Espaciotiempo curvo… ¡sin mallas elásticas!

Mucho se habla acerca de que la gravedad curva el espaciotiempo (palabrejo que hay que decir así, de corrido). Incansables explicaciones en las que una malla elástica se deforma por la masa (en esas explicaciones el peso) de la estrella y por eso los planetas no tienen otra que orbitar entorno a ella. Mucho se habla de que sin el ajuste preciso nuestros gps acumularían un retraso que los haría inútiles. De que la luz se curva por los campos gravitatorios. Si estas cansado de leer una y otra vez estas explicaciones superficiales, quédate, porque en este artículo veremos el principio físico detrás de estas afirmaciones y sus consecuencias de manera más profunda.

Pero antes, veamos a Batman abofeteando a un Robin muy cuñado:

EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA

Por completitud, veamos primero qué es el principio de equivalencia de manera precisa. Si cogemos el Gravitation and Cosmology del genial Steven Weinberg, leemos (traduzco, eso sí):

“En un campo gravitatorio arbitrario es posible elegir, en todo punto del espaciotiempo, un “sistema de coordenadas localmente inercial” tal que, dentro de una región suficientemente pequeña del punto en cuestión, las leyes de la naturaleza tomen la misma forma que en un sistema de coordenadas cartesiano no acelerado en ausencia de gravitación.”

Algún día profundizaremos en el contenido matemático de este principio, pero hoy queremos quedarnos con la idea básica. Simplifiquemos un poco.

UN EXPERIMENTO MENTAL

Imagina a un hombre en una cohete en el espacio vacío, lejos de toda influencia gravitatoria. Imagina que este se desplaza en línea recta con aceleración constante. Añadamos a la situación que el hombre desconoce su situación más allá de lo que ve a su alrededor. Tendríamos algo tal que así:

Pese a no haber gravedad, el hombre permanece pegado al suelo porque el cohete está acelerando, igual que tú te pegas al asiento del coche cuando éste acelera. Si de repente el hombre dejara caer un objeto, este permanecería en su estado de movimiento rectilíneo uniforme (a velocidad constante e igual a la que tuviera toda la habitación en el momento en que se suelta) por la primera ley de Newton . Pero como el suelo acelera, lo acaba por encontrar. ¡Pero eso es lo que nosotros sabemos porque lo observamos desde fuera!

Para el hombre el objeto simplemente se le ha escapado, y se ha precipitado contra el suelo de manera acelerada, tal como hacen los objetos en nuestra vida cotidiana. Si suponemos que el cohete acelera a 9,8 metros por segundo cada segundo, le parecerá que está sobre la Tierra, y el objeto ha caído debido a que existe una fuerza gravitatoria.

El principio de equivalencia afirma que ambas situaciones son físicamente indistinguibles: no podemos distinguir un campo gravitatorio homogéneo de una aceleración constante (realmente un campo gravitatorio cualquiera no puede ser distinguido de una aceleración constante localmente, ver aclaración más abajo). El hombre, por más que lo intente, no puede realizar ningún experimento físico que le permita discernir en qué caso se halla. Por ejemplo, una masa colgando de un muelle produciría igual alargamiento en un campo gravitatorio de magnitud “-g” que acelerando en el espacio vacío en dirección opuesta con aceleración “g”:

Para el lector con inclinación matemática, aclararemos que un campo gravitatorio homogéneo (constante en todos sus puntos) no es un campo gravitatorio real, pues el tensor de Riemann asociado es idénticamente nulo. De hecho, poder tomar coordenadas localmente inerciales y hacer que desaparezca nos dice que esa fuerza es una fuerza ficticia. Un campo gravitatorio real sigue sin ser distinguible localmente (en una región pequeña del mismo en comparación con los instrumentos de medida) de una aceleración constante, pero en él aparecen efectos de marea; que vienen a ser consecuencias de la no homogeneidad del campo. Por ejemplo, un observador en caída libre en la tierra vería que dos masas tienden a acercarse una a la otra como consecuencia de la dependencia radial de la fuerza gravitatoria:

Imagen sacada del libro Relatividad General, de Bert Janssen.

Aun recuerdo una de las primeras clases de fluidos en la asignatura de Fundamentos de Física II. Allí, el profesor nos expuso la siguiente situación: supongamos que tenemos un globo flotando en el interior de un coche que se desplaza a velocidad constante. Si de repente el coche acelera, ¿hacia dónde va el globo? Sí, sí, ya sé que tu te pegas contra el asiento. ¿Hace el globo lo mismo? Dos años más tarde, entusiasmados con la asignatura de relatividad general, llegamos al primer parcial y mira por donde, el experimento del globo era la primera pregunta. Pero ya no se podía responder mediante la física de fluidos. ¿Se te ocurre a ti la respuesta?

Como vemos, el principio de equivalencia viene a ampliar el principio de relatividad, en el cual el estado de movimiento uniforme era indistinguible del de reposo mediante experimentos físicos. Como a la matemática Lillian Lieber le gustaba llamarlo, es el principio más democratizador de la física, pues en última instancia viene a asegurar que las leyes de la física no deben depender del estado de movimiento del que las escriba.

Vayamos entonces a las consecuencias de este principio.

LA LUZ SE CURVA

Imaginemos que estamos dentro de un ascensor acelerando en el espacio vacío y lanzamos con un láser un pulso de luz. Dado que el ascensor acelera, el pulso de luz (que nosotros sabemos como observadores externos sabemos que debe ir en línea recta) impactará en el lado opuesto del ascensor en un punto a menor altura del que fue lanzado:

Imagen sacada de los apuntes de la asignatura Física del Cosmos, impartida por Kostas Glampedakis.

¿Qué ocurre si juntamos las cuatro viñetas anteriores en una? Pues algo así:

Imagen sacada de los apuntes de la asignatura Física del Cosmos, impartida por Kostas Glampedakis.

La trayectoria de la luz es una parábola, pues mientras recorre el ancho del ascensor, éste cada vez va más rápido dado que acelera. Y aquí viene la magia: por el principio de equivalencia, no podemos distinguir localmente , mediante experimentos físicos (y este es uno), un campo gravitatorio de una aceleración. Por tanto, en presencia de un campo gravitatorio la luz también ha de curvarse. Y todo esto sin recurrir a mallas elásticas ;).

EL TIEMPO SE DILATA

Imaginemos ahora otro experimento. Tenemos un cohete acelerando en el espacio vacío. Colocamos un reloj en la parte superior y otro en la inferior, y supongamos que un láser acoplado al superior emite un pulso dirigido al inferior cada vez que pasa un segundo (de ese reloj).

Dado que el cohete avanza, el pulso no tiene que recorrer toda la longitud del cohete, pues el reloj B “lo encuentra” antes. Supongamos que el primer pulso recorre una longitud L_1. Esta longitud, por el hecho de estar en movimiento el cohete, será menor que la longitud que debería recorrer en reposo. Ahora bien, cuando pasa un segundo para el reloj A éste lanza un segundo pulso, y dado que la nave acelera, la longitud L_2 que recorre este pulso es menor que la vez anterior L_2<L_1, por lo que el reloj B “lo encuentra” antes aún. Por tanto en su reloj ha debido pasar un intervalo menor a un segundo.

Como vemos, el reloj B ha de concluir que el reloj A avanza más deprisa, y aunque un observador situado en A aseguraría que los emite a intervalos de 1 s, uno en B diría que los recibe a intervalos menores. Si realizamos el experimento al revés, con B lanzando pulsos hacia A, la situación sería la contraría, y A vería que el reloj de B avanza más lento.

De nuevo, no podemos distinguir mediante experimentos físicos (¡y este es otro!) una aceleración de un campo gravitatorio. Por tanto, el experimento ocurriría exactamente igual si fuera realizado sobre la superficie de la tierra. Esto es: el principio de equivalencia implica que el tiempo se dilata en campos gravitatorios. Por ello debemos ajustar nuestros satélites GPS (se ha de añadir también la corrección por la dilatación temporal debido a la velocidad a la que van), pues conforme más nos alejamos de la Tierra, la influencia gravitatoria es menor y más rápido avanza el tiempo para esos observadores. Vayamos por fin a ver por qué vivimos en un espaciotiempo curvo, pero antes: ¿cuándo decimos que un espacio es curvo?

ESPACIOS CURVOS

Lo que vamos a hacer ahora es imaginar que somos una hormiga. Somos tan pequeños, que podremos permitirnos una discusión en términos de superficies bidimensionales, aunque ya veréis como es perfectamente extrapolable a nuestro caso.

Pongamos que examinamos diversas superficies. Por ejemplo, una esfera; un plano y una placa caliente (cuya temperatura crece conforme te alejas del centro):

Equipemos a la hormiga con reglas. ¿Que experimentos puede llevar a cabo para decidir si el espacio sobre el que está es curvo?

DEFINICIONES OPERATIVAS

Pues sencillo: realizando ciertas construcciones que sabemos que funcionan en un espacio plano. Demos entonces ciertas definiciones operativas de cuándo un espacio no es plano:

  1. No es plano si trazando un segmento; girando noventa grados a derechas y repitiendo tres veces más no llegamos al mismo punto de partida (vamos, que no cerramos un cuadrado).
  2. No es plano si los ángulos internos de un triángulo no suman 180^{\circ}.
  3. No es plano si la longitud de un circulo entre su radio no da 2\pi.

Todas estas construcciones nos funcionarían como hormiga que somos sobre el plano, ¡pero es evidente que este no es el caso sobre una esfera! Por ejemplo, si tratamos de trazar un cuadrado no se cerrará sobre si mismo, los ángulos internos de un triángulo pueden sumar más de 180º y es fácil ver que la longitud de las circunferencias entre el radio medido será mayor a 2\pi, pues el radio real de las circunferencias va hacia el eje de la esfera por lo que es menor.

Vale, sí, es fácil ver que la esfera no es plana. ¿Y la placa caliente? Debido a que las reglas se dilatan, la hormiga; en su afán de seguir lo más recto posible, deberá seguir lo que desde fuera no nos parecen líneas rectas, ¡pero lo son desde su perspectiva!

La hormiga está siguiendo las geodésicas (líneas de menor longitud) de la placa caliente, al igual que en la esfera al intentar ir lo más recta posible iba por círculos máximos, que son las geodésicas de la esfera. De hecho, con la elección adecuada de temperaturas este caso es el mismo que la esfera bidimensional.

También veríamos que la longitud entre el radio no da 2\pi, pues en la dirección radial la medida está distorsionada debido a esta dilatación de la regla.

Este no es el único ejemplo en el que un espacio objetivamente plano para un observador externo es percibido como curvo para uno interno. Por ejemplo, en un disco en rotación uniforme también fallaría la construcción de círculos, pues las reglas se contraen (contracción de Lorentz) en la dirección de la medida de la circunferencia. Pero la física es una ciencia cuantitativa, y el observador interno está en su derecho de decir que vive en un espacio curvo.

Vayamos por fin a ver como el principio de equivalencia implica que nuestro espacio es curvo bajo estas definiciones operativas.

¿POR QUÉ NUESTRO ESPACIOTIEMPO ES CURVO?

Para darnos cuenta supongamos que realizamos el siguiente experimento: intentar construir un cuadrado en presencia de un campo gravitacional.

  1. Dibujamos dos ejes: altura en el eje Y, tiempo en el eje X. Recordemos que vivimos en un espacio cuadridimensional, y tratamos al tiempo como una coordenada más; en igualdad de condiciones a las coordenadas espaciales. Por tanto, para ver que vivimos en un espaciotiempo curvo hemos de implicar ambos tipos de coordenadas.

  2. Nos situamos a cierta altura arbitraria y dejamos transcurrir 100 segundos en nuestro reloj. Nuestra línea de universo (línea que dibujamos al transcurrir el tiempo en un diagrama espaciotemporal) es como el segmento BD.

  3. Subimos 100 metros encima del punto anterior.

  4. Repetimos el proceso y dejamos correr 100 segundos de nuestro reloj. Dibujamos el segmento AC, pero como estamos en presencia de un campo gravitacional, el segmento AC es menor que el segmento BD pues el tiempo corre más deprisa a mayor altura.

  5. Si queremos cerrar ahora nuestro cuadrado con una línea perpendicular al segmento BD, los lados no empalman.

Aquí la secuencia:

Como vemos, el mero principio de equivalencia implica que vivimos en un espaciotiempo curvo debido a la presencia de un campo gravitatorio. Por algo Albert Einstein lo calificó de la idea más feliz de su vida. Nos dejamos muchas cosas en el tintero: también implica el desplazamiento de la longitud de onda, la covarianza de las leyes de la física… Pero eso son cosas que trataremos algún día :).

LECTURAS RECOMENDADAS

Esta entrada ha sido preparada en base al último capítulo del segundo volumen de las Lectures on Physics de Feynman que puedes leer aquí, de donde además se han sacado todas las imágenes que no han sido citadas.

Un libro de relatividad especial y general perfecto para iniciarse cuando no sabes ni derivar es el de Lillian Lieber.

Si prefieres algo en español, sin duda el mejor texto de relatividad general es el de Bert Janssen: «Teoría de la Relatividad General» (Universidad de Granada), que podéis encontrar aquí. El tema aquí expuesto se trata en el capítulo 9. Y como no, para divulgación de la buena siempre está Quantum Fracture.

 

29 comentarios en “Espaciotiempo curvo… ¡sin mallas elásticas!”

  1. Como usted lo menciona, es una forma distinta de explicar la teoría de la relatividad más clara y entendible. Felicitaciones.

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  2. Muy buen post sobre la relatividad general felicidades.
    Podrías subir uno sobre el descubrimiento que supuso tmb la relatividad general de la existencia de los agujeros negros y sobre la cualidad de las singularidades las cuales nunca están “desnudas”
    Gracias por difundir estas clases que nos sirven para aprender en mi caso que me quiero dedicar a estudiar física.

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      • Gracias a ti de nuevo, la verdad es que he visto muchas páginas pero que traten de una forma complicada los temas pero a la vez entendible las cosas.
        Si los agujeros negros a mi tmb me encantan son algo realmente especial e intrigante, todo es muy interesante de entender ya desde su formación despues de la explosión de una estrellas lo suficientementw masiva que puede permitir que la gravedad venza tanto a la presión de degeneración de los electrones y tmb de los neutrones como luego de entender todo lo q sucede, como se rompen las leyes que creemos saber y la gran incógnita de la singularidad q no podemos determinar lo que es, es algo interesantisimo y ya habiendo leído tus post imagino que el nivel será excelso, pq es lo que digo mezclas muy bien lo divulgativo pero a la vez algo ya a nivel no sólo de curiosidades.
        En el de las particulas es de lejos el mejor post q he visto, nadie explica de una forma tan detenida todo eso, lo Dan mucho más simple que para dixulgacuon básica sirve pero ya si quieres profundizar se queda cojo

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  3. Y en otra rama de la física sería posible de tu radaccion sobre los primeros instantes de vida del universo y de la famosa asimetria materia antimateria que se produjo.
    Tengo entendido que es a causa de que las leyes físicas no son las mismas para particulas que para antiparticulas ya que se viola la simetrías C P y T e incluso la CP conjunta por la fuerza débil pero me gustaría poder incidir más en el tema siempre he sentido curiosidad por qué se produjera ese desequilibrio tan interesante
    Gracias de nuevo por tu trabajo 🙂

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      • Sobretodo esos temas me refería pq es q es lo q te decía en el comentario de antes, es q no hay ningúna entrada que explique esto de la asimetria materia antimateria y preguntas a profesores y ni lo saben, lo leí en «breve historia del tiempo» y salvo un video de Javi santaolalla que habla de la paridad no hay nada más ni en YouTube y en Internet poquísimo siempre sale la referencia de la Wikipedia que no lo explica bien, y es algo que me interesa mucho siempre me he interesado por lo q ocurrió después del big bang y entender esa asimetria, el pq las fuerzas fundamentales transformaron una mayor cantidad de antielectrones en quarks que electrones en antiquarks y pudo permitir esta asimetria, pero me encantaría una explicación de las tuyas pq así se entiende mejor.

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        • Es un tema que tengo pendiente, probablemente en la segunda parte de la entrada de simetrías lo toque, aunque sea tangencialmente, y ya en el futuro volveré a él. Ahora por complicaciones personales me he retrasado escribiendo y es probable que las siguientes entradas tarden un poquito más, pero enseguida irán saliendo y espero que te gusten 🙂

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  4. Una muy buena explicación ,pero oye,¿tu crees que podría haber una digna representación del espaciotiempo curvo?,¿para ti como se vería un espaciotiempo curvo?,un saludo,crack 🙂

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    • Buenas,me encantó el blog,muy bien explicado como siempre ,pero,oye,¿Tu crees que existe alguna digna representación gráfica del espaciotiempo curvo?,¿para ti como se vería un espaciotiempo curvo?,Saludos,crack 🙂

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      • Buenas Agua, muchas gracias =)

        Digna, digna, no sé. Pero los diagramas de inserción son de lo más cercano. Kip Thorne los usa mucho en su genial libro «Agujeros negros y tiempo curvo», y en los libros de texto de relatividad general también se suelen usar. Luego tienes los diagramas de Penrose, pero no te permiten visualizar curvatura, sino otras propiedades.

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        • Gracias por la recomendación,no había escuchado de tales diagramas (si notas que alguien llamado Albert hizo la misma pregunta, ese soy yo,lo que pasa es que me quería cambiar el nombre,y por un error hice varios comentarios xd), aunque yo he escuchado que la única forma de entender cuáles son las propiedades de este espaciotiempo curvo sería entendiendo matemáticamente las ecuaciones del campo de Einstein-hilbert (mileva maric para los que son un poco conspiranoicos)

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  5. Se puede demostrar la curvatura del espacio con figuras geométricas, pero ¿porque la masa curva el espacio?, evidentemente la tierra no tiene una velocidad acelerada como en el caso de la habitación cerrada. Además ¿porque un objeto cae? en una banda elástica lo atrae la gravedad de la tierra, pero en el espacio no hay mallas elásticas.

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    • Buenas Víctor. Son buenísimas preguntas.

      La respuesta más directa es que la gravedad de Einstein generaliza la de Newton, por lo que la fuente de gravedad siguen siendo las masas. Pero como E=mc^2, también se incluye como fuente de gravedad la energía (esto tiene más detrás, algún día lo contaré). El caso es que lo que a ti te interesa cambiar de la gravedad clásica no es que su fuente sea la materia(-energía), sino que su manifestación venga en forma de fuerzas. Una vez que el principio de equivalencia te pone en la pista de que lo más natural es que la gravedad sea una consecuencia de la geometría del espaciotiempo, se te ocurre que entonces solo hay que buscar una ecuación que relacione la geometría del espaciotiempo con las masas(-energías) en él. Esta es, o mejor son, las ecuaciones de campo de Einstein.

      Aquí no hay manera de deducirlo, simplemente se impone, igual que se impone (axiomáticamente) que F=ma en la física clásica. El test son los experimentos, que corroboran que las ecuaciones de campo de Einstein son correctas.

      Por último, sobre movimientos en campos gravitatorios, cuesta un poquito abstraerse. Piensa que a ti te parece que algo está cayendo en línea recta, pero realmente se está moviendo en un espaciotiempo curvo, osea que lo que a ti te parece una línea recta tridimensionalmente realmente no lo es, y es una trayectoria curva que hace mínima la distancia entre dos puntos EN EL ESPACIOTIEMPO. Unas ideas intuitivas sobre el tema las tienes aquí. Un vídeo chulo al respecto sería el siguiente:

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  6. Gracias…Pero solo tenemos ecuaciones, tenemos la ecuación de la gravedad y esta coincide muy bien con lo que se observa en la realidad, esta coincidencia no demuestra que el espacio se curva, es un supuesto para explicar la causa de la gravedad, porque esa respuesta lleva a otra pregunta de ¿porque la masa curva el espacio?. Así como en el caso de la extraña rotación de las galaxias, se le supone la existencia de la «materia oscura» pero no se ha demostrado su existencia y creo que nunca se demostrará. En caso de la gravedad queremos explicar la ecuación mediante la existencia de la curvatura espacial, pero esta curva no se demostró, solo se demostró que las fórmulas son correctas. Hasta ahora no sabemos que hace que las cosas sean atraídas por la materia.

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    • Genial argumentación, Victor.

      Te encaminas más hacia la filosofía de la física. Sobre paradigmas, positivismo, etc. Sin entrar en muchos detalles, te redirijo la pregunta: ¿acaso la fórmula de la gravedad newtoniana implica que la causa de la gravedad es la masa y su manifestación es en base a fuerzas?

      Obviamente a poco que lo pienses no. En física modelamos la realidad, es decir, asociamos objetos matemáticos a observables físicos. Una vez traducido un problema real a matemáticas, operamos y extraemos resultados, pero al haber tenido que (por fuerza) modelar, cuando queremos extrapolar los resultados de vuelta al mundo real no nos queda otra que interpretarlos. Y aquí surgen muchas posturas.

      Una (defendida por ejemplo por Hawking) es que llamaremos realidad a los paradigmas (grosso modo = modelos) que mejor expliquen los fenómenos observados. Por tanto, si entender la gravedad como una deformación de la geometría del espacio tiempo explica más que entendiéndola como una fuerza, debemos desterrar la imagen clásica y aceptar la nueva como lo que mejor aproxima la realidad. ¿Es la realidad? Es una pregunta metafísica, no física. Algo parecido surge cuando discutimos la (odiosa) dualidad onda corpúsculo, etc. Te recomiendo que le eches un vistazo al final de estas dos entradas:

      https://fisicatabu.com/el-experimento-de-la-doble-rendija/
      https://fisicatabu.com/newton-y-la-ley-de-la-gravitacion-universal-como-llego-a-ella/

      Un saludo. Y sigue preguntando si te place, poquitos me sacan a relucir estas cosas =)

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  7. Buenas Adrián =)

    Escribo este comentario porque si no me equivoco se acerca el cumpleaños de la Relatividad general, ¿Harás alguna entrada especial en Honor a ello? Saludos

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    • Buenas Schrödinger =) Pues no lo había pensado, aunque las próximas entradas tenía ya pensadas hacerlas sobre relatividad general, así que quiza puedo intentar meterme prisa y tener la siguiente lista a lo largo de este mes 😛 ¿Alguna sugerencia?

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      • Buenas Adrián, no tengo muy buenas sugerencias, yo propongo algo relacionado con las ecuaciones del campo de la relatividad general, como se llegan a ellas o como se usan, pero me parece que sería demasiado complejo, también podrías hablar sobre porque la energía o la materia curva el espaciotiempo y porque y porque el espaciotiempo se puede curvar si se está en el vacío, o también podrías hablar de manera más inspiradora acerca de las pruebas a favor de la relatividad general.

        Estoy seguro que sabrás escoger el mejor tema, saludos, sigue así 🙂

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        • Todas (en serio, TODAS) las cosas que propones están geniales y me han pasado por la cabeza alguna que otra vez. Mi problema es que me gusta enfocarlo de manera escalonada, para que el blog sea lo más autocontenido posible. Entonces quiero hablar primero de por qué es necesaria la relatividad general, luego de qué son los tensores y por qué aparecen aquí, y ya de las ecuaciones de campo. Con todo eso ya me pondría a hablar de tests a la relatividad general, de agujeros negros, etc. Pero quizá este enfoque lineal no sea lo mejor, usualmente en divulgación la gente quiere que le cuentes lo más avanzado desde ya mismito y le resumas lo anterior. Pero no sé porqué, a mí me cuesta hacerlo así.

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