Caída libre: respuestas de veinte siglos de física

En esta entrada vamos a estudiar las respuestas históricas al problema de una partícula que cae en un campo gravitatorio, desde la que daría Aristóteles a las que darían Feynman o Einstein. Eso nos obligará a repasar los puntos de vista de cada uno, ver cómo han evolucionado, y cómo avanzamos progresivamente hacia nuevos paradigmas más generales que destierran o engloban a los anteriores.

Al lío 😛

Dinámica aristotélica

Ya hemos hablado en demasiadas varias ocasiones de Aristóteles en este blog. Para él, los movimientos de los objetos estaban orientados a conseguir un fin. Su física era teleológica.

Su respuesta sería, ni más ni menos, que la piedra cae porque su lugar natural es el suelo. Para explicar entonces que el humo ascienda, introdujo dos cualidades en la materia: gravedad y levedad. El fin de los graves es caer hacia el centro de la Tierra, y el fin de los leves es ascender hacia los cielos.

Para Aristóteles, y en general para todo el conjunto de estudiosos medievales que le siguieron, según el razonamiento anterior la velocidad de caída dependerá de la masa (así se consigue un cambio continuo entre la gravedad y la levedad de los objetos).

Por completar su visión, Aristóteles creía que todo aquello que no eran movimientos naturales necesitaban de una fuerza (de ahí que introdujera la noción de primer motor o motor inmóvil, que se acabaría asociando a Dios).

Es decir, si quieres que una flecha avance, será necesario que exista una fuerza que la empuje, pues de lo contrario no se moverá. Esto es muy similar a la concepción que tenemos todos al inicio de nuestros estudios de física: no entendemos que algo se mueva si no hay otro algo que lo empuje continuamente. Todos llevamos un Aristóteles dentro que cuesta mucho «matar».

Antiguedad tardía

Obviamente, por mucho que Aristóteles lo propugnara, las flechas no se caían inmediatamente al disparar un arco. Muchos seguidores de su filosofía incluyeron razones ad hoc para explicarlo, como extrañas corrientes creadas por la flecha al salir que retroalimentaban el movimiento.

El primero quizá en introducir un cambio significativo al respecto fue el astrónomo Hiparco de Nicea, con la noción de fuerza impresa.

Él creía que, cuando una fuerza actuaba sobre un objeto durante cierto tiempo, dejaba impresa en él parte de su fuerza que hacía que el movimiento pudiera continuar tras cesar el contacto. Como vemos, esto es una reminiscencia de la noción actual de fuerza, que tras actuar durante un tiempo comunica un momento lineal .

Pero en el caso de Hiparco, la fuerza impresa se gastaba gradualmente haciendo que el cuerpo se acabara por frenar. Por ejemplo, según Hiparco si lanzáramos verticalmente una piedra:

• Esta ascendería inicialmente gracias a la fuerza impresa en ella.
• La fuerza impresa se iría agotando mientras la piedra se frena (al equilibrarse esta fuerza impresa con la tendencia a caer al suelo).
• Cuando la tendencia a caer al suelo fuera mayor que la fuerza impresa restante, comenzaría a caer de manera natural (dinámica aristotélica), pero no a velocidad constante: conforme la fuerza impresa se agota, ofrece menor resistencia a la gravedad (a la finalidad de caer), resultando en una caída acelerada como de hecho se observaba.

Como véis, el concepto de fuerza impresa era un paso en la dirección correcta (en cuanto a que explica que las caídas sean aceleradas).

Otro que también se adhirió a este pensamiento fue Juan Filopón. Podemos destacar al menos su coherencia: fue un comentador de las obras de Aristóteles que supo desmarcarse en según que cosas y mostrar su desacuerdo. Por ejemplo, aunque creía que la velocidad de caída dependía de la masa, añadió que eso debía ocurrir solo en el vacío, pues los hechos (es decir, probó a experimentarlo, aunque se quedó corto) demostraban lo contrario.

Física Medieval

Quien mejoró el concepto de fuerza impresa y le dio el nombre que actualmente le otorgamos, ímpetus, fue Juan Buridan.

Para Buridan, el ímpetus tiene una naturaleza permanente. Solo puede ser disipado por fuerzas externas, como la gravedad (entendida aun de manera aristotélica, como finalidad de alcanzar el lugar natural). Además, propuso que era proporcional a la cantidad de materia y a la velocidad del objeto. Esto traza un paralelismo impresionante con el moderno concepto de ímpetus, que todos conocemos como momento lineal, cuya definición es .

También extendió su uso a otros tipos de movimiento, como los circulares, lo que explicaba que una rueda siguiera girando tras cesar el impulso inicial, o que los planetas orbitaran la Tierra, ya que en el espacio vacío bastaría con el ímpetus aportado por Dios en la creación.

Por otro lado tenemos a los mertonianos, un grupo de matemáticos del siglo XIV asociados al Merton College de Oxford. Entre otras cosas, definieron qué era un movimiento uniformemente acelerado en contraposición a uno a velocidad uniforme.

Viene a cuento hablar del mertoniano William Heytesbury y su teorema de la velocidad media:

Un cuerpo en movimiento uniformemente acelerado recorre, en un determinado intervalo
de tiempo, el mismo espacio que sería recorrido por un cuerpo que se desplazara con
velocidad constante e igual a la velocidad media del primero.

Este teorema (que podéis comprobar que es cierto) sería probado por Nicolás Oresme (discípulo de Buridan) años más tarde de manera gráfica:

y, su manera de razonar sobre movimientos con gráficos fue adoptada por Galileo, ayudándole a descubrir al fin la descripción correcta de la caída libre.

Cinemática galileana

Galileo empezó, como todos, con un marcado corte aristotélico en sus razonamientos.

En su libro De motu, se adscribía a  la corriente imperante, mezcla de la dinámica aristotélica con los razonamientos de Buridan sobre el ímpetus. Pero pronto entendería que el gran Aristóteles se equivocaba.

Tras experimentar lo suficiente, se dio cuenta que los cuerpos caían a la misma velocidad independientemente de su peso (probablemente no arrojándolos desde la torre de Pisa, sino con planos inclinados). Esto es lo que hace que consideremos a Galileo el padre de la ciencia moderna: introdujo la necesidad de experimentar, de tener al experimento como juez directo de las leyes científicas.

Si se deja caer un cuerpo del reposo, la velocidad media será la mitad de la velocidad final. Por definición de movimiento uniformemente acelerado, la velocidad final será proporcional al tiempo de caída. Por el teorema de la velocidad media, traducimos un problema acelerado a uno sin aceleración, con lo que la distancia será la velocidad media por el tiempo de caída, luego la distancia será proporcional al tiempo de caída al cuadrado. De esta manera razonó Galileo en su libro Diálogos sobre dos nuevas ciencias (acabado en 1635, ya bajo arresto domiciliario) la dependencia de la distancia con el tiempo en una caída libre. Un día si queréis hablamos de los experimentos que hizo al respecto.

Hasta donde sé, Galileo no dio ninguna fórmula al respecto porque no era lo habitual en la época, se prefería hablar en términos de proporcionalidad y ratios. Esto tiene sentido debido a la inexistencia de un sistema internacional de unidades: ¿de que servía escribir y luego decir que eran nosecuantos codos por cada tres notas de laúd de esta partitura a tempo andante? (Sí, Galileo fue muy ingenioso para medir el tiempo con precisión admisible en dicha época). Pero sin duda, de las pruebas gráficas usadas por Galileo en sus escritos es de esperar que diera con la expresión correcta.

Quien sí calculó la aceleración de la gravedad y lo comunicó (además de manera más precisa que Galileo) fue el holandés Christiaan Huygens. A partir de ambos estudiosos podemos decir que se consigue explicar cuantitativamente la caída de los graves. Ahora faltaba entender por qué caían, es decir, sustituir la dinámica aristotélica por un paradigma mejor.

Mecánica newtoniana

Los estudios de Galileo y Huygens se encuadrarían en lo que hoy llamamos cinemática: el estudio de los movimientos, independientemente de las causas.

Aristóteles empezo por una dinámica (de hecho de sus escritos se pueden inferir leyes dinámicas), es decir, proponiendo una teoría que explicara las causas. Pero no experimentó, por lo que no consiguió nada de valor. Galileo experimentó, pero no quiso o no se atrevió a intentar explicar la razón de la caída de los cuerpos. Esto lo consiguió Isaac Newton.

No repetiremos cómo lo hizo, lo podéis leer por aquí. El caso es que consiguió probar que la razón por la que caía una piedra era la misma que hacía orbitar a la Luna: la gravedad. Y dio con una descripción matemática precisa al respecto.

La manera en que Newton respondería entonces a la pregunta sería usando el cálculo diferencial, que él mismo inventó (o cálculo de fluxiones, como lo llamaba él).

Newton entendió que la velocidad era la derivada del espacio respecto al tiempo, y que la aceleración era entonces la derivada de la velocidad respecto al tiempo. Si la aceleración es constante (uniforme), podemos operar a la inversa e integrar para encontrar la velocidad y el espacio. Por tanto, Newton era capaz de llegar a la expresión de manera analítica, y como además midió experimentalmente con un error minúsculo, sus cálculos eran harto precisos.

Parte de la culpa (o el mérito) la tienen Oresme y Galileo. De sus métodos gráficos se podía inferir algo de una trascendencia enorme: el área bajo una curva de velocidad frente a tiempo es el espacio recorrido. Esto se traduce al lenguaje de Newton como sigue: si nos fijamos en un intervalo de tiempo muy pequeño, la velocidad será aproximadamente constante, y aplicará la expresión . Esto resulta en un rectángulo de base y altura . Si sumamos todos los rectángulos, obtenemos el área bajo la curva. Precisamente esta construcción es la de la integral definida (o integral de Riemann).

Oresme y Galileo solo podían encontrar dicha área si era constante, pues era la de un triángulo. Pero con la invención del cálculo, Newton nos permitió describir cualquier movimiento.

Mecánica analítica

La mecánica analítica es una reformulación de la mecánica newtoniana para trabajar con números en lugar de vectores. Y la historia de la física jamás vio reformulación tan productiva.

Dentro de la misma se tienen infinidad de métodos para resolver el problema de caída libre: con el lagrangiano y las ecuaciones de Euler-Lagrange, con el Hamiltoniano y las ecuaciones canónicas de Hamilton, con la Routhiana, con las transformaciones canónicas, método de Hamilton-Jacobi, variables acción-ángulo (este método yo ni llegué a estudiarlo en la carrera)…

Todas estas son reformulaciones unas de otras (existen tantas no por capricho, sino porque unas son más útiles que otras dependiendo del problema a resolver). Pero de entre todas, nos quedaremos con la más general y la que más ha triunfado: el principio de mínima acción.

Ya hablamos de él por aquí. La idea es que, de entre todas las trayectorias posibles entre dos puntos dados y dos instantes de tiempo, la trayectoria que seguirá una partícula dada es aquella que haga que la integral de la diferencia entre la energía cinética y la potencial sea mínima.

Cuando exiges esto, enfrentas un problema de un nuevo nivel. No es un problema de optimización habitual, donde buscas qué hace mínima cierta función. No tienes que encontrar una incógnita, sino una función en sí que minimize otra función (llamada funcional). La matemáticas usadas en mecánica analítica son una rama del cálculo funcional, en concreto, el cálculo variacional. Y ahí reside su potencia, que ha hecho que se impongan en la manera que tenemos de hacer física (más por aquí).

Una manera de entender por qué el movimiento de caída libre es como es en aras de minimizar la acción sería la siguiente: el movimiento inicia lentamente para pasar más tiempo a mayor altura, donde la energía potencial es mayor (y esta va restando, recuerda), y se acelera gradualmente de manera que pasa el menor tiempo posible conforme menor es la altura, haciendo que la energía cinética (que va sumando) contribuya poco. Podría ser de muchas maneras: aceleración variable, sin aceleración, trazando una S… Pero la mejor, la que hace mínima dicha integral, es que la caída sea a aceleración constante en línea recta. Mágico, ¿no crees?

Relatividad

Dentro de las teorías de la relatividad, podemos distinguir dos enfoques:

Mecánica relativista

La mecánica relativista es la manera de generalizar la mecánica newtoniana para incorporar la relatividad especial. En ella, los problemas se pueden tratar con una especie de «segunda ley de Newton generalizada» para incluir efectos relativistas (ya la vimos aquí), o también con el principio de mínima acción (reformulaciones de reformulaciones).

En ambos casos, la mecánica relativista se reduce a la newtoniana para velocidades pequeñas comparadas con la de la luz , aportando los mismos resultados. Aunque si algún lector se quiere entretener ahora que estamos en cuarentena, puede intentar calcular la velocidad y el espacio recorrido bajo una fuerza constante (como un campo gravitatorio homogéneo) en mecánica relativista, para ver en qué difiere y que en el límite se reducen a los newtonianos.

Relatividad general

En relatividad general nos olvidamos de fuerza gravitatoria. Y esto es un gran salto.

Ya no hay que explicar la causa de la caída, porque realmente las partículas se mueven libremente (sin aceleración) por el espaciotiempo (el principio de inercia, primera ley de Newton), y que nosotros «veamos» que caen, o «veamos» que orbitan, se debe a que interpretamos movimientos en un espacio curvo tetradimensional con nuestros pobres sentidos habituados a espacios tridimensionales y planos.

Para entender esto de que en relatividad realmente no existe la fuerza gravitatoria, podemos imaginar dos hormigas sobre una esfera mucho mayor que ellas. La esfera es tan grande que ellas creen que viven en un mundo plano.

Situemos a las hormigas separadas cierto trecho sobre el ecuador, y digámosles que anden hacia el norte (es decir, perpendicular al ecuador). Las hormigas empiezan separadas, pero conforme avanzan la distancia relativa entre ambas…¡disminuye!

Ellas, que jurarán y perjurarán que viven en un espacio plano, no saben a qué achacar que se estén acercando. Si desarrollasen algunas leyes físicas, estas incluirían un término que tenga en cuenta que, cuando te desplazas hacia el norte, te atraes con los objetos que también se desplacen hacia el norte (siempre y cuando su desplazamiento sea perpendicular al ecuador). Para ellas esos términos representan fuerzas con todas las de la ley.

Tú, que resulta que ves desde fuera lo que ocurre y tu tamaño es comparable al de la esfera, cual hombre que se ha desatado de sus grilletes y ha salido de la caverna en la que solo veía sombras les gritarás: «¿Pero es que estáis ciegas? ¿no véis que es más sencillo entender que vivís en un espacio curvo, y la supuesta fuerza que introducís en vuestras ecuaciones es una fuerza ficticia?» Sin duda, les dirías que podrían escribir ecuaciones en las que no hubieran fuerzas, y la separación se acortara debido a que siguen los meridianos de la esfera, pero de fuerzas nada.

Pues esto pasa con la gravedad. Y el hombre que escapó de sus grilletes y nos gritó a los demás fue Einstein.

Einstein entendió que, visto desde nuestra perspectiva, lo que parecía una fuerza con todas las de la ley podría no serlo, y ser el resultado de que la geometría del espacio en que vivimos es curva. Claro, somos tan chiquititos que podría ser. Podría ser que de cerca, veamos que todo es plano, pero globalmente no lo sea.

Habían algunas pistas. Se entendía más o menos lo de que algunas fuerzas eran ficticias, meros artificios de no elegir las coordenadas correctas (como cuando introducimos términos centrífugos en nuestras ecuaciones debido a la rotación para poder usar la segunda ley de Newton). La gravedad podía ser de esas fuerzas, porque con un cambio de coordenadas la podías hacer desaparecer localmente. A dichas coordenadas las llamamos coordenadas localmente inerciales.

La clave es entender que, dado que la gravedad puede verse como una fuerza ficticia, lo que hay detrás de su aparición puede ser la geometría no trivial del espaciotiempo (pronto haré una entrada técnica al respecto 🙂 ). A nosotros, pobres mortales a los que la evolución nos ha hecho malos imaginando cosas que no sean tridimensionales, nos cuesta verlo. Pero realmente, lo que parecen trayectorias curvas son rectas en un espacio de mayor dimensión y globalmente curvo.

Así, cuando un objeto está en caída libre, realmente lo que ocurre es que no está acelerado (porque por el principio de equivalencia la gravedad se cancela con la aceleración, por eso cuando bajas una curva o sientes que te caes no notas tu propio peso). Evoluciona de manera que sigue geodésicas, que son curvas en las cuales no hay aceleración (resulta que también son curvas lo más rectas posibles por propiedades chulas de la teoría de Einstein que no vienen al caso).

Lo que he narrado respecto a las hormigas se conoce como desviación geodésica: cuando dos cuerpos están en caída libre, si el espacio es curvo (curvatura positiva), acabarán acercándose. Esto es cierto en nuestro caso porque caemos hacia el centro de la Tierra. Pero mientras caemos no notamos que suframos fuerzas, de hecho, si estuviéramos encerrados en un ascensor no podríamos diseñar ningún experimento que nos asegure que estamos cayendo en lugar de flotar en el espacio vacío.

Mecánica cuántica

Quizá alguno se este preguntando: ¿Cómo que mecánica cuántica y objetos cayendo? ¿No aplicaba la cuántica solo a lo muy pequeño? ¿Y no se supone que no importaba la gravedad?

Lo primero, la cuántica aplica a todo. Nuestro mundo es cuántico. Y es que precisamente en eso consiste que la ciencia avance: vamos encontrando paradigmas más generales que engloban a los anteriores bajo ciertos límites, con lo que su aplicabilidad es mayor. Y ojo, eso no significa que debamos matar moscas a cañonazo: no hay que usar la cuántica para estudiar este problema, al igual que no hay que usar la relatividad general para estudiar la caída libre sobre la Tierra. Pero el caso es que si quisiéramos, se puede.

Por otro lado, los campos gravitatorios débiles sí se pueden estudiar en mecánica cuántica. Se pueden incorporar como un potencial a la ecuación de Schrödinger. Muchos pensarán «bah, y eso qué puede importar, la gravedad es la interacción más débil«. Bueno, en general llevarías razón, pero se ha llegado a comprobar experimentalmente que en un campo gravitatorio obtenemos un patrón de interferencia si lanzamos neutrones, debido únicamente a la existencia del campo gravitatorio. Más en el blog Cuentos Cuánticos (experimento COW). Para campos gravitatorios intensos ya no podemos echar las cuentas, pues haría falta una teoría cuántica de la gravedad. Pero experimentos como el que enlazo nos animan a conseguirla, pues hasta para cosas tan triviales como esa parece importar (ya ni hablemos de agujeros negros o el Big Bang).

Aun así, a escala macroscópica, la cuántica se reduce a la clásica (para sistemas con acciones ). La mejor manera de verlo es con la formulación de integrales de camino de Feynman.

En ella, entendemos que por cada trayectoria posible (camino o historia) entre dos puntos dados, debemos añadir a la amplitud de probabilidad un término proporcional a la exponencial de la acción del sistema evaluada sobre esa trayectoria. Pero en este sentido, ninguna trayectoria es imposible: la partícula las «explora» todas.

Ya utilizamos esto para hablar del comportamiento cuántico de la luz. Allí vimos que, de todas las trayectorías posibles, aquella que hacía mínimo el tiempo era la que más contribuía a la probabilidad. De manera más general, de todas las trayectorias posibles, aquella que hace mínima a la acción es la que clásicamente veremos, pues al ser un mínino, todas aquellas entorno a este interfieren constructivamente, mientras que las demás interfieren destructivamente y la probabilidad de que ocurra de otra manera inesperada es ínfima.

Por tanto, en cuántica también podemos tratar este problema y obtener idénticos resultados (aunque como ya he dicho, sería matar moscas a cañonazos).

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En esta entrada hemos visto las respuestas de veinte siglos de física al problema de describir la caída de una partícula. Que caer es su fin, que tiene cierta «fuerza impresa» que se va gastando, que la Tierra la atrae haciéndola caer, que realmente no cae sino que sigue geodésicas en un espaciotiempo curvo, o que sigue infinitos caminos pero solo observamos el que hace mínima la acción por fenómenos de interferencia cuántica.

Creo que es un bonito ejercicio ver como la física ha ido cambiando sus respuestas, creando nuevos paradigmas que o bien destierran o bien engloban a los anteriores. Muchas veces prejuzgamos a los científicos, creyendo que su trabajo fue fácil, y no lo valoramos en su contexto, sino bajo los estándares actuales (la conocida como falacia del historiador). Pero realmente en el avance de la física nos podemos ver reflejados: las ideas de Aristóteles son las que cualquiera puede tener hoy día al enfrentar sus estudios de física por primera vez. Espero que con esta entrada valoraremos mejor las teorías que actualmente manejamos 🙂

Para profundizar, podéis leer este articulillo al respecto sobre la caída libre desde Aristóteles a Galileo. Otro libro que he usado ha sido «Explicar el mundo«, de Steven Weinberg. También podéis echarle un ojo a «Biografía de la física«, de George Gamow. (Los enlaces anteriores a los libros son de afiliado, si los compras pro ahí a ti no te costarán más y a mi me darán una -minúscula- comisión). Y por la entrada he dejado muchos hiperenlaces a sitios donde se trata este tema u otros similares. Disfrutádlos.