados. Si acuerdan que miden el tiempo contando el número de clics, ambos medirán idénticos intervalos temporales entre dos sucesos.

Pero ahora uno de ellos se monta en un tren que posteriormente se pone en movimiento uniforme. Dado que él, junto con su reloj, están en reposo respecto al tren, sin duda verá al fotón rebotando en trayectorias verticales entre ambos espejos.

Pero el observador externo verá que lo que ocurre es bien distinto: dado que el tren avanza conforme el fotón rebota, su trayectoria no es vertical, sino oblicua. Esto es similar a cuando una persona lanza una pelota verticalmente dentro de un coche en movimiento: ve que asciende y desciende hasta su mano sin desviarse de la vertical. Pero una persona en la acera verá que la pelota ha realizado una parábola. En la siguiente imagen puedes ver un esquema de la situación:

Esquema con lo que ve el observador en movimiento S' y el observador en reposo S.

Fíjate que, como el movimiento es relativo, el observador del tren será el que vea al fotón del reloj del observador externo realizar las trayectorias oblicuas entre rebote y rebote. En cada caso, el observador en reposo considera que el tiempo corre más lento (el fotón tarda más en hacer una ida y vuelta) para el observador en movimiento. Esto es general para todos los procesos, no solo nuestro sencillo reloj. Y ya no solo todos los procesos mecánicos, sino físicos (el crecimiento de tu cabello, el latido de tu corazón…), pues sino, podrías idear algún tipo de experimento que te permitiera comprobar que estás en movimiento, lo cual aceptamos que no es posible.

Sea el intervalo entre dos rebotes (ida y vuelta) del fotón \Delta t' medido por el observador en movimiento S', y sea \Delta t el intervalo entre dos rebotes que observa el observador externo S del reloj del observador interno. Vamos a intentar encontrar una expresión que relacione ambos intervalos teniendo en cuenta que ambos observadores miden la misma velocidad de la luz.

Para el observador S', el fotón recorre la distancia 2d en su ida y vuelta, con lo que escribirá que el tiempo que ha tardado el fotón en realizar tal vaivén ha sido

    \[ \Delta t'=\dfrac{2d}{c} \longleftrightarrow d=\dfrac{c\Delta t'}{2} \]

En cambio, el observador S verá que el fotón recorre la hipotenusa D de un triángulo rectángulo en la subida y en la bajada, de catetos v\Delta t y d, con lo que  mide (fíjate que usamos la misma velocidad de la luz, no se ve «afectada» por el movimiento de S')

    \[ \Delta t=\dfrac{2D}{c} \longleftrightarrow D=\dfrac{c\Delta t}{2} \]

Por el teorema de Pitágoras, podemos expresar D como:

    \[ D=\sqrt{d^2+\left(\dfrac{v\Delta t}{2}\right)^2} \]

Dado que conocemos d y D en función de los intervalos temporales, lo podemos juntar todo en una expresión que involucre solo a ambos intervalos temporales:

    \[ \Delta t=\dfrac{2}{c}\sqrt{\dfrac{c^2 \Delta t'^2}{4}+\dfrac{v^2\Delta t^2}{4}} \]

Pasamos c multiplicando a la izquierda, y elevando al cuadrado para eliminar la raíz cuadrada queda

    \[ c^2\Delta t^2=c^2 \Delta t'^2+v^2\Delta t^2 \]

Ahora solo falta despejar \Delta t en función de \Delta t', lo cual no debería ser difícil. (Aun así, cualquier duda pregúntala en los comentarios). Tras ello…

    \[ \Delta t=\dfrac{\Delta t'}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}} \]

¡Obtenemos la famosísima ecuación de dilatación temporal! Por acercarnos a la notación de los libros de texto, se suele denotar al cociente (v/c) como \beta, y se define el factor de Lorentz como:

    \[ \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \]

Fíjate que, dado que es imposible desplazarse a la velocidad de la luz (entre otras cosas porque contradice el postulado de que la velocidad de la luz ha de ser la misma para todos los observadores), \beta<1, y \gamma>1. Con ello:

    \[ \Delta t> \Delta t' \]

¡El observador S considera que los relojes de S' corren más lentos! Pero es que resulta que… ¡El observador S' considera que los relojes de S son los que corren más lentos! No solo los intervalos temporales se dilatan, sino que esta dilatación es relativa.

Aquí llegamos a la conocida paradoja de los gemelos: un gemelo parte en una nave espacial, dispuesto a realizar un vuelo galáctico a velocidades cercanas a la de la luz. Dado que irá a velocidades arbitrariamente altas, puede darse el caso de que mientras que en la Tierra pasan cuarenta años, en la nave pase un año (o cualquier otra cantidad de tiempo en función de la velocidad) medidos desde la Tierra. Y ahí esta la paradoja: el observador en la nave tiene todo el derecho del mundo a considerarse en reposo, y por tanto considerar que es el reloj de su gemelo en la Tierra  el que corre más lento.

A su vuelta, ¿cuál de los dos habrá envejecido? Pues… el que estaba en la nave. La respuesta se puede desmenuzar a varios niveles, pero lo más sencillo es darse cuenta de lo siguiente: el observador en la nave no ha permanecido todo el trayecto en un sistema de referencia inercial, pues la nave debe acelerar cuando dé media vuelta en aras de regresar. Tenemos una asimetría que rompe la paradoja. Esta no es la única aparente paradoja que se presenta al reflexionar sobre la teoría de la relatividad. Quizá en un futuro no muy lejano hagamos una entrada recopilando las más famosas 😉

EL ESPACIO ES RELATIVO

De igual manera que la relatividad de la simultaneidad implicaba la relatividad de los intervalos temporales, ¡también implica la de los intervalos espaciales!

A poco que lo medites, verás que es lógico: medir la longitud de un objeto consiste en marcar simultáneamente sus dos extremos… Pero espera, ¿no habíamos quedado en que la simultaneidad es relativa? Un observador puede creer que los marca simultáneamente, mientras que otro que vea a ese observador en movimiento junto con el objeto verá que no lo ha hecho.

Para encontrar una expresión entre las longitudes medidas en dos sistemas inerciales planteemos un nuevo gedankenexperiment (les hemos pillado el gusto). Una manera «sencilla» de medir la longitud de, digamos, una vara, sería colocar una fuente de luz (que también valga como detector) en un extremo y un espejo  en el otro. Supongamos que se realiza esta medición en un sistema S', y supongamos que se mueve respecto a otro sistema S a velocidad \vec v:

El observador S' medirá que la luz tarda en hacer la ida y vuelta

    \[ \Delta t'= \dfrac{2 l'}{c} \]

con l' la longitud en S' de la regla.

Pero S verá que, mientras el rayo avanza, la vara con el espejo también lo hacen, con lo que el tiempo de ida será mayor y el de vuelta menor. Si \Delta t es el tiempo medido en la ida y vuelta por S, podemos escribir \Delta t=\Delta t_1+\Delta t_2, con el subíndice 1 para la ida y 2 para la vuelta.

Como se ve en el esquema superior, la luz tiene que recorrer a la ida d=l+v\Delta t_1. Por otro lado, dado que lo hará a velocidad c, d=c\Delta t_1. Igualando y despejando:

    \[ \Delta t_1 =\dfrac{l}{c-v} \]

A la vuelta en cambio recorre d'=l-v\Delta t_2, y de igual manera, d'=c\Delta t_2, con lo que

    \[ \Delta t_2= \dfrac{l}{c+v} \]

(¡Fíjate que el análisis es el mismo que para el interferómetro, pero allí considerando el interferómetro en reposo pero con velocidades aditivas! Fíjate además que si las velocidades fueran aditivas y en la ida la luz fuera a c+v y en la vuelta a c-v las longitudes medidas en ambos sistemas no variarían.)

El tiempo total medido por S será:

    \[ \Delta t= \dfrac{l}{c-v}+\dfrac{l}{c+v}=\dfrac{2lc}{c^2-v^2}=\dfrac{2l}{c}\dfrac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}} \]

Pero el último factor es \gamma^2, con lo que

    \[ \Delta t=\dfrac{2l}{c}\gamma^2 \]

Como ya sabemos, los intervalos temporales se relacionan por \Delta t=\gamma \Delta t'. Sustituyendo en esta expresión los tiempos medidos por S y S' obtenemos que l=\dfrac{1}{\gamma} l', o lo que es más habitual:

    \[ l=\sqrt{1-\beta^2} l' \]

Dado que \beta<1, ¡ S mide que una longitud para la vara menor que la que mide S'! Y de nuevo, lo mismo opina S' de la longitud medida por S. Las longitudes paralelas a la dirección del movimiento se ven contraídas por el observador que se considera en reposo. (Las transversales no, se puede demostrar que esto contradice los postulados, y por ello no hizo falta incluir una contracción de la longitud en el gedankenexperiment de los relojes de luz.). Pero esta contracción relaciona medidas entre distintos sistemas de referencia: por ello no sirve como solución a la negativa del experimento de Michelson y Morley. La contracción se da para un observador en reposo en el espacio exterior, y ni Michelson ni Morley podrían medirla pues sus reglas también estarían contraídas (¡de poder medirla sabrían que están en movimiento!). La solución al dilema es que no se puede realizar un experimento que nos asegure que somos nosotros los que nos movemos.

Y no os penséis que estos efectos son meras entelequias. Los hemos podido comprobar montones de veces:

  • El quizá ejemplo más conocido es el de los muones. Los muones se producen en los rayos cósmicos,  a una altitud aproximada de diez kilómetros. Su velocidad es muy alta, entorno a 0.99 c. Ocurre que su vida media es de unas dos millonésimas de segundo, por lo que multiplicado por la velocidad nos da que recorrerían una media de 650 \:\mathrm{m} antes de desintegrarse. ¡Pero los encontramos en los laboratorios a nivel del mar! Lo que ocurre, desde nuestra perspectiva, es que el tiempo medido por el reloj interno del muón se ralentiza. Calculando el factor de Lorentz para esa velocidad, obtenemos que \gamma\sim 7, por lo que disponen de tiempo suficiente para viajar una distancia siete veces mayor, permitiendo que algunos lleguen (recuerda que la vida media es un concepto probabilístico) a la superficie y ser detectados. Por otro lado, desde la perspectiva de los muones, tienen todo el derecho de considerarse en reposo y sería la Tierra la que se desplaza hacia ellos a 0.99 c. En tal caso, ellos medirían la distancia desde donde se producen hasta el laboratorio 7 veces más corta, por lo que la velocidad de la Tierra basta para que les dé tiempo a ser detectados a nivel del suelo.
  • También tenemos este efecto incorporado como corrección a los GPS, sin la cual atrasarían siete millonésimas de segundo al día. La corrección a incluir es otra, pues también contribuye que conforme más débil es el campo gravitatorio  el tiempo corre más deprisa (efecto que ya tratamos aquí).

¡Y me dejo infinidad de comprobaciones que hemos tenido este último siglo!

TRANSFORMACIONES DE LORENTZ

En este último apartado, veremos cómo juntar los dos efectos anteriores para obtener las transformaciones de Lorentz, es decir, las transformaciones que conectan las coordenadas con las que etiquetan sucesos dos observadores en movimiento relativo uniforme.

Supongamos dos sistemas de referencia S y S' en movimiento relativo uniforme a velocidad \vec v., tal que los orígenes coinciden cuando t=t'=0.

Si S' etiqueta un punto como x' y S lo etiqueta como x, podríamos estar tentados de escribir que la relación entre ambos es:

    \[ x=vt+x' \]

como hicimos al ver la relatividad galineana… ¡Pero no! Ahora somos relativistas einstenianos, y entendemos que no podemos escribir x' alegremente, porque el observador S mide para esa distancia x' \sqrt{1-\beta^2}, por lo que la relación correcta es x=vt+x'\sqrt{1-\beta^2}. Despejando:

    \[ x'=\dfrac{x-vt}{\sqrt{1-\beta^2}} \]

¡Ya tenemos la primera de las transformaciones de Lorentz! Vayamos a por la del tiempo (fíjate que, por la disposición de los ejes, si S' etiqueta un suceso con las coordenadas y',z', S lo hará con y,z de manera que y=y',\: z=z', por lo que esas transformaciones son triviales -palabro que debes comenzar a incluir en tu vocabulario para leer textos de física-).

Para ello, recordemos el principio de relatividad: S' debe usar las mismas ecuaciones para obtener las coordenadas de un suceso en S conociendo las suyas, con la salvedad de que el mide una velocidad igual y opuesta. Por lo tanto, basta cambiar v\to -v, y podemos escribir:

    \[ x'=-vt'+x \sqrt{1-\beta^2} \]

Igualando ambas expresiones para x' (introduciendo \gamma para simplificar notación):

    \[ \gamma (x-vt)=-vt'+\dfrac{1}{\gamma}x \]

Queremos despejar t'. Reordenando:

    \[ vt'=\left(\dfrac{1}{\gamma}-\gamma\right)x+\gamma v t \]

Ahora vienen pasos peliagudos. Fíjate que el factor que multiplica a x en el segundo miembro se puede simplificar bastante:

    \[ \dfrac{1}{\gamma}-\gamma=\sqrt{1-\beta^2}-\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}=\dfrac{-\beta^2}{\sqrt{1-\beta^2}}=-\gamma \beta^2 \]

Ahora, como \beta=v/c, realmente tenemos:

    \[ vt'=\dfrac{-\frac{v^2}{c^2} x}{\sqrt{1-\beta^2}}+\gamma v t \]

Pasando la velocidad dividiendo nos queda:

    \[ t'=\gamma\left( t-\frac{v}{c^2}x\right) \]

Y con esta, ya hemos deducido las transformaciones de Lorentz.

    \[ \begin{aligned} x'=&\gamma\left(x-vt\right)\\ y'=&y\\ z'=&z\\ t'=&\gamma\left( t-\dfrac{v}{c^2}x\right) \end{aligned} \]

Si lo has podido seguir hasta aquí, date la enhorabuena, porque eres capaz de deducir por ti mismo las transformaciones que fundamentan gran parte de la física fundamental que se ha hecho este último siglo. Y si tienes problemas con algún paso, no dudes en preguntar 🙂

COSITAS CURIOSAS

Antes de acabar, quiero resaltar unas cosillas interesantes de estas ecuaciones.

  • El enfoque en esta entrada ha sido intuitivo: a través del reconocimiento de la relatividad de la simultaneidad hemos deducido la dilatación temporal y la contracción longitudinal, y de estos efectos las transformaciones de Lorentz. Pero tanto Einstein en su artículo como los libros de texto lo hacen por la vía inversa: las transformaciones de Lorentz se deducen como aquellos cambios de coordenadas que relacionan dos observadores en movimiento relativo uniforme, respetando la homogeneidad e isotropía del espacio tiempo (lo que las hace lineales) y los postulados de la relatividad especial. Una vez se tienen, de ellas es fácil deducir tanto la relatividad de la simultaneidad como la dilatación temporal y la contracción longitudinal. Te propongo que pruebes, y me cuentas en los comentarios.
  • Las transformaciones de Lorentz conspiran para dejar invariante la velocidad de la luz para todos los observadores. Para comprobarlo, hagamos lo siguiente. Supongamos que el observador S emite un pulso de luz en t=0. La coordenada x tras un tiempo t del frente del pulso de luz será

    \[ x=ct \]

Ahora, ¿qué coordenadas corresponden a tal frente según S'? Usando las transformaciones de Lorentz, y teniendo en cuenta la relación anterior tenemos que:

    \[ \begin{aligned} x'=& \gamma(c-v)t \\ t'=& \gamma\left(\dfrac{c-v}{c}\right)t \end{aligned} \]

Si se divide, resulta que

    \[ \dfrac{x'}{t'}=c \]

¡La constancia de la velocidad de la luz está impresa en las ecuaciones de Lorentz! (Lo cual no es sorprendente, pues fueron deducidas bajo este supuesto).

  • Es más, cuando discutimos el caso de la relatividad de la simultaneidad, vimos que cada observador tenía derecho a creerse el centro de la esfera de luz. Esto implica que la ecuación que define la esfera de luz es invariante (covariante) bajo una transformación de Lorentz. Te dejo que compruebes que es el caso. Para ello, debes comprobar que si sustituyes las transformaciones de Lorentz en la ecuación de la esfera de luz

    \[ x^2+y^2+z^2=c^2t^2 \]

llegas a que tiene la misma expresión en las coordenadas de S':

    \[ x'^2+y'^2+z'^2=c^2t'^2 \]

  • Esta esfera no es más que el cono de luz. Lo de cono viene de graficar la evolución de esta esfera en dos dimensiones espaciales, con el tiempo creciendo verticalmente:
Sacada de aquí.

Dado que cualquier objeto (masivo) ha de moverse a velocidades inferiores a la de la luz, la trayectoria espaciotemporal que describa (su línea de universo en lenguaje técnico) está confinada al interior del cono de luz. Los conos de luz son objetos muy interesantes, pues nos permiten estudiar la estructura causal de los espaciotiempos. Por ejemplo, con ellos entendemos porqué no es posible salir de los agujeros negros (el horizonte de sucesos es en sí un cono de luz, mira este hilo de Twitter). Además, las transformaciones de Lorentz se pueden ver como rotaciones en estos diagramas espaciotemporales, lo que hace que la relatividad de la simultaneidad se vea explícitamente:

Sacada de aquí.
  • Por otro lado, todo nuevo paradigma ha de reducirse al anterior en algún límite para confiar en él, pues el anterior ya se mostraba predictivo en una gran mayoría de casos. Esto quiere decir que la relatividad especial ha de reducirse a la galineana para aquellos casos en los que la velocidad de la luz no es importante. ¿Y cuándo no es importante? Cuando la velocidad de los objetos que describimos es despreciable en comparación. En tal caso, el factor v/c es despreciable, y es fácil ver que las transformaciones de Lorentz se reducen a las de Galileo. Fíjate que para velocidades pequeñas el factor de Lorentz es prácticamente la unidad, siendo apreciable solo para grandes velocidades (que en un alarde imaginativo denominamos velocidades relativistas):

  • Además, las transformaciones de Lorentz dejan invariantes las ecuaciones de Maxwell además de la fuerza de Lorentz. Como ya hemos contado en entradas anteriores, la manera histórica de deducirlas era para ello, pero la filosofía relativista opera a la inversa: el principio de relatividad deja muy claro que las leyes físicas deben ser iguales para todos los observadores inerciales, así que la manera en que se transformen las leyes electrodinámicas tiene que respetar ese hecho (y no solo la electrodinámica, sino cualquier otra ley física!).

Podría seguir hablando sin parar de relatividad, pero no es el objetivo del blog por el momento. Si te has quedado con ganas de más, en YouTube hay fantásticos recursos para aprender un poquito (o un muchito) de relatividad. Dejo por aquí algunos interesantes: serie de QuantumFracture en relatividad especial, vídeo de Santaolalla, vídeo de Veritasium acerca de cómo la relatividad especial explica la interacción magnética, genial serie: «El Universo Mecánico» con vídeos sobre todas las ramas de la física. Si eres más de leer, puedes aprender relatividad especial del fantástico libro de Lieber o de los apuntes de Bert Janssen.

¿QUÉ ES RELATIVO Y QUÉ NO?

La idea que tiene la gente que no ha entendido la relatividad en mente es que todo es relativo. Y es una pena. La teoría de la relatividad va de preocuparse más bien por aquellas cosas que no son relativas.

El problema es que muchas de las cosas que considerábamos absolutas ahora son relativas: la simultaneidad, los intervalos temporales y longitudinales… Por otro lado, la velocidad ya era relativa desde Galileo, y con ella la energía (y no la masa!). La relatividad nos enseña que lo que no son relativas son las leyes físicas, y ahí es donde reside su mayor poder. Fue la primera teoría que dedujo sus leyes a partir de simetrías, y no al revés: extrayendo las simetrías a partir de las leyes (como hizo Lorentz). Einstein cambió nuestra manera de hacer física: hoy en día priorizamos las simetrías en física fundamental: la relatividad general es una teoría invariante bajo difeomorfismos (cambios generales de coordeandas, y no solo entre observadores en movimiento relativo uniforme), el modelo estándar entiende las interacciones y partículas a partir de representaciones de grupos de simetrías, etc.

Pero la relatividad especial se quedó corta: solo ponía en pie de igualdad observadores en movimiento relativo uniforme. Lo que implicaba que no toda la física era democrática. Los observadores acelerados no podían hacer física en igualdad de condiciones, y a Einstein le daba que la gravedad tenía algo que ver con eso de las aceleraciones. Pero eso es tema para próximas entradas 😛

 

38 comentarios en «Dilatación temporal, contracción longitudinal y las transformaciones de Lorentz»

  1. Quiero saber ¿cómo se puede aceptar como correcto, para un ejercicio mental, suponer que un fotón o un haz de luz se pueda mover junto con un par de espejos los cuales sí se pueden mover junto con el tren? Me parece absurdo este tipo de ejercicio mental, ya que bastará con que los espejos se muevan unos cuantos centímetros en horizontal para que el fotón se escape de ellos.
    Es bien sabido que la luz no puede viajar junto con ningún movil.

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    • Buenas Elian.
      No entiendo bien la duda. Piensa que los fotones son la manera que tenemos de entender cuánticamente las interacción electromagnética. Y los fotones pueden rebotar en los espejos (la cosa es más compleja, claro), de igual manera que rebota la luz visible (y todas las veces que hagan falta, seguro que conoces las típicas imágenes de infinitas reflexiones al enfrentar dos espejos). Es simplemente que imaginar el fotón rebotando (en lugar de un rayo de luz) se me hacía más comprensible, pero puedes imaginar el rayo de luz rebotando. Y claro que el rayo de luz se desplaza en conjunción al tren, si se desviara de lo esperado, podrías saber que estás en un medio en movimiento, lo cual no es posible!
      Un gran saludo.

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  2. Estoy escribiendo un libro y necesitaría saber la dilatación temporal sufrida por los viajeros de una nave, ¿como puedo medirlo? hay varias expediciones a estrellas cercanas y necesito cuadrar fechas, día que salen, cuanto tiempo pasa hasta que regresan observado desde la tierra, cuando tiempo pasa hasta volver observado desde dentro de la nave, y a que porcentaje de C, debería viajar las distintas expediciones para cuadrar la linea temporal.
    Por otro lado tambien necesitaría calcular el acortamiento de las distancias según a la velocidad que se viaje. ¿que formula necesitaría en este caso? Aunque en la novela me lo podría inventar quiero acercarme lo máximo posible a la realidad.

    Muchas gracias de antemano

    Un saludo

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    • Buenas V. B. Salas.

      En la entrada puedes encontrar la expresión para la dilatación temporal (justo sobre la frase «Obtenemos la famosísima ecuación de dilatación temporal» en negrita). Un poquito más abajo también está la de contracción longitudinal. El caso es que piensa que usarás una u otra: los de fuera de la nave creen que a los de la nave el tiempo se les dilata, y por eso envejecen menos en un trayecto que sin dilatación temporal les haría envejecer más, mientras que los de la nave creen que el trayecto se acorta, por eso creen que envejecen lo que deben para un trayecto tal.

      Como recomendación, puedes plantear las dudas que tengas en el futuro para tu novela en este foro de física: https://forum.lawebdefisica.com/

      Es el mejor foro en castellano de física, y siempre hay alguien dispuesto a ayudar con cualquier pregunta (yo también estoy en él).

      Un saludo!

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    • Buenas Coco. No tengo tiempo para ver un vídeo sobre refutación de la relatividad, disculpa. Si te sirve, piensa que usamos la relatividad hasta para cuadrar el tiempo que miden los relojes que usan los satélites gps (dudo que el que graba el vídeo no haya usado un gps nunca). Usamos la relatividad para que funcionen aceleradores de partículas (que no solo están en el CERN, también en hospitales dentro de máquinas que hacen pruebas). Etc.

      Por tanto es muy difícil desmentir la relatividad (especial y general). En todo caso, en el futuro puede que se encuentre una teoría más profunda (gravedad cuántica), lo que no quitará que la relatividad se siga usando en el día a día, así como la relatividad general no impide que sigamos usando la gravedad newtoniana para mandar cohetes al espacio.

      Un gran saludo =)

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      • Concuerdo contigo Adrián, independientemente de lo que diga el vídeo, la relatividad es fundamental en la vida diaria y en la física moderna. Pero en resumen, la persona del vídeo especula sobre el éter, con hipótesis como:»no detectamos el éter, porque el éter está rozando el planeta, pero no tocandolo», o:»el movimiento planetario es gracias a qué el éter empuja a los planetas», y si no me equivoco también dice que las espiras de las galaxias es debido al éter. Y también dice que prácticamente está teoría explica el comportamiento de partículas virtuales, spin, y materia oscura( que no se cómo cosas tan complejas como esas se pueden explicar con sus ideas del éter). En conclusión, la persona del vídeo parece que quiere suplantar a la relatividad con ideas sobre el éter, yo personalmente me mantengo muy escéptico respecto a esas ideas del éter, pero bueno, Saludos 😛

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    • Que es una sarta de tonterías sin pies ni cabeza. Lo que me extraña es que no todas las entradas del blog son así, e incluso en algunas se habla de la teoría de la relatividad bien y explicándola. Parece que esa no la ha escrito el dueño del blog, lo que no entiendo es por qué la aloja…

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  5. Una pregunta, ¿para llegar a las transformaciones de Lorentz es 100% necesario usar álgebra básica de bachiller? ¿Por qué se usa el álgebra básica específicamente, y por qué no otras ramas matemáticas como el cálculo diferencial e integral?, Muy buena entrada, Saludos =)

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    • Buenas! Es una pregunta razonable, y no sé a qué nivel esperas que la responda, así que disculpa si me quedo corto/largo.

      Las transformaciones de Lorentz se pueden ver a varios niveles. En un nivel un pelín más profundo al de la entrada, son la respuesta a qué transformaciones lineales (ya que el espacio es homogéneo e isótropo) son las más sencillas si queremos que todos los observadores midan la misma velocidad de la luz. Resulta que además esto se puede reformular de manera que la pregunta sea: ¿qué transformaciones dejan invariante el intervalo espaciotemporal entre dos sucesos? Y esto es un problema típico de álgebra. En el espacio usual tridimensional (o de cualquier dimensión, siempre que todas sean espaciales y el mundo plano) son las rotaciones y en el espacio ampliado con el tiempo y si queremos que se respeten los postulados de la relatividad son las de Lorentz. Vamos, que no te libras de álgebra y matrices 😛

      En un nivel más profundo, las transformaciones de Lorentz se pueden entender como un grupo de Lie, que es una variedad (algo así como una superficie hiperdimensional), y por tanto algo continuo donde se puede hablar de derivadas e integrales. Para encontrarlas no tiene sentido complicarse tanto (aunque por poder, puedes), pero una vez que te pones desde esta perspectiva se pueden hacer otras cosas al entenderlas así, como preguntarte por simetrías con el teorema de Noether o generadores de las transformaciones de Lorentz. Pero eso sería rizar el rizo mucho.

      Un saludo.

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  6. Buenas Adrián, tengo una duda,¿La velocidad de la luz en el vacío es constante en el sentido de medición u observación?. Me explico, si se dice que la velocidad de la luz en el vacío es constante, se puede decir que es en el sentido de que 2 observadores miden la misma velocidad para un rayo de luz (pero la velocidad de la luz si sería alterable), o se puede decir en el sentido de que la velocidad de la luz en el vacío es completamente inalterable y que nunca jamás se medirá una velocidad diferente a 300.000 km/s para la luz en el vacío, un saludo =)

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    • Buenas Álex. Se dice que es constante e independiente del estado de movimiento del observador en el sentido de que todos los observadores mediran el mismo valor. Si un observador enciende una bombilla y otro observador se acerca a velocidad constante v hacia dicho observador, no le parecerá que el frente de luz le alcanza a velocidad v+c, sino solo c. Para que esto sea así se han de modificar la manera en que los observadores miden los intervalos espaciales y temporales, que es la esencia de la relatividad especial.

      Ahora bien, eso ocurre en mediciones locales. En mediciones globales (en entornos suficientemente grandes), un observador puede medir velocidades distintas para la luz. Por ejemplo, si la luz se curva en campos gravitatorios, un observador concluirá que su velocidad es menor a c por haberse curvado, pero realmente ese es un problema de coordenadas y de como se define la velocidad (que realmente solo tiene sentido cuando la mides localmente, no globalmente).

      Por último, la velocidad de la luz es constante y son los casi 300000 km/s en el vacío. En un medio dado es menor, pero eso es un efecto aparente debido a que la luz está siendo absorbida y reemitida constantemente, así como dispersada por los átomos e interfiriendo consigo misma.

      Un saludo =)

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      • ¿Entonces eso significa de que yo puedo hacer un experimento en el que logre cambiar la velocidad c?, Porque yo he escuchado acerca de experimentos en los que se ha logrado cambiar la velocidad de la luz en el vacío.

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  7. Buenos días.
    Supongamos un móvil que se mueve a 3 Km/s, cada segundo emite un pulso de luz. A 24.000.000 km hay un señor que recibe estos pulsos de luz. ¿Cada cuanto tiempo recibe el señor que esta quieto los pulsos de luz?.
    Podría alguien darme la solución al problema.
    Saludos y gracias

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  8. Buenas tardes.
    Supongamos una fuente que se mueve en línea recta a 4 Km/s hacia un receptor que se encuentra a 24.000.000 Km, si dicha fuente emite un pulso de luz cada segundo, ¿qué tiempo mide el receptor entre cada pulso?.
    Por favor si alguien me puede responder estaría muy agradecido.

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    • Buenas Andres. Las transformaciones de Lorentz llevan a que un observador que se considere a sí mismo en reposo, verá que el reloj de observadores en movimiento va más lento. Por tanto, desde la Tierra vemos que los relojes de los satélites GPS «atrasan» respecto a nuestros relojes. Además, por estar en un campo gravitatorio nuestros relojes también van más lentos (más cuanto más intenso sea el campo gravitatorio, luego nuestros relojes se atrasan más por este efecto que los de los satélites GPS). Se tienen que tener en cuenta ambos efectos para cuadrar el tiempo de los relojes de los satélites con el nuestro y evitar desfases.

      Un saludo.

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  11. Estimados, con mis saludos. Quièn me puede ayudar porque no creo que ni Lorentz ni Einstein estèn equivocados.
    En el video, el observador fijo (caricatura de Einstein y observador arriba del tren en movimiento( Lorentz) veo que el halo de Luz del observador tren (el que se mueve), sigue a Lorentz, SUMANDO también la velocidad del tren a suya, en circunstancias que, entiendo, «la velocidad de la Luz es independiente del estado de movimiento de la fuente que lo genera». Que significa entonces que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores inerciales. ?
    Gracias por la ayuda. Josè Manuel Rojas.

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    • Buenas José Manuel.

      Tienes que revisar el vídeo, porque queda bien claro que para cada uno de ellos la velocidad de la luz es la misma, ya que cada uno de ellos cree estar en el centro del frente de onda. Desde el punto de vista del observador en el suelo, como se cree en el centro de la onda, mientras que el observador en movimiento sigue avanzando, ve que la llegada de este frente de onda a los detectores no es simultánea. Para el otro observador es lo contrario.

      En resument: que la velocidad de la luz sea la misma para todos tiene que ver con que ambos se vean a sí mismos en el centro del frente de ondas esférico. Por eso las transformaciones de Lorentz dejan invariante la ecuación del frente de ondas.

      Un saludo =)

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  12. Soy Físico teórico, y quiero felicitarte por lo bien que explicas la contracción espacial. Es un concepto que cuesta de entender aquí lo expones con mucha claridad. Enhorabuena!

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  13. Mi saludo cordial. Con respecto a la «dilatación GRAVITACIONAL del tiempo», cuyo soporte teórico se basa en el «principio de equivalencia entre ACELERACIÓN y FUERZA DE GRAVEDAD» postulado por la T.G.R.; y si tenemos en cuenta que la magnitud física «MASA» también es afectada por este Principio (ya que es bien conocido que «la MASA de un cuerpo en movimiento se incrementa en función a su velocidad con respecto a un observador en reposo», por lo tanto, «si un reloj está sometido a un campo gravitacional de magnitud mayor al que afecta a un observador este debe detectar entonces que no solo se ralentiza el ritmo del reloj sino que TAMBIÉN se incrementa la MASA de ese reloj como tal»); entonces pregunto: «por que’ no se encuentra referencia bibliográfica referente a este efecto relativista que parece tan trivial?!»

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    • José Alberto Diaz.
      La pregunta que haces yo también la he pensado y creo que no es algo trivial.
      Creo que esa observación es importante para tener en cuenta pero tampoco he encontrado nada al respecto.
      Saludos

      Responder

        • Gracias por la respuesta.
          Te quiero preguntar lo siguiente:
          Si alguno de los seguidores tuviera una hipótesis sobre una teoría total, y fuera acertada y comprobable y la comentara,ampliamente aquí, se le reconocería su autoria?
          O cual es la mejor manera de darla a conocer si no se tienen los recursos para publicaciones en páginas de ciencia reconocidas.
          De ante mano agradezco la respuesta.
          Gracias por tu trabajo y el tiempo que dedicas al responder.

          Responder

          • Buenas Marco. Te voy a ser sincero: es muy difícil si no se está en el mundo de la investigación llegar a dar con algo realmente interesante de publicar. Hacer una contribución a un campo requiere ser muy bueno en dicho campo, cosa que solo se consigue habiendo estudiado mucho antes y trabajado con (y aprendido de) gente que ya trabaje en dicho campo. Hay casos rarísimos en la historia de la ciencia, y por eso tienen tanto mérito, que sin estar dirigidos por un físico que conociera el campo llegaran a resultados interesantes (como el de Einstein). Te dejo un par de vídeos de interés al respecto de esta cuestión sobre cómo llegar a aprender la suficiente física como para investigar en un tema y cómo llegar a desarrollar algo por tu cuenta:

            https://www.youtube.com/watch?v=Cz6bAcIvp-4

  14. Acerca de la afirmación «Eventos simultáneos para un observador ocurren en tiempos distintos desde otro lugar»

    Esta afirmación es absolutamente gratuita.
    Me explico:: Tenemos una casa con dos habitaciones en una habitación la señora preparando la comida y en la habitación contigua el señorito planchando la oreja».

    Es obvio que ambos eventos se producen de manera simultánea tanto para un observador a 1 metro de distancia como para un observador que este a 1000 m. Otra cosa es su momento de percepción que es cuestión muy distinta.(el hecho en que se producen tales eventos es una cuestión y otra bien distinta la percepción de cada una de ellas son cuestiones muy distintas)

    Otra cuestión: la dilatación temporal , otro cuestión que deja mucho que desear, si resulta que tenemos mil naves orbitando la tierra a distinta velocidad cada una de ellas, resulta que el ritmo de tiempo varía en todas y cada una de ella y nos quedamos tan anchos.

    Osea tenemos tantos ritmos de tiempo como partículas hay en el universo a distinta valocidad cada una de ella.

    Basta ya de adoctrinar sin más y más sentido común no están difícil.

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    • Pienso lo mismo, la relatividad al considerar al tiempo como una dimensión es una equivocación.
      El tiempo es absoluto porque es intrínseco a la materia.
      Las partículas elementales que forman todo lo que existe como materia se mueven a la velocidad de la luz girando sobre si mismas.
      Es spin es intrínseco a la materia, solo se diferencian en su frecuencia.

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  15. A por cierto, todavia estoy esperando que se dignen a dar una explicación medianamente lucida que expliquen, en la ecuación v=e/t ¿Donde queda representada guaritmicamente la energía así como el peso del objeto que se mueve?
    Acaso los objetos se mueven por obra y gracia del espíritu santo

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    • Solución:
      Vamos a seguir definiendo aquello que llamamos rapidez de algo:

      Imaginemos dos vehiculos cuyo peso es el mismo, su aerodinámica muy dispar, espacio recorrido por ambos un mismo circuito plano.

      Calcular su velocidad sin componente tiempo, definir esta en función de la energía implicada (bien unidad energetica directa bien indirecta, un coeficiente de resistencia aerodinámica así como el peso de dichos aviones.

      Datos: Espacio recorrido:1000 km.
      Peso de dichos vehiculos 1000 kg
      Temperatura media de sus gases de escape en dicho recorrido 1000°C .
      Coeficiente aerodinámico (resistencia frente al aire) vehiculo A k=10% y vehiculo B k= 20%

      Pregunta ¿Cuál de los dos vehiculos ha sido más rápido?

      Apliquemos la fórmula y resuelto:

      v(km°/kg%)=(e(km)xenergia(°))/(k(%)xm(kg))
      Resuelta la cuestión.

      Osea a igualdad de energía implicada, una medida indirecta de esta, podemos dilucidar cuál es más rápido uno respecto a otro. El vehículo que ofrece más resistencia al aire , aunque su energía implicada sea igual al otro vehículo su velocidad es muy menor .

      Definir la magnitud velocidad al margen de la componente tiempo tiene la ventaja a que ningún desvarío se imponga.

      ¿Hay velocidades en abstracto? No
      ¿Aquello que se mueve es una nada?No
      ¿Resulta gratuito hacer un viaje de aquí a Madrid?No
      Entonces concluimos que podemos definir la velocidad así como aceleración de un objeto en función no de un tiempo implicado sino en funcion de por cada metro recorrido tanta energía implicada, 1 metro 1 litro, siguiente metro 2 litros, siguiente metro 3 litros y así sucesivamente.

      Conclusión:» Uno no es más rápido porque llegué antes a su destino, sino en como afronta el mismo optimizando recursos disponibles.»

      Responder

      • Y a todo esto añadir:
        Observación: Al igual que tenemos encuentra un coeficiente aerodinámico tener un coeficiente de agarre en superficie.(ya que si tenemos dos vehículos iguales salvo el tipo de neumáticos, aunque el resto de parámetros fueran iguales sabemos que quien llegaría primera sería aque de mayor agarre). Por tanto en el numerador multiplicarlo por tal coeficiente.
        También añadir un coeficiente % ascendente pendiente del trayecto como un coeficiente % superficies curvas al denominador y en el numerador un coeficiente %descendente.

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  16. Acerca de la afirmación «ambos se verán en el centro de la esfera luminosa» acerca del observador dentro del tren y el observador en la acera .

    El centro de la esfera luminosa es allí donde se produce la luz, osea dentro del tren, por tanto el observador de fuera no está en el centro de dicha esfera.
    Segundo

    Más aún el espacio que recorre la luz desde la esfera a los dos detectores que están dentro es muy distinto al espacio que tiene que recorrer hasta los dos detectores de fuera. (Ambos observadores hay una distancia entre ellos y el único que está en el centro de la esfera luminosa es el observador de dentro del tren).

    Conclusión: el evento es simultáneo para ambos observadores, otra cosa muy distinta el observador de fuera en que preciso momento puede dar cuenta de ello.(pues la distancia entre ambos observadores muy a tener en cuentay la distancia entre la fuente de luz y los detectores de fuera otro tanto.

    Este ejemplo no explica na de na todo elucubraciones mentales sin más recorrido que mera ociosidad.

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