El experimento de Michelson-Morley y las transformaciones de Lorentz

El experimento de Michelson-Morley y las transformaciones de Lorentz

En esta entrada vamos a diseccionar el experimento de Michelson y Morley, diseñado para medir la velocidad absoluta de la Tierra respecto al éter, que se mostraba como un sistema de referencia privilegiado. Para ello, tendremos que comprender primero qué es el éter y por qué era necesario. Entender qué dice el principio de relatividad de Galileo y por qué las ecuaciones de Maxwell no lo cumplían. Qué encontraron Michelson y Morley en su experimento y cómo lo explicaron Lorentz y Fitzgerald. Y veremos además el trabajo de Lorentz, el cual era mucho más extenso y profundo de lo que se suele contar en los libros de divulgación, desembocando finalmente en las famosas transformaciones de Lorentz… aunque por una vía muy distinta a la correcta.

¿QUÉ ES EL ÉTER?

Como ya vimos en esta entrada, las raíces históricas del éter hay que buscarlas en el pneuma de los estoicos. Sí, sí, ya sé que Aristóteles dijo que todo lo que había en el mundo supralunar estaba compuesto de éter, cuyo movimiento natural sería el movimiento circular. Pero no es este éter el que nos atañe.

Para los estoicos, el pneuma era necesario pues no concebían la naturaleza llena de vacíos. Como ya dijimos, un horror vacui en toda regla… Eran continuistas, y por tanto, introdujeron el pneuma como un fluido casi imperceptible, pero que todo lo llena. Estaría en estado de tensión y tendría propiedades elásticas, explicando así fenómenos como la cohesión. Pero donde fueron unos verdaderos visionarios fue en concebir el pneuma también como un transmisor de fuerzas entre objetos, por lo que este concepto es también el precursor del moderno concepto de campo.

La cosa quedó ahí aparcada, y aunque el éter aristótelico evolucionó adquiriendo el significado dado al pneuma por los estoicos, tenemos que esperar al desarrollo y formalización del electromagnetismo para volver a toparnos con él.

Cuando Maxwell juntó todos los conocimientos sobre el electromagnetismo en sus famosas ecuaciones, un resultado derivado de éstas es que los campos eléctricos y magnéticos podían oscilar y propagarse como ondas. Pero todas las ondas conocidas necesitaban un medio material de soporte, y las ondas serían vibraciones de este medio que se propagan. Al hacer las cuentas de la velocidad a la que se propagarían, Maxwell descubre que coincide con la de la luz. Podemos imaginar lo emocionado que estaría cuando escribió:

«Difícilmente podemos evitar la inferencia de que la luz consiste en ondulaciones transversales del mismo medio que es la causa de los fenómenos eléctricos y magnéticos».

Como se ve, Maxwell habla de ondulaciones de un medio. Huygens ya había propuesto que la luz podían ser vibraciones del éter, y a Maxwell no le queda otra que apoyar esta visión. Como las ondas electromagnéticas serían ondulaciones transversales (esto es, perpendiculares a la dirección de propagación), al éter se le debían conceder propiedades similares a las de un sólido, con una rigidez tremenda para que la velocidad de la luz fuera tan grande. Debía ser elástico, y debía permear todo el universo (la luz se desplazaba incluso en cámaras de vacío), por lo que debía ser sutil y con nula viscosidad ya que los planetas no se veían frenados por este. ¿Véis las similitudes con el pneuma?

Pero más allá de estas cualidades, nadie entendía qué sería el éter. Aunque ningún físico concebía un mundo sin él.

INCOMPATIBILIDAD ENTRE MECÁNICA Y ELECTRODINÁMICA

La mecánica es el estudio del movimiento de los cuerpos (cinemática) y de sus causas (dinámica). Esta rama de la física quedó bien establecida cuando Newton formuló sus tres principios. Aunque antes que él, Galileo ya había hecho sus más y sus menos.

RELATIVIDAD GALILEANA

Galileo se dio cuenta de que el movimiento es relativo. Debemos referir el movimiento a un sistema de referencia, y distintos observadores darán cuenta del movimiento de distintas maneras. Por ejemplo, si dejamos caer desde lo más alto del mástil de un barco en movimiento un saco, los pensadores anteriores a Galileo (con perdón de Hipatia) anticiparían que el saco quedaría rezagado respecto al barco, y no caería justo al pie del mástil, pues mientras el saco cae el barco avanza. Pero evidentemente esto no es lo que ocurre. (De ser así, cada vez que saltásemos la Tierra nos adelantaría en su movimiento y no caeríamos en el mismo punto. Pero pensad que antes de Copérnico casi todos los pensadores era geocentristas).

Un observador que viera la escena desde la orilla de la playa, diría que el saco cae al pie del mástil tras describir media parábola, dado que el saco inicialmente lleva la misma velocidad horizontal que el barco. Aunque los de dentro del barco ven que la caída ha sido completamente vertical. Las trayectorias son relativas, dependen del estado de movimiento del que las observa.

Ocurre lo mismo si una persona dentro de un coche a velocidad constante (respecto a otra parada en la acera fuera) lanza una pelota verticalmente. Para la persona en el interior la pelota asciende y desciende sobre la vertical sin desplazarse un ápice. Pero para un observador externo la pelota describe una parábola. Ahora bien, el del coche tiene todo el derecho del mundo a considerarse en reposo. ¿No os ha pasado que en un semáforo, estando parados, de repente creéis que comenzáis el movimiento y resulta que es el coche de al lado el que había comenzado a moverse? Nuestro cuerpo no puede detectar un movimiento a velocidad constante, solo los cambios de velocidad. Por eso cada observador tiene todo el derecho del mundo a considerarse en reposo.

Sintetizamos estos hechos (yendo más allá) enunciando el principio de relatividad: un observador no puede distinguir por medio de experimentos mecánicos si está en reposo o en movimiento uniforme. No solo nuestro cuerpo no puede detectarlo, sino que no podemos diseñar un experimento (mecánico, recalco, esto es importante) que pueda hacerlo. De aquí se deduce que todos los observadores han de utilizar las mismas leyes de la física (mecánica). De tener que usar una u otra en función de su estado de movimiento, el observador podría saber que es él el que se mueve, lo cual no es posible si acordamos que el principio de relatividad es cierto. Decimos que las leyes de la mecánica han de ser covariantes bajo una transformación de Galileo, es decir, su forma no debe cambiar cuando cambiamos entre sistemas de referencia cuyos movimientos relativos son uniformes. (A esto se le suele llamar invariancia, aunque con la relatividad especial y general se introduce el concepto de covariancia, así que nos adelantaremos desde ya con Galileo). Con este principio queda patente que ningún sistema de referencia es privilegiado, todos son igual de buenos para describir la física.

¿Cumplen las leyes de Newton este principio? Veámoslo. Una transformación de Galileo es una transformación de coordenadas que conecta a dos sistemas de referencia, S y S^{\prime}, en movimiento relativo uniforme a velocidad v. Supongamos por simplicidad que ambos sistemas tienen sus ejes y y z paralelos, coincidiendo ambos ejes x uno sobre otro, y siendo el movimiento en esta dirección. Además, ambos orígenes coinciden en t=t'=0 (y t=t' en todo momento, el tiempo es absoluto en mecánica newtoniana). Si un observador en S^{\prime} ve un objeto sobre x^{\prima}, el observador en S dirá que está sobre

    \[x=x^{\prime}+vt\]

Esta es la versión más sencilla de una transformación de Galileo. La siguiente gráfica quizá lo deja más claro:

Queremos estudiar si ambos observadores utilizarán las mismas leyes de Newton, en concreto, si ambos están en su derecho de escribir la famosísima F=ma. Para ello, tienen que coincidir en que la aceleración del objeto sea la misma. ¿Es el caso?

No hay más que derivar respecto al tiempo. Derivando una vez, obtenemos que u=u^{\prime}+v (recuerda que, por definición,  dx/dt=u, dx^{\prime}/dt=u^{\prime}). Esta ecuación refleja que las velocidades son aditivas bajo una transformación de Galileo. Si en un tren en movimiento, un observador dispara una bala desde la parte trasera hacia la delantera a 1000\: \mathrm{km/h}, y el tren se mueve a 100\: \mathrm{km/h}, un observador en el andén dirá que la bala se desplaza a 1100\:\mathrm{km/h}. Derivando una segunda vez, encontramos que a=a^{\prime}, con lo que F=ma=ma^{\prime}=F^{\prime}. Las leyes de Newton (i.e., las de la mecánica) son covariantes bajo una transformación de Galileo.

LA ELECTRODINÁMICA NO ES COVARIANTE GALILEO

Cuando Maxwell sintetizó todo el electromagnetismo en sus ecuaciones, un problema quedó patente: estas no eran covariantes Galileo. Esto se puede ver de varias maneras, aunque todas llevan consigo un desarrollo que haría que cerraras aquí mismo la entrada. Y yo no quiero eso 😛 . Baste decir con que las ecuaciones de Maxwell llevaban a ecuaciones de ondas para los campos eléctricos y magnéticos, y la ecuación de ondas cambia bajo una transformación de Galileo.

Por tanto, el éter no solo sería el medio que da soporte a los fenómenos eléctricos y magnéticos, sino que sería el único sistema de referencia donde las ecuaciones de Maxwell eran válidas, el único en el cual la velocidad de la luz eran los casi 300000\:\mathrm{km/h} conocidos. Esto nos planteaba el problema de tener un sistema de referencia privilegiado, en clara contradicción con el principio de relatividad galileano. Pero las ecuaciones de Maxwell estaban recién sacaditas del horno, y su alto contenido matemático hacía que la gente desconfiara de ellas. Por tanto, si había algo que modificar era la electrodinámica, y no la mecánica, pensaban los físicos de finales del siglo XIX. E intentos no faltaron. Pero como ya sabrás querido lector, esto fue un error que hasta la llegada de Einstein quedó sin remediar.

Por otro lado, dado que según la relatividad de Galileo las velocidades son aditivas, esto nos podría permitir medir la velocidad de la Tierra a través del éter. ¿Cómo lo podríamos hacer?

EL EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY

Nada, nada, a medir la velocidad de la Tierra a través del éter se ha dicho. Pero esta velocidad es presumiblemente minúscula en comparación con la de la luz, por lo que haría falta un experimento extremadamente preciso para lograr obtener resultados decentes.

Aquí entra Albert Abraham Michelson en la historia, quien fue uno de los mejores físicos experimentales de su tiempo. De hecho, él mismo había realizado la medida más exacta de la velocidad de la luz hasta la fecha. Prusiano de nacimiento, aunque su vida se desarrolló en Estados Unidos a donde emigraron sus padres cuando el tenía solo dos años, sería el primer físico estadounidense en ganar el premio Nobel en 1907.

Albert Michelson.

Como quería mejorar sus conocimientos de física, solicitó un permiso para estudiar en Europa (la cuna de la física a finales del s. XIX)  por dos años. A los dos meses de llegar a Berlín, y alentado por conversaciones con Helmholtz, diseñó su interferómetro con la intención de medir la velocidad de la Tierra respecto al éter. Con la ayuda económica de Alexander Graham Bell (uno de los inventores del teléfono) pudo costear la construcción del instrumento, que situó en una sala del instituto de Física de Berlín.

Pero los interferómetros son aparatos extremadamente sensibles.

¿CÓMO FUNCIONA UN INTERFERÓMETRO DE MICHELSON?

Un interferómetro es un aparato que permite  interferir haces de luz (o de ondas gravitacionales en su versión moderna en LIGO) debido a que cada haz recorre un camino diferente. Como ya vimos en la entrada del arco iris, la luz es una oscilación del campo electromagnético, por lo que puede interferir constructiva y destructivamente según los haces lleguen al mismo punto en fase o en oposición de fase.

Sacada de aquí.

En un interferómetro, un haz de luz (monocromático para asegurar que puede interferir) se divide en dos haces perpendiculares por un divisor de haz (una lámina que permite pasar parte de la luz incidente, mientras que refleja la otra parte). Cada haz es enviado a un espejo (cuya distancia puede regularse con un tornillo micrométrico), y tras recorrer cierto camino se vuelven a juntar en el divisor y pueden ser observados. El esquema sería el siguiente:

Sacada de aquí.

Si los caminos recorridos por cada haz son iguales, o difieren en un número entero de longitudes de onda, los haces llegarán con fases iguales e interferirán constructivamente, con lo que se observa luz en el centro del patrón de interferencia. Si la diferencia entre caminos ópticos es un número semientero de veces la longitud de onda, la interferencia es destructiva y se observa una gran mancha central:

Fotografía (personal :P) del patrón de interferencia en el interferómetro de Michelson. Se observa una mancha central, con lo que la interferencia es destructiva. El patrón de interferencia son anillos y no bandas por la simetría (es decir, la diferencia de camino óptico entre ambos rayos medida desde el centro del patrón no depende del ángulo) del problema.

Volviendo al problema de Michelson, su interferómetro era extremadamente sensible. En serio, muy sensible. Cuando yo hice prácticas con este en el laboratorio, simplemente hablar al lado o pisar más fuerte de la cuenta hacía que el patrón desapareciera y pasara a verse un gran borrón rojo. Imaginaos ahora la cantidad de ruidos y vibraciones que soportaba Michelson teniendo en cuenta que su laboratorio en Berlín estaba al lado de una calle bulliciosa, por la que continuamente pasaban carromatos, etc.

Lo que Michelson esperaba era que, dado que las velocidades son aditivas según Galileo, alineando uno de los brazos del interferómetro con la dirección en que la Tierra y el Sol se desplazaban, la velocidad de la luz variaría lo suficiente para que los haces tardarán tiempos distintos en llegar al detector. Esto por sí solo no implica nada, pues desde el momento en que se enciende el interferómetro aparece un patrón de interferencia. Ahora bien: si al rotar noventa grados el interferómetro el patrón cambia, significa que realmente la luz tarda más por un camino que por otro, con lo que su velocidad variaría.

Pero Michelson no encontró variación del patrón alguna. Claro, el ruido y vibraciones de la calle, se dijo.Gracias a Helmholtz, pudo repetir su experimento en 1881 en el observatorio de Postdam, y los resultados fueron de nuevo…negativos. Escribiría tras esto a Bell sobre el resultado del experimento, y se ofrecía a devolverle el dinero restante que le había enviado. En la foto de cabecera puedes ver el montaje del interferómetro, situado sobre una piscina de mercurio para amortiguar al máximo las posibles vibraciones.

Hendrik Antoon Lorentz (a quien volveremos en seguida) criticaría (con buenas razones, Michelson no había tenido en cuenta que la luz que se propaga en la dirección perpendicular al movimiento terrestre también adquiere una componente horizontal en su movimiento) en 1886 el desarrollo matemático del experimento de Michelson. De hecho, la teoría era capaz de predecir que aun existiendo el éter las correcciones no se notarían hasta llegar a segundo orden en (v/c), y el experimento no era por el momento tan preciso. Por lo que a su vuelta a Estados Unidos, y con la ayuda del químico Edward Morley; conocido por ser un máquina con la precisión en los experimentos, repetiría la experiencia en 1887. Con la precisión mejorada, capaz de encontrar cambios proporcionales a (v/c)^2, el patrón… seguía sin variar (dentro de los errores experimentales).

Edward Morley.

Las conclusiones del experimento eran claras: el éter no existe. O así deberían haber razonado los científicos. En lugar de eso, añadieron la hipótesis adicional de que la Tierra arrastra al éter en su movimiento, con lo que la velocidad de la Tierra respecto al éter es nula. Pero para explicar la aberración estelar de Bradley (fenómeno que implicaba que, debido a la velocidad finita de la luz, debemos inclinar ligeramente el telescopio para observar una estrella debido al movimiento de la Tierra) se necesitaba un éter estacionario. Nada parecía cuadrar, y los físicos estaban cada vez más desquiciados.

Una posible solución al dilema se les ocurrió al neerlandés Lorentz y de manera independiente al irlandés George Francis FitzGerald, consistente en la contracción del brazo del interferómetro en la dirección del movimiento la cantidad justa para cancelar la diferencia de tiempos.

HACIENDO LAS CUENTAS

Para poder apreciar porqué la contracción longitudinal del brazo en la dirección del movimiento puede solucionar la ausencia de cambios en el patrón de interferencia necesitamos hacer unas pequeñas cuentas.

Imagina que un hombre nadando en un río por el cual circula una corriente con velocidad \vec v:

Asumamos que el hombre es capaz de nadar a velocidad constante c, y que decide averiguar si, debido a la influencia de la corriente, tarda más en nadar desde A hasta C (separados una distancia a) o desde A hasta B, separados también por la misma distancia.

  • Para el trayecto ABA, dado que la ida la realiza a velocidad c-v (la corriente lo frena) y la vuelta a velocidad c+v (la corriente le ayuda), el tiempo (espacio entre velocidad) total que tardará será:

    \begin{equation*} t_1=\dfrac{a}{c-v}+\dfrac{a}{c+v}=\dfrac{2ac}{c^2-v^2} \end{equation*}

  • Para el trayecto ACA, el hombre debe nadar apuntando ligeramente a la derecha de C (hacia un punto D), de manera que la velocidad resultante de sumar vectorialmente ambas velocidades vaya en la dirección correcta. Recordemos que ya hemos tratado en el blog la composición de vectores (aquí): para obtener el vector resultante de la suma de dos dados simplemente pegamos la cola de uno de ellos sobre la cabeza de otro. Así, se forma el bonito triángulo rectángulo de la figura, con lo que la velocidad resultante será \sqrt{c^2-v^2} por el teorema de Pitágoras. En este caso, el tiempo de ida y vuelta será el mismo, a/\sqrt{c^2-v^2}, con lo que

    \begin{equation*} t_2=\dfrac{2a}{\sqrt{c^2-v^2}} \end{equation*}

Para meditar sobre las diferencias de tiempo, conviene simplificar ambas expresiones. Definimos así la constante (siempre que v lo sea) \gamma=\frac{c}{\sqrt{c^2-v^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}. Con ella,

    \begin{equation*} t_1 = \dfrac{2a}{c}\gamma^2, \quad t_2 = \dfrac{2a}{c}\gamma \end{equation*}

Fíjate que 2a/c es justo el tiempo que tardaría la persona en recorrer ambos trechos si no hubiera corriente. Ahora, si suponemos que v<c, es fácil ver que \gamma > 1, con lo que t_1>t_2. Tarda más por el camino paralelo a la corriente.

Pero, ¿cómo se traduce este resultado a nuestro problema con el interferómetro? Si la Tierra (junto con el Sol) se desplazasen respecto a un hipotético éter, lo que un observador externo vería sería que la luz tiene que recorrer un trecho mayor en el camino ABA debido a tal desplazamiento. Pero también podemos adoptar el punto de vista de que la Tierra está quieta, y es el éter el que se desplaza generando un viento de éter sobre la Tierra. Esto es similar a cuando en un coche en marcha sacas la mano por la ventanilla, y notas como el viento empuja a tu  mano. Pero el aire en el exterior esta perfectamente en reposo (respecto al pavimento), y todo el viento se debe al movimiento del coche. (Si lo prefieres, repite el análisis con el punto de vista de que la Tierra se mueve hacia delante, si te surge alguna duda déjamelo en los comentarios, debes encontrar lo mismo. Y si te apetece algo más visual, nada mejor que echarle un ojo a este documental de la serie «El universo mecánico»).

Esquema del viento de éter. Sacada de aquí.

¿Y por qué soluciona la contracción de Lorentz-Fitzgerald el problema? Imagina que el tramo ABA se encoge en un factor \gamma debido al movimiento. (Para la época, esta suposición no era tan descabellada: suponían los fenómenos eléctricos y magnéticos como debidos a tensiones en el éter, y suponían también que las fuerzas moleculares se debían a interacciones eléctricas y magnéticas). En tal caso, deberíamos haber sustituido al calcular el tiempo t_1 la distancia a por a/\gamma. Así, tendríamos que el nuevo tiempo t_1^{\prima} resulta ser (2a/c)\gamma, igual que el antiguo t_2, que no varía dado que suponemos que solo los objetos paralelos a la dirección del movimiento se contraen.

Cabe decir que Fitzgerald solo propuso la contracción, sin llegar a hacer ningún tipo de cuenta (no estoy aquí diciendo que no fuera capaz, Fitzgerald era uno de los pocos que entendían la teoría de Maxwell de la época, llegando a ser el nexo entre el grupo de físicos conocido como maxwellianos que se dedicaron a ampliar y formalizar la teoría). Y lo mandó a una revista científica (Science) que en aquellos momentos estaba de capa caída. De hecho, los científicos de círculos cercanos tomaron su idea por rídicula, y se vio sometido a cierto bullying científico.  Cuando Lorentz se enteró de la idea de Fitzgerald, le escribió para preguntarle si la había publicado en un medio serio dado que la autoría sería entonces suya. Pero Fitzgerald humildemente reconoció que el trabajo de Lorentz era mejor y más profundo. A él le bastaba con que el por entonces físico teórico más respetado del mundo coincidiera con él. Así, escribía:

«Me alegra especialmente saber que usted está de acuerdo conmigo, ya que por aquí se han reído bastante de mi idea, […] pero ahora que lo tengo a usted como abogado y autoridad comenzaré a reírme de otros por mantener una idea diferente.»

Desde luego, la contracción longitudinal es una manera de salir del embrollo es totalmente ad hoc y artificial, para nada satisfactoria. Y es que ni siquiera nos saca del embrollo, pues no es capaz de explicar por qué sigue sin cambiar el patrón si el experimento se repite doce horas después (cuando la rotación de la Tierra añade una componente opuesta a la velocidad que hace que las cuentas ya no cuadren), o seis meses después. Muchos se quedan con la idea equivocada de que Lorentz desarrolló este resultado en su desesperación por explicar el experimento, pero nada más lejos de la realidad. El programa de trabajo de Lorentz era mucho más ambicioso.

LAS CONTRIBUCIONES DE LORENTZ

Cuando antes he mencionado que Lorentz era el más grande de los físicos teóricos de finales de s. XIX no he exagerado. Veamos la opinión de Einstein sobre Lorentz:

«Hacia finales de siglo, los físicos teóricos de todos los países consideraban a H. A. Lorentz el más destacado de todos ellos y con toda razón. Los físicos de nuestra época no tienen, en general, plena conciencia del papel decisivo que jugo H. A. Lorentz en la estructuración de las ideas fundamentales de la física teórica. La razón de este extraño hecho es que las ideas básicas de Lorentz han llegado a ser tan familiares que resulta difícil advertir lo audaces que fueron y hasta qué punto han simplificado los fundamentos de la física.»

¿A qué se refería Einstein con las ideas básicas de Lorentz? Pongamos su trabajo en contexto.

Hendrik A. Lorentz

Para cuando Lorentz empezó su carrera científica, las ecuaciones de Maxwell estaban recién formuladas. Estas señalaban que los fenómenos eléctricos y magnéticos que se llevaban estudiando un par de siglos se podrían describir con ellas, y para más inri, se podían reescribir como ecuaciones de ondas en las que la velocidad era la de la luz, con lo que la óptica debía derivarse del electromagnetismo. Pero ahí quedaba la cosa.

La naturaleza atómica de la materia estaba por fijarse. De hecho, Maxwell (entre otros) admiraban la teoría de vórtices atómicos, por la cual los átomos serían vórtices en el éter. Los vórtices son increíblemente estables, tanto que su duración podría ser la suficiente para dar estabilidad a la materia, y la simplicidad del modelo (todos los átomos se englobarían bajo diferentes tipos de vórtices) fascinaba a los físicos por su manera de unificar los fenómenos. ¿Os suena de algo esta interpretación de los componentes fundamentales de la naturaleza?

Se hablaba de que la fuente de la electricidad y el magnetismo debían ser cargas, pero nadie sabía que eran (¡el electrón estaba por descubrir!). Lorentz incluso propuso que la propia naturaleza de la materia podría ser electromagnética, siendo los átomos «densificaciones» del campo electromagnético (esto llevaba a masas variables con la velocidad, que Lorentz calculó).

Una de las cosas que se propuso Lorentz era ampliar el trabajo de Maxwell. Por ejemplo, dado que unificaba electromagnetismo y óptica, todos los fenómenos ópticos debían poder derivarse partiendo del electromagnetismo. Al respecto, en su tesis doctoral estudió la reflexión y la refracción desde las ecuaciones de Maxwell. Pero quedaba por derivar toda la teoría ondulatoria de Fresnel.

Tampoco se sabía describir la interacción entre las partículas cargadas (sean estas lo que fueran) y el campo electromagnético, es decir, la electrodinámica de los cuerpos en movimiento (quedaos con esta frase para próximas entradas 😛 ). Probablemente, al hablar de Lorentz te venga a la cabeza su contribución más destacada al edificio del electromagnetismo: la fuerza de Lorentz. Esta ecuación (\bold F=q(\bold E+\bold v\times\bold B) relaciona la fuerza que experimenta una partícula cargada en movimiento bajo campos eléctricos y magnéticos, y sin ella, las ecuaciones diferenciales de Maxwell solo sirven para situaciones sin carga, lo cual sería un mundo muy triste. Su teoría se denominó «Teoría del electrón«.

Y por fin llegamos a la introducción de las transformaciones de Lorentz. ¿Por qué eran necesarias a su parecer y cómo llegó a ellas? Lo que Lorentz intentaba era encontrar unas coordenadas en las que las ecuaciones de Maxwell (en concreto la ecuación de ondas) quedara invariante tras una transformación de Galileo. Llegó a publicar hasta tres versiones (1892, 1895 y 1904).

De hecho, con la deducción de la contracción longitudinal de la sección anterior ya estamos en disposición de encontrar la transformación de la coordenada x. La cosa es como sigue: si de nuevo nos ponemos en el caso de dos sistemas de referencia en movimiento relativo uniforme a velocidad v, volveríamos a escribir la relación

    \begin{equation*} x^{\prime}=x-vt \end{equation*}

Pero como el sistema S debe ver las medidas longitudinales de S^{\prime} contraídas un factor \gamma, debemos reemplazar x^{\prime} por x^{\prime}/\gamma. Así

    \begin{equation*} x^{\prime}=\gamma(x-vt) \end{equation*}

Que es la transformación de coordenadas del eje X correcta. Por conveniencia matemática, Lorentz necesitaba introducir además una transformación para el tiempo de la manera

    \begin{equation*} t_L= \gamma\left(t-\dfrac{v}{c^2} x\right) \end{equation*}

donde el subíndice L indica «local», pues Lorentz concebía este tiempo local como un mero artificio matemático necesario para hacer covariantes Galileo las ecuaciones de Maxwell.

En  este sentido, las ecuaciones de Lorentz son las correctas (derivadas más adelante por otros físicos, entre ellos Einstein) pero en cierto sentido son artificiales. Explican los hechos, pero su introducción no sigue el razonamiento correcto, por lo que Lorentz no es capaz de explicar el nuevo paradigma que está por venir y que ha de sustituir al newtoniano. Pero la resistencia a abandonar mundos científicos establecidos es grande (frase de José Manuel Sánchez Ron, no mía). Según Planck, la ciencia avanza «de funeral en funeral». Se necesitaba sangre nueva para atacar el cambio, mentes jóvenes que reinterpretaran los hechos. Se necesitaba a un genio como Einstein.

2 comentarios en “El experimento de Michelson-Morley y las transformaciones de Lorentz”

  1. Hola, enhorabuena por esta entrada. Me parece muy ilustrador abordar los temas científicos desde su desarrollo histórico. Ya es la segunda vez que escribo y me parece que no será la última. Me animo a preguntar alguna duda:

    Nunca me queda claro las situaciones relativas que se comparan en el experimento de Michelson y Morley. Según entiendo, por un lado, está la rotación de la tierra y tendríamos direcciones opuestas de movimiento en el día y la noche. Por otro, tendríamos el movimiento de traslación de la Tierrra y situaciones opuestas en verano y otoño. Por otro, tendríamos el movimiento de todo el sistema Sol-Tierra a través de la galaxia. Y por último el cambio de 90 grados del propio interferómetro. ¿Entre cuales de estas situaciones se comparan los resultados? ¿O se trata de la intervención de todas?

    Por otra parte, en el último caso, el de girar el interferómetro, dado que de por sí sus brazos forman 90 grados, ¿Por qué al girarlo 90 grados deberían obtenerse resultados distintos? ¿No coincidiría un brazo con la dirección inicial del otro, y por consiguiente debieran obtenerse los mismos resultados?

    Quizá no he entendido nada y mis preguntas están totalmente fuera de lugar, pero es algo que nunca me he atrevido a preguntar y este parece el lugar indicado.

    Un cordial saludo y gracias por adelantado.
    Juan

    • Muchas gracias lo primero, Juan. Siempre dudo si incluir más o menos datos y contexto histórico, así que tu comentario me sirve para saber que al menos a alguien le parece mejor así. Dividamos la respuesta a tus preguntas (que son muy buenas, lees muy atentamente 🙂 ) en varias partes:

      -Piensa que la idea es que se tiene un éter estacionario (en reposo) en todo el universo, y esperamos medir nuestra velocidad (que incluye la traslación del Sistema Solar en la galaxia, la traslación anual terrestre, y la propia rotación terrestre) respecto a éste. Claro, dado que esta velocidad es entorno a cuatro órdenes de magnitud menor a la de la luz (se puede estimar), la variación de la velocidad de la luz va a ser minúscula. Además, desarrollando la teoría resulta que con el experimento solo detectaremos variaciones a segundo orden en (v/c). Por tanto, lo ideal es juntar las tres velocidades que hemos comentado en el momento de hacer la medida para que las diferencias de tiempo se magnifiquen.
      – Ahora, ¿qué se ve en un interferómetro? Pues si te fijas en el patrón que se muestra en la entrada, lo que ocurre conforme se varía (manualmente con el tornillo micrométrico) la longitud de uno de los brazos, es que del centro «brotan» nuevos anillos. Contando los anillos que brotan podemos saber cuánto hemos movido un brazo respecto al otro, dado que conocemos la longitud de onda de la luz.
      – En las cuentas que se hacen en la entrada se demuestra que, si la velocidad de la luz se ve afectada por estar la Tierra desplazándose respecto al éter, la luz tarda más en recorrer el trayecto paralelo a la dirección de movimiento. Eso hace que lleguen desfasadas, y se tenga interferencia destructiva. Conforme rotamos el interferómetro, dado que el brazo en la dirección de movimiento cada vez es menos paralelo a esta y el otro brazo va haciéndose cada vez más paralelo, el patrón debería ir cambiando gradualmente y nuevos anillos tendrían que ir brotando (de hecho contándolos es como se conoce la diferencia entre los tiempos en cada brazo, y con eso esperaban medir la velocidad absoluta de la Tierra), dado que las diferencias de tiempo que le toma a la luz ir a cada espejo están variando conforme se rota. Ahora bien, no se encontró variación alguna en el patrón.
      – Si la contracción de Lorentz fuera la explicación al fenómeno (conservando la relatividad galineana, y velocidades aditivas) no se podría explicar porqué tras doce horas (cuando ahora de las tres velocidades comentadas la de rotación es opuesta) sigue sin haber cambio del patrón, y menos aun tras seis meses cuando la velocidad de traslación de la Tierra también restaría.

      Espero haber aclarado tus dudas 🙂

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