Espaciotiempo curvo… ¡sin mallas elásticas!

Espaciotiempo curvo… ¡sin mallas elásticas!

Mucho se habla acerca de que la gravedad curva el espaciotiempo (palabrejo que hay que decir así, de corrido). Incansables explicaciones en las que una malla elástica se deforma por la masa (en esas explicaciones el peso) de la estrella y por eso los planetas no tienen otra que orbitar entorno a ella. Mucho se habla de que sin el ajuste preciso nuestros gps acumularían un retraso que los haría inútiles. De que la luz se curva por los campos gravitatorios. Si estas cansado de leer una y otra vez estas explicaciones superficiales, quédate, porque en este artículo veremos el principio físico detrás de estas afirmaciones y sus consecuencias de manera más profunda.

Pero antes, veamos a Batman abofeteando a un Robin muy cuñado:

EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA

Por completitud, veamos primero qué es el principio de equivalencia de manera precisa. Si cogemos el Gravitation and Cosmology del genial Steven Weinberg, leemos (traduzco, eso sí):

“En un campo gravitatorio arbitrario es posible elegir, en todo punto del espaciotiempo, un “sistema de coordenadas localmente inercial” tal que, dentro de una región suficientemente pequeña del punto en cuestión, las leyes de la naturaleza tomen la misma forma que en un sistema de coordenadas cartesiano no acelerado en ausencia de gravitación.”

Algún día profundizaremos en el contenido matemático de este principio, pero hoy queremos quedarnos con la idea básica. Simplifiquemos un poco.

UN EXPERIMENTO MENTAL

Imagina a un hombre en una habitación cerrada en el espacio vacío, lejos de toda influencia gravitatoria. Imagina que la habitación se desplaza en línea recta con aceleración constante. Añadamos a la situación que el hombre desconoce su situación más allá de que ve a su alrededor. Tendríamos algo tal que así:

Imagen sacada del libro The Einstein Theory of Relativity, de L. Lieber.

Pese a no haber gravedad, el hombre permanece pegado al suelo porque la habitación está acelerando, igual que tú te pegas al asiento del coche cuando éste acelera. Si de repente el hombre dejara caer la bandeja, esta permanecería en su estado de movimiento rectilíneo uniforme (a velocidad constante e igual a la que tuviera toda la habitación en el momento en que se suelta) por la primera ley de Newton . Pero como el suelo acelera, la acaba por encontrar. ¡Pero eso es lo que nosotros sabemos porque lo observamos desde fuera!

Para el hombre la bandeja simplemente se le ha escapado, y se ha precipitado contra el suelo de manera acelerada, tal como hacen los objetos en nuestra vida cotidiana. Si suponemos que la habitación acelera a 9,8 metros por segundo cada segundo, le parecerá que su habitación está sobre la Tierra, y la bandeja ha caído debido a que existe una fuerza gravitatoria.

El principio de equivalencia afirma que ambas situaciones son físicamente indistinguibles: no podemos distinguir un campo gravitatorio homogéneo de una aceleración constante (realmente un campo gravitatorio cualquiera no puede ser distinguido de una aceleración constante localmente, ver aclaración más abajo). El hombre, por más que lo intente, no puede realizar ningún experimento físico que le permita discernir en qué caso se halla. Por ejemplo, una masa colgando de un muelle produciría igual alargamiento en un campo gravitatorio de magnitud “-g” que acelerando en el espacio vacío en dirección opuesta con aceleración “g”:

Imagen sacada del libro The Feynman lectures on gravitation.

Para el lector con inclinación matemática, aclararemos que un campo gravitatorio homogéneo (constante en todos sus puntos) no es un campo gravitatorio real, pues el tensor de Riemann asociado es idénticamente nulo. De hecho, poder tomar coordenadas localmente inerciales y hacer que desaparezca nos dice que esa fuerza es una fuerza ficticia. Un campo gravitatorio real sigue sin ser distinguible localmente (en una región pequeña del mismo en comparación con los instrumentos de medida) de una aceleración constante, pero en él aparecen efectos de marea; que vienen a ser consecuencias de la no homogeneidad del campo. Por ejemplo, un observador en caída libre en la tierra vería que dos masas tienden a acercarse una a la otra como consecuencia de la dependencia radial de la fuerza gravitatoria:

Imagen sacada del libro Relatividad General, de Bert Janssen.

Aun recuerdo una de las primeras clases de fluidos en la asignatura de Fundamentos de Física II. Allí, el profesor nos expuso la siguiente situación: supongamos que tenemos un globo flotando en el interior de un coche que se desplaza a velocidad constante. Si de repente el coche acelera, ¿hacia dónde va el globo? Sí, sí, ya sé que tu te pegas contra el asiento. ¿Hace el globo lo mismo? Dos años más tarde, entusiasmados con la asignatura de relatividad general, llegamos al primer parcial y mira por donde, el experimento del globo era la primera pregunta. Pero ya no se podía responder mediante la física de fluidos. ¿Se te ocurre a ti la respuesta?

Como vemos, el principio de equivalencia viene a ampliar el principio de relatividad, en el cual el estado de movimiento uniforme era indistinguible del de reposo mediante experimentos físicos. Como a la matemática Lillian Lieber le gustaba llamarlo, es el principio más democratizador de la física, pues en última instancia viene a asegurar que las leyes de la física no deben depender del estado de movimiento del que las escriba.

Vayamos entonces a las consecuencias de este principio.

LA LUZ SE CURVA

Imaginemos que estamos dentro de un ascensor acelerando en el espacio vacío y lanzamos con un láser un pulso de luz. Dado que el ascensor acelera, el pulso de luz (que nosotros sabemos como observadores externos sabemos que debe ir en línea recta) impactará en el lado opuesto del ascensor en un punto a menor altura del que fue lanzado:

Imagen sacada de los apuntes de la asignatura Física del Cosmos, impartida por Kostas Glampedakis.

¿Qué ocurre si juntamos las cuatro viñetas anteriores en una? Pues algo así:

Imagen sacada de los apuntes de la asignatura Física del Cosmos, impartida por Kostas Glampedakis.

La trayectoria de la luz es una parábola, pues mientras recorre el ancho del ascensor, éste cada vez va más rápido dado que acelera. Y aquí viene la magia: por el principio de equivalencia, no podemos distinguir localmente , mediante experimentos físicos (y este es uno), un campo gravitatorio de una aceleración. Por tanto, en presencia de un campo gravitatorio la luz también ha de curvarse. Y todo esto sin recurrir a mallas elásticas ;).

EL TIEMPO SE DILATA

Imaginemos ahora otro experimento. Tenemos un cohete acelerando en el espacio vacío. Colocamos un reloj en la parte superior y otro en la inferior, y supongamos que un láser acoplado al superior emite un pulso dirigido al inferior cada vez que pasa un segundo (de ese reloj).

Dado que el cohete avanza, el pulso no tiene que recorrer toda la longitud del cohete, pues el reloj B “lo encuentra” antes. Cuando el pulso se lanza, la disposición es la mostrada en “a”, y cuando se recibe por el reloj B se encuentran como en b (ver figura inferior). Fijémonos que la longitud que recorre el pulso es L₁. Ahora bien, cuando pasa un segundo para el reloj A éste lanza otro pulso (posición c) , y dado que la nave acelera, la longitud L₂ que recorre este pulso es menor que la vez anterior, por lo que el reloj B “lo encuentra” antes aun (posición d). Por tanto en su reloj ha debido pasar un intervalo menor a un segundo.

Como vemos, el reloj B ha de concluir que el reloj A avanza más deprisa, y aunque un observador situado en A aseguraría que los emite a intervalos de 1 s, uno en B diría que los recibe a intervalos menores. Si realizamos el experimento al revés, con B lanzando pulsos hacia A, la situación sería la contraría, y A vería que el reloj de B avanza más lento.

De nuevo, no podemos distinguir mediante experimentos físicos (¡y este es otro!) una aceleración de un campo gravitatorio. Por tanto, el experimento ocurriría exactamente igual si fuera realizado sobre la superficie de la tierra. Esto es: el principio de equivalencia implica que el tiempo se dilata en campos gravitatorios. Por ello debemos ajustar nuestros satélites GPS (se ha de añadir también la corrección por la dilatación temporal debido a la velocidad a la que van), pues conforme más nos alejamos de la Tierra, la influencia gravitatoria es menor y más rápido avanza el tiempo para esos observadores. Vayamos por fin a ver por qué vivimos en un espaciotiempo curvo, pero antes: ¿cuándo decimos que un espacio es curvo?

ESPACIOS CURVOS

Lo que vamos a hacer ahora es imaginar que somos una hormiga. Somos tan pequeños, que podremos permitirnos una discusión en términos de superficies bidimensionales, aunque ya veréis como es perfectamente extrapolable a nuestro caso.

Pongamos que examinamos diversas superficies. Por ejemplo, una esfera; un plano y una placa caliente (cuya temperatura crece conforme te alejas del centro):

Equipemos a la hormiga con reglas. ¿Que experimentos puede llevar a cabo para decidir si el espacio sobre el que está es curvo?

DEFINICIONES OPERATIVAS

Pues sencillo: realizando ciertas construcciones que sabemos que funcionan en un espacio plano. Demos entonces ciertas definiciones operativas de cuándo un espacio no es plano:

  1. No es plano si trazando un segmento; girando noventa grados a derechas y repitiendo tres veces más no llegamos al mismo punto de partida (vamos, que no cerramos un cuadrado como en la figura a).
  2. No es plano si los ángulos internos de un triángulo no suman 180^{\circ} (como en la figura b).
  3. No es plano si la longitud de un circulo entre su radio no da 2\pi (como en la figura c).

Todas estas construcciones nos funcionarían como hormiga que somos sobre el plano, ¡pero es evidente que este no es el caso sobre una esfera! Por ejemplo, si tratamos de trazar un cuadrado obtenemos algo así:

Si trazamos un triángulo es fácil ver que sus ángulos internos pueden sumar hasta 270^{\circ}:

O si dividimos la longitud de cualquier círculo que dibujemos entre el radio con el que lo hemos trazado, no obtendremos dos veces nuestro número irracional favorito:

Pues como podemos ver (ahora hablando como observadores externos), el radio real del círculo que la hormiga traza es el que va desde el eje de la esfera.

Vale, sí, es fácil ver que la esfera no es plana. ¿Y la placa caliente? Debido a que las reglas se dilatan, la hormiga; en su afán de seguir lo más recto posible, deberá seguir lo que desde fuera no nos parecen líneas rectas, ¡pero lo son desde su perspectiva!

La hormiga está siguiendo las geodésicas (líneas de menor longitud) de la placa caliente, al igual que en la esfera al intentar ir lo más recta posible iba por círculos máximos, que son las geodésicas de la esfera. De hecho, con la elección adecuada de temperaturas este caso es el mismo que la esfera bidimensional.

También veríamos que la longitud entre el radio no da 2\pi, pues en la dirección radial la medida está distorsionada debido a esta dilatación de la regla:

Este no es el único ejemplo en el que un espacio objetivamente plano para un observador externo es percibido como curvo para uno interno. Por ejemplo, en un disco en rotación uniforme también fallaría la construcción de círculos, pues las reglas se contraen (contracción de Lorentz) en la dirección de la medida de la circunferencia. Pero la física es una ciencia cuantitativa, y el observador interno está en su derecho de decir que vive en un espacio curvo.

Vayamos por fin a ver como el principio de equivalencia implica que nuestro espacio es curvo bajo estas definiciones operativas.

¿POR QUÉ NUESTRO ESPACIOTIEMPO ES CURVO?

Para darnos cuenta supongamos que realizamos el siguiente experimento: intentar construir un cuadrado en presencia de un campo gravitacional.

  1. Dibujamos dos ejes: altura en el eje Y, tiempo en el eje X. Recordemos que vivimos en un espacio cuadridimensional, y tratamos al tiempo como una coordenada más; en igualdad de condiciones a las coordenadas espaciales. Por tanto, para ver que vivimos en un espaciotiempo curvo hemos de implicar ambos tipos de coordenadas.

  2. Nos situamos a cierta altura arbitraria y dejamos transcurrir 100 segundos en nuestro reloj. Nuestra línea de universo (línea que dibujamos al transcurrir el tiempo en un diagrama espaciotemporal) es como el segmento BD.

  3. Subimos 100 metros encima del punto anterior.

  4. Repetimos el proceso y dejamos correr 100 segundos de nuestro reloj. Dibujamos el segmento AC, pero como estamos en presencia de un campo gravitacional, el segmento AC es menor que el segmento BD pues el tiempo corre más deprisa a mayor altura.

  5. Si queremos cerrar ahora nuestro cuadrado con una línea perpendicular al segmento BD, los lados no empalman.

Aquí la secuencia:

Como vemos, el mero principio de equivalencia implica que vivimos en un espaciotiempo curvo debido a la presencia de un campo gravitatorio. Por algo Albert Einstein lo calificó de la idea más feliz de su vida. Nos dejamos muchas cosas en el tintero: también implica el desplazamiento de la longitud de onda, la covarianza de las leyes de la física… Pero eso son cosas que trataremos algún día :).

LECTURAS RECOMENDADAS

Esta entrada ha sido preparada en base al último capítulo del segundo volumen de las Lectures on Physics de Feynman que puedes leer aquí, de donde además se han sacado todas las imágenes que no han sido citadas.

Un libro de relatividad especial y general perfecto para iniciarse cuando no sabes ni derivar es el de Lillian Lieber.

Si prefieres algo en español, sin duda el mejor texto de relatividad general es el de Bert Janssen: «Teoría de la Relatividad General» (Universidad de Granada), que podéis encontrar aquí. El tema aquí expuesto se trata en el capítulo 9. Y como no, para divulgación de la buena siempre está Quantum Fracture.

7 comentarios en “Espaciotiempo curvo… ¡sin mallas elásticas!”

  1. Como usted lo menciona, es una forma distinta de explicar la teoría de la relatividad más clara y entendible. Felicitaciones.

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