El comportamiento cuántico de la luz

«La teoría de la electrodinámica cuántica describe a la Naturaleza como absurda desde el punto de vista del sentido común. Y está en completo acuerdo con los experimentos. Así que espero que aceptes a la Naturaleza como Ella es -absurda-.»

Richard Feynman

Si en el anterior artículo nos adentrábamos en los misterios de la mecánica cuántica, en este lo haremos en los de su primera hija: la electrodinámica cuántica. La electrodinámica cuántica (QED por sus siglas en inglés, quantum electrodynamics) fue la primera teoría cuántica de campos de que dispusimos, es decir, la primera teoría que explicaba el comportamiento cuántico de las partículas desde el punto de vista de campos. Teoría que les valió el premio nobel a Schwinger, Tomonaga y a nuestro querido Feynman, y teoría que es por el momento la teoría fundamental más precisa de que disponemos.

En esta entrada nos valdremos de las ideas sobre amplitudes de probabilidad de la anterior para ver como se pueden explicar multitud de fenómenos que implican a la luz desde el prisma de la cuántica.

¿QUÉ ES LA LUZ?

En la anterior entrada aprendimos que los fotones no son ondas ni partículas, pero a veces se comportan como si lo fueran. ¿Quedó claro el punto, no? Pues olvidaos, para Feynman la luz está compuesta de partículas.

Dado que en cualquier experimento suficientemente sensible, la luz se mide como impactos de manera intermitente (y no medio impactos, ni dos impactos simultáneos), la luz es una partícula. Si la intensidad disminuye, los impactos se hacen menos frecuentes pero son igual de fuertes. Así que Feynman es categórico a este respecto. Como dice él, lamenta que nuestro ojo necesite al menos 5 o 6 fotones para reaccionar a la luz, si pudiera detectar de uno en uno no estaríamos teniendo esta discusión.

Para Feynman, Newton llevaba razón, solo que erraba en su línea de razonamiento.

UN EXPERIMENTO: REFLEXIÓN PARCIAL

Imaginemos luz incidiendo sobre un cristal desde una fuente S, siendo parcialmente reflejada hacia cierto fotomultiplicador A:

 

Diciendo simplemente reflexión parcial de la luz nos quedamos “a gusto”, pero en realidad la luz incidente interactúa con los millones de electrones que hay en el cristal, y tras cierta danza complicada puede salir reflejada o transmitida. Pero para esta entrada omitiremos esa complicación (que la QED también puede explicar), y nos quedaremos con nuestro experimento idealizado.

Resulta que realizando el experimento encontramos que un 4% de la luz incidente se detecta en A tras reflejarse. O lo que es lo mismo, de cada 100 fotones solo 4 van a A. Pero esto supone un problema, ya que ¿cómo sabe un fotón dado si tiene que reflejarse o transmitirse?

Aquí es cuando la visión corpuscular mecanicista de Newton se viene abajo. Y no porque el pobre hombre no lo intentara. Lo que ocurre es que no podemos estudiar lo que le ocurrirá a cada fotón en unas condiciones dadas, sino limitarnos a estudiar las probabilidades de que pase cierta cosa.

Me diréis que enseguida recurro a la mecánica cuántica. Que por qué no podemos pensar que la superficie tiene agujeros equiespaciados, y que la luz reflejada proviene de rebotar en los puntos donde no hay agujeros. Pero esto no es posible. Veamos por qué.

Si ponemos una capa de cierto espesor de cristal, ahora la luz puede llegar al fotomultiplicador A rebotando en la superficie externa o en la cara interna.

Como en cada reflexión se pierde en torno a un 96%, o lo que es lo mismo, se reflejan alrededor del 4%, de la cara externa provendrán 4 fotones de cada cien, y de la reflexión en la interna otros cuatro (realmente algo menos, dado que en esa se reflejan el 4% del 96% que pasaron). Esperamos por tanto obtener en A 8 fotones por cada 100 que salgan de la fuente, ¿no?

Pues resulta que no. Dependiendo del espesor del cristal, pueden llegar desde 0 a 16 fotones por cada cien que salen de la fuente. Esto descarta por completo la teoría de los agujeros. Y lo mejor es que este comportamiento se repite ad infinitum:

Pero sí algo debió de quedar claro en la entrada anterior, es que aunque no podamos explicar por qué los fotones se comportan como lo hacen, sí podemos calcular probabilidades.

Nota técnica: el ojo experto ya intuirá lo que esta pasando. La teoría ondulatoria explica a la perfección este experimento. La luz que llega al detector es la suma de la onda que se refleja en la primera superficie más la que se refleja en la segunda tras refractarse dos veces. La diferencia de caminos entre ambas se traduce en una diferencia de fase que depende del espesor (luego interferencia), y por tanto varía con el coseno de este. Pero la teoría ondulatoria no explica por qué conforme la luz se hace menos intensa seguimos teniendo “clics” de la luz igual de fuertes, llegando fotones de uno en uno.

REGLAS PARA EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Bueno, pues aprendamos a calcular probabilidades. Agarraos a vuestros asientos, porque todo lo que tenemos que hacer es… ¡sumar flechas!

Sí, sí, sólo tenemos que sumar flechas. Cada evento está descrito por una flecha que gira con el tiempo, y la probabilidad de que ocurra es la longitud al cuadrado de tal flecha. Por ejemplo, nuestras flechas medirán , cuyo cuadrado es . Pero, ¿qué esconde este método?

Para responder a eso, solo tenemos que recordar que en la entrada anterior vimos que las amplitudes de probabilidad para un evento son números complejos. Un número complejo es un número de la forma , con números reales (parte real e imaginaria, respectivamente), e es el número imaginario. Para representarlos, dibujamos dos ejes perpendiculares y como si fueran coordenadas de un vector situamos el punto en el llamado plano complejo:

La unión del origen de coordenadas con este punto se asimila a un vector (o flecha), luego cuando sumamos amplitudes de probabilidad estamos sumando flechas.

Ahora bien, ¿qué es eso de que giran? Resulta que para las amplitudes de probabilidad de un fotón yendo de un lugar a otro, el ángulo formado por el número complejo con el eje X depende del tiempo, haciendo que la flecha gire de manera constante a mayor velocidad conforme mayor es la frecuencia de la luz.

Tenemos que imaginar pues un reloj asociado a cada fotón, con una manecilla que gira increíblemente rápido conforme el fotón se desplaza (unas 14000 veces/cm para luz roja, ¿se te ocurre por qué?), y la amplitud de probabilidad gira con ella. Esto ocurrirá para cada camino posible, por lo que para saber la amplitud de probabilidad de detectar un fotón en A tendremos que sumar flechas que apuntan en direcciones distintas, pues cada una habrá girado una cantidad distinta.

Sumar flechas es fácil. Simplemente se pega el inicio de una de ellas sobre el final de la otra, y se une desde el inicio de la primera al final de la segunda:

Esto se puede hacer con cualquier número de flechas:

Nos falta añadir una regla más: para la luz que incide sobre la primera cara, la flecha tenemos que dibujarla en dirección opuesta a donde apunte la manecilla del reloj, mientras que para la que incide en la segunda cara no es necesario (la razón es técnica, y tiene que ver con las propiedades del campo eléctrico en la superficie de separación entre dos medios).

Veamos ahora cómo se explica la gráfica ondulante de la luz parcialmente reflejada.

Partamos de un vidrio con espesor despreciable. La luz sale de la fuente y la manecilla comienza a girar. Tenemos dos maneras posibles (realmente infinitas, ver la siguiente sección 😛 ) e indistinguibles si lo que nos preguntamos es la probabilidad de tener un fotón en A, luego tenemos que sumar las amplitudes de probabilidad y después tomar el módulo al cuadrado. Un posible camino es salir de la fuente, llegar a la primera cara, reflejarse y llegar al fotomultiplicador. En tal caso, supongamos que la manecilla ha girado un ángulo dado y nuestra flecha (que tenemos que invertir) queda así:

Ahora, la luz también puede reflejarse desde la cara interna. En tal caso, recorre un camino ligeramente mayor, luego la manecilla gira un ángulo también ligeramente mayor, pero en este caso no tenemos que invertir la flecha. La situación queda así:

Dado que el desfase entre ambas es tan pequeño, pero apuntan en direcciones opuestas, la amplitud de probabilidad total es casi cero, luego la probabilidad también, y en tal situación no tenemos apenas fotones:

Dejemos aumentar gradualmente el espesor. Conforme aumenta, el ángulo girado por la manecilla asociada a la luz que se refleja en la cara interna aumenta. Por tanto, la suma de tales flechas ya no se anula, y nos da una probabilidad apreciable, por ejemplo algo así:

Finalmente, cuando el espesor es tal que el desfase entre las manecillas es exactamente media vuelta, ambas flechas tienen misma dirección y sentido y su suma da una flecha de longitud , cuyo modulo al cuadrado es el famoso de probabilidad.

Si el espesor sigue creciendo, de nuevo el ángulo hace que la suma dé una flecha de menor longitud hasta volver a cancelarse como cuando el espesor era nulo.

Esto explica los colores en pompas de jabón, por ejemplo. Fijémonos que si para una posición del detector dada, la interferencia (palabra que tomaremos prestada de la teoría ondulatoria, aunque aquí la interferencia es de amplitudes de probabilidad) es constructiva, para una zona contigua será destructiva ya que los relojes habrán girado más desfasándose de nuevo. Este patrón de bandas tiene un espaciamiento característico que depende de la frecuencia de la luz. Mientras que en una zona no hay luz de un color, lo habrá de otro, por lo que acabamos por tener la dispersión (que en este contexto significa separación por frecuencias) de la luz blanca en su espectro.

Pero esto no es lo único que explica esta visión de la luz.

DE LO CUÁNTICO A LO CLÁSICO

Veamos como en este paradigma podemos explicar todo lo que sabíamos de la luz clásicamente.

REFLEXIÓN DE LA LUZ EN UN ESPEJO

Una de las cosas que todo el mundo sabe es que, cuando la luz se refleja, el ángulo de incidencia y el de reflexión son iguales. El primero en proponer tal principio fue Herón, y el primero en explicarlo Fermat, postulando que la luz viaja por el camino por el que tarda menos tiempo.

Pero la mecánica cuántica no es tan restrictiva (¿como va a saber la luz de antemano qué camino le tomará menos tiempo?). Así que dejémosle tomar todos los caminos, y veamos qué pasa.

Si alguien se está poniendo nervioso ya porque hablemos de trayectoria de los fotones en el contexto de la mecánica cuántica, anticiparemos que estamos utilizando la formulación de la mecánica cuántica desarrollada por Feynman de integrales de camino. En ella, asignamos una amplitud de probabilidad a cada camino posible y sumamos sobre todos ellos, obteniendo así la amplitud de probabilidad para un evento dado.

Supongamos que tenemos una fuente de luz, un espejo y un fotomultiplicador. Queremos estudiar la reflexión de la luz por el espejo. Es decir, vamos a estudiar solo los eventos “un fotón sale de S, se refleja en el espejo y llega a P”. Podemos incluso situar una pantalla entre la fuente y el fotomultiplicador, para evitar el camino directo. El montaje queda así:

La luz no puede mostrar preferencia por ningún camino, luego la amplitud de probabilidad es igual (la flecha mide lo mismo) para cualquier camino. Por ejemplo, debemos contemplar todos estos caminos:

Algunos caminos son más largos que otros, luego en ellos la flecha girará más y se desfasará respecto a aquellos en los que gira menos. Para cuantificar este hecho, supongamos un espejo unidimensional y dividámoslo en segmentos equiespaciados.

Ahora, las trayectorias quedan algo como esto:

Trayectorias representativas que tenemos en cuenta para el evento “un fotón sale de S, se refleja en el espejo y llega a P”. Marcamos con el punto donde rebota la luz según la trayectoria clásica.

Lo interesante aquí es el tiempo para cada trayectoria, pues dada la gran velocidad a la que giran las manecillas, de un segmento al siguiente la flecha apuntará en una dirección totalmente distinta. Si graficamos el tiempo que tarda la luz en llegar de S a P para cada segmento, obtenemos lo siguiente:

donde bajo cada segmento hemos dibujado la flecha correspondiente al camino. La gráfica es parecida a una parábola (aunque si te entretienes en encontrarla verás que realmente no lo es, sí lo haces déjamelo en un comentario 🙂 ). Tras sumar todas las flechas, vemos que la longitud total es apreciable.

Claramente, la amplitud de llegar a P es bastante grande. Esto es sorprendente, pues de un segmento al otro la dirección puede cambiar enormemente (hay flechas que apuntan en direcciones opuestas a otras). Pero si nos fijamos un poquito más, la magia de los mínimos relativos que ya nos sorprendió en el arco iris vuelve a aflorar. Y es que, las flechas de los caminos cercanos al central apuntan casi todas en la misma dirección, y por tanto su suma es constructiva y de ahí proviene la mayor parte de la longitud de la flecha final. ¡Y esto se debe precisamente a que el camino central es aquel para el que el tiempo es menor! Entorno a un mínimo, la variación de una función es casi nula, lo que hace que estos caminos se sumen. Cuando dividimos el espejo en segmentos infinitesimales, existen muchos más caminos entorno al central, los cuales contribuyen aditivamente, lo que implica que la probabilidad de que la luz llegue a P de esta manera es casi la unidad (la suma mejora conforme la segmentación se hace más fina, pues en enrollamiento de las colas es despreciable frente al avance que producen los caminos cercanos al de tiempo mínimo).

Obtenemos un resultado que ya esperábamos, pero con un principio mucho más general que el de Fermat. Por ejemplo, testemos la idea de que realmente la luz realmente va a todas partes del espejo.

Si tapamos todo el espejo menos los tres primeros segmentos, dado que en estos la variación de tiempo en caminos contiguos era enorme podemos esperar que las flechas se cancelen. Pero, si hacemos una partición más fina, ¿que ocurre si tapamos ahora los segmentos donde esperamos que las flechas apunten en sentido contrario?

¡Ahora obtenemos una amplitud de probabilidad no nula de que la luz llegue a P por estos caminos!De hecho, esta construcción existe, y se conoce como red de difracción. Esto es lo que hace que veamos colores de la luz reflejada en los CD’s, o en las alas de la mariposa Morpho Peleides.

 

 

 

 

 

 

 

REFRACCIÓN DE LA LUZ ENTRE MEDIOS

Si nos planteamos ahora el paso de la luz entre dos medios, la situación es similar.

Contemplando todos los caminos, y graficando el tiempo, obtendríamos de nuevo una gráfica muy similar:

Una discusión similar a la anterior nos muestra que el grueso de la amplitud de probabilidad proviene de los caminos cercanos a aquel de tiempo menor. La luz se refracta de manera tal que toma el trayecto de menor tiempo (aunque un camino solo no es suficiente para dar cuenta de toda la probabilidad, necesitamos todo el conjunto de caminos infinitamente cercanos al de menor tiempo.), lo que nos permitiría derivar la ley de Snell.

ENGAÑANDO A LA LUZ

Pero podemos engañar a la luz.

Para llegar de un punto S a un punto P, la luz puede tomar muchos caminos. Restrinjámonos a aquellos compuestos por dos segmentos. De nuevo, obtenemos que la parte que más contribuye a la probabilidad son los caminos que pasan por un punto M alineado con S y P. Claro, es que macroscópicamente, la luz viaja en línea recta entre dos puntos del mismo medio.

Engañémosla. Pongamos un vidrio entre S y P curvado, de manera tal que sea lo más ancho posible justo por el trayecto en línea recta. Dado que la luz viaja más lento en el vidrio, ahora le toma más tiempo llegar a P. Hagamos el vidrio de manera que su curvatura sea tal que seguir el camino inmediatamente superior o inferior al central tome el mismo tiempo que el central. Lo que se reduce en tiempo por ser menos ancho el vidrio, se compensa por tener que desviarse algo en el aire. Y sigamos reduciendo el espesor del vidrio para que esto siga ocurriendo.

Dado que así todos los caminos le toman el mismo tiempo para llegar a P, todos tienen la misma amplitud de probabilidad y apuntando en el mismo sentido, luego la luz se focaliza en P. ¡Hemos creado una lente biconvexa!

Todos estos resultados tienen una cosa en común: la mayor parte de la amplitud de probabilidad viene de los caminos cercanos a aquel de menor tiempo. Es decir, de las leyes de la mecánica cuántica se deriva el principio de Fermat, y de él todos los fenómenos de la óptica geométrica.

Pero la cosa no queda ahí.

ENCORSETANDO A LA LUZ

Hemos visto que para llegar de S a P, la luz irá en línea recta pues es el camino que le llevará menos tiempo.

Pero eso es solo cuando miramos de lejos. Si nos acercamos, realmente la luz esta tomando todos los caminos, en concreto son importantes aquellos entorno al de menor tiempo, pues son los que contribuyen a la amplitud de probabilidad.

Si intentamos encorsetar a la luz, por ejemplo poniendo una rendija por la que debe pasar de cierta anchura, a priori no pasará nada. Colocando sendos fotomultiplicadores, solo el que está en P dará señal, y muy ocasionalmente la dará el que está por ejemplo en D. Si observamos las respectivas amplitudes de probabilidad, esto se debe a que en D el sentido de las flechas varía enormemente.

 

 

Pero si reducimos gradualmente la anchura, cada vez tenemos menos caminos disponibles. Si nos restringimos a aquellos compuestos por dos segmentos de nuevo (por simplificar, la discusión se podría hacer con más), algo curioso ocurre. Dado que hay menos caminos disponibles, no se pueden cancelar, y la suma de las flechas sí da una flecha total. Aunque esta es pequeña, es comparable a la de P, ya que tenemos pocos caminos para ambos.

 

Si intentamos apretar la luz, esta deja de ir en línea recta y se difracta. Esto también lo explica el principio de indeterminación de Heisenberg: al disminuir el tamaño de la rendija, la indeterminación en la posición decrece luego debe crecer la indeterminación en el momento y la luz se dispersa (vídeo de Veritasium sobre el tema).

Al igual que el argumento de que la luz se refleje en un ángulo igual al de incidencia, que la luz viaje en líneas rectas es solo una aproximación que cotidianamente no ponemos en duda. Pero la realidad es que el comportamiento de la luz es mucho más rico, y el paradigma de la electrodinámica cuántica lo explica por completo.

La electrodinámica cuántica es la teoría fundamental más precisa de que disponemos. Desde ella, obtenemos todos los resultados que la óptica nos brinda, pero además nos permite explicar más cosas que me dejo en el tintero (quizá para próximas entradas 🙂 ): que la luz tienda a “aglutinarse” (como todos los bosones), la manera en que interactúa con los electrones; permitiendo así la estabilidad de los átomos, la intrincada danza cuando atraviesa un material, el momento magnético del neutrón, electrón, protón…, y un sinfín más de fenómenos.

Si te ha gustado esta entrada, te recomiendo el libro en el que está inspirada: “QED: The strange theory of light and matter” (en español, “Electrodinámica cuántica: La extraña teoría de la luz y la materia”)*. Y si prefieres escuchar a Feynman a leerlo, aquí tienes los vídeos de las conferencias que luego se recogieron en el libro.

*Todas las imágenes no citadas de esta entrada han sido realizadas por el autor pero están inspiradas en las del citado libro.