¡E=mc² está mal!

¡E=mc² está mal!

Oh, la masa, esa gran desconocida. Entendida como cantidad de materia y fuente de gravedad por Newton, conservada según Lavoisier, resistencia a cambios en el movimiento según Descartes… El concepto de masa sigue trayendo quebraderos de cabeza a todo aquel (físico o no) que se para un momento a pensar sobre él. Hoy vamos a hablar de la masa en relatividad especial. Del famoso E=mc² y los errores asociados a la fórmula más famosa de la física.

¿E=mc²?

¿Quién no conoce la famosa ecuación E=mc^2 que nos legó Einstein? Esa que dice que la energía de un cuerpo es su masa m por la velocidad de la luz c al cuadrado. Casi siempre de seguido se nos cuenta en la divulgación usual que esta fórmula también es la responsable de que nada pueda sobrepasar la velocidad de la luz, ya que cuando aceleras algo gana energía, y por tanto (según la susodicha fórmula) masa, lo que implica que ahora cuesta un poquito más hacer que gane velocidad, por lo que se necesita más energía… y así continuamos con un ciclo que se retroalimenta hasta ver que para acelerar algo a la velocidad de la luz haría falta una energía infinita. Distinguen así entre una masa relativista y una masa en reposo. Pero, ¿es este razonamiento el más correcto?

Si te diera a elegir entre las siguientes cuatro fórmulas:

    \begin{equation*} \begin{aligned} E_0 =& mc^2 \\ E =& mc^2 \\ E_0 =& m_0 c^2 \\ E =&  m_0 c^2 \end{aligned} \end{equation*}

¿cuál elegirías?

Probablemente la segunda o la tercera. Pero estas no se derivan racionalmente de los principios de la relatividad especial, ni fueron las que Einstein publicó. La correcta es la primera. Elegir la segunda y la tercera viene motivado por creer que la masa varía con la velocidad, y por tanto eligiendo la segunda suponemos que se está teniendo en cuenta tal efecto y eligiendo la tercera suponemos de igual manera que hablan de la “masa en reposo”. Pero la masa es lo que en física llamamos un invariante Lorentz: todos los observadores en movimiento relativo uniforme deben coincidir en su medida. Veamos cual sería la terminología adecuada.

Antes de seguir, remarcar que la física es invariante bajo transformaciones del lenguaje (¿qué carga asignamos, Noether?), pero el lenguaje puede inducir a errores. Que la masa aumente con la velocidad se puede leer en libros de divulgación (de Hawking y Brian Greene por ejemplo), pero también en libros de texto (Feynman, Burbano, etc). Por el contexto se debe poder inferir qué considera cada autor que varía, pero si queremos comunicarnos con los demás, un lenguaje común a la par que útil sería lo más adecuado.

MECÁNICA EINSTENIANA

La relatividad especial surge para simetrizar los experimentos en física. Antes de ella, solo teníamos en pie de igualdad a los observadores en movimiento relativo uniforme haciendo experimentos mecánicos, lo que llamamos relatividad galileana. Pero llegó Maxwell, y resultó que su teoría aparecía distinta para estos observadores. Einstein, en su afán democratizador, tuvo que elegir: o desechamos la teoría de Maxwell o remodelamos la mecánica newtoniana. Y optó por lo segundo.

¿De qué modificación hablamos? Pues a parte de las transformaciones de Lorentz, que dejaremos para futuras entradas, el momento de una partícula libre debe modificarse como:

    \begin{equation*} \bold p=\dfrac{m \bold v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{equation*}

Unas pocas cuentas más nos permitirían definir una energía relativista como

    \begin{equation*} E=\dfrac{m c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{equation*}

Ambas definiciones se reducen a las usuales en mecánica newtoniana si v\ll c (realmente la energía no, salen dos contribuciones como los lectores más aventajados sabrán, siendo una de ellas la energía cinética y otra la energía en reposo, ver más abajo).

De estas dos ecuaciones podemos encontrar una relación muy útil:

    \begin{equation*} E^2-\bold p^2c^2=m^2c^4 \end{equation*}

Lo chulo es que es un invariante Lorentz: la energía y el momento que miden dos observadores en movimiento relativo uniforme son distintas, pero si ambos hacen la cuenta de arriba obtienen el mismo miembro derecho. Por tanto, la masa es un invariante Lorentz. Y es que mediante esta ecuación se obtiene la masa de las partículas fundamentales en los aceleradores (referencia, referencia) .

Y ahora viene cuando te convenzo de que olvides usar los términos masa relativista y masa en reposo. Si la velocidad de una partícula es nula \bold v=0, su momento también lo es, y por tanto

    \begin{equation*} E_0=mc^2 \end{equation*}

y llamamos a E_0 energía en reposo. Por otro lado, si m=0 tenemos E=pc. Una relación que sabemos que cumplen los fotones (que no tienen masa, por si hay que recordarlo). El contenido de E=mc^2 y E_0=mc^2 es totalmente distinto: en la primera los fotones tienen masa, y la masa varía con la velocidad, y en la segunda los fotones no tienen masa (toda su energía es cinética) y la masa es un invariante.

ENTONCES, ¿QUE HACE QUE CADA VEZ CUESTE MÁS ACELERAR ALGO?

Y es que si la masa variase con la velocidad estaríamos en apuros: siempre podríamos encontrar algún observador para el cual un objeto se moviese a una velocidad arbitrariamente alta (pero inferior a c). Si la masa aumentase, con el agravante de la contracción de Lorentz que sufriría el cuerpo en la dirección del movimiento, este observador vería un agujero negro. Pero otro observador que se desplazase a la par que tal objeto no lo vería. Y la realidad es una. Incluso si te las apañas, puedes llegar a situaciones en las que se tenga un agujero negro en el cual entra información para seguidamente salir.

La gente que esgrime el argumento de que la masa es la inercia pues es el cociente entre la fuerza que aplicas a un cuerpo y la aceleración que le causas parece olvidarse de la verdadera formulación de la segunda ley de Newton: la fuerzas lo que producen son cambios en el momento de las partículas.

Con la modificación hecha para el momento, tenemos que:

    \begin{equation*} \bold F=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \dfrac{m\bold v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right) \end{equation*}

y no \bold F=m\bold a. Ahora bien, en esa derivada hay dos términos que varían(y ninguno es la masa). Y es precisamente el cambio de la velocidad que hay dentro de la raíz cuadrada la que hace que el momento tienda a infinito conforme nos acercamos a la velocidad de la luz. El momento es la verdadera inercia.

De hecho, en relatividad la fuerza sobre un objeto y la aceleración que le causa no tienen porqué tener la misma dirección (solo la tendrán si la velocidad del objeto es perpendicular a la fuerza), por lo que la masa no puede ser el cociente de proporcionalidad entre ambas en general. Pierde su sentido definir así la masa.

Quizá la mejor manera de verlo es que la masa es la energía que posee un objeto en reposo, la energía que deberíamos aportar para crear ese objeto en reposo. Y a esta energía contribuyen todo tipos de energía presentes en el objeto, pues realmente la masa y la energía son divisas convertibles. La masa es una forma de energía, pero el capricho humano de medir distancias y tiempos en metros y segundos en lugar de segundos-luz y segundos lo oscurece. Veámos como el propio Einstein lo razonó.

CONVERSIÓN MASA-ENERGÍA

Imaginemos un cuerpo en reposo en algún sistema de referencia. Su masa es m, y su energía E_0=mc^2. Supongamos que de repente emite dos fotones idénticos (misma frecuencia) en direcciones opuestas. Dado que el momento tiene que conservarse, y el momento de los fotones es igual y opuesto, debe ocurrir que el objeto siga en reposo tras el proceso. Por tanto, sigue ocurriendo que su energía se calcula como E_0^{\prime}=m^{\prime}c^2. Pero esta energía debe ser menor a la original, ya que sabemos que los fotones portan energía, por lo que la masa del objeto debe de haber disminuido tras el proceso: m^{\prime}\le m. Como vemos, la energía se conserva, pudiéndose convertir energía en reposo en energía cinética o potencial y viceversa.

CALCULANDO LA MASA EN DIVERSAS SITUACIONES

Con el mismo afán, podemos describir como cambia la masa en muchos procesos físicos. Para un sistema de partículas, tenemos que

    \begin{equation*} m=\left[ \left(\sum_i \dfrac{E_i}{c^2}\right)^2-\left(\sum_i \dfrac{\bold p_i}{c}\right)^2\right]^{1/2} \end{equation*}

Veamos diversos casos:

  • Supongamos dos fotones con energías E_1,E_2 y momentos \bold p_1,\bold p_2 arbitrarios. Si te entretienes con la fórmula de arriba (y recuerda que p=E/c), verás que la masa del sistema depende del ángulo \theta entre las direcciones de los fotones como

        \begin{equation*} m^2=\dfrac{2 E_1E_2}{c^4}(1-\cos\theta) \end{equation*}

    por lo que para fotones volando paralelos, \theta=0 y m=0 y para fotones volando en direcciones opuestas \theta=\pi y m=2\sqrt{E_1 E_2}/c^2. Un sistema compuesto por partículas sin masa puede tener masa, no tenerla, … simplemente la masa no es un concepto útil en la descripción de estos sistemas. La masa de un sistema en relatividad no coincide con la suma de las masas de sus constituyentes.

  • Pero la energía cinética de los fotones se puede convertir en masa en reposo para otras moléculas, como ya demostró Einstein con su experimento mental. Todo el mundo sabe que la obtención de energía en centrales nucleares (o las bombas atómicas) se basa en aprovechar la conversión del defecto de masa en energía. Pero es que realmente todas las reacciones se basan en eso. Es solo que el defecto de masa en la mayoría de reacciones es mucho menor que las energías en reposo de los participantes en la reacción. Por ejemplo, en la combustión de metano que cualquiera habrá visto en un fuego de cocina se puede demostrar que \Delta m/m\sim 10^{-10}. Por eso para Lavoisier (y para todo químico) la masa se conserva. En la fotosíntesis se obtienen moléculas de glucosa a partir a CO_2 y H_2 O gracias a la luz solar. Por cada molécula de glucosa, hace falta una absorción de unos 4,9 eV en forma de fotones. Esto no significa que los fotones sean masivos, sino que su energía cinética (pues en reposo no tienen) se puede transformar en energía en reposo que adquieren los cuerpos masivos. Masa siendo energía en reposo y energía conservándose significa que la masa de un sistema aislado se va a conservar, aunque en su interior hayan conversiones entre masa en reposo y energía cinética. Pero si el sistema no está aislado (intercambia energía en forma de radiación por ejemplo) su masa no será una constante.

  • Si calentamos un bloque de hielo para fundirlo, el calor aportado se transformará en energía cinética y momentos de las moléculas que lo componen, por lo que habrá un incremento de masa en el sistema (increíblemente pequeño si te entretienes en estimarlo). Si calentamos un gas ocurre lo mismo. Podríamos entretenernos en utilizar la fórmula de arriba, pero no es necesario. Visto como una caja negra, si aportamos un calor Q la energía en reposo del sistema aumentará (y en consecuencia la masa) como Q/c^2.

  • En los átomos, el defecto de masa por la energía de ligadura de los electrones es minúsculo (del orden de la incertidumbre con la que conocemos la masa de los protones y neutrones). Pero si quisiéramos ser precisos, la masa del átomo de hidrógeno deberíamos calcularla como m_p c^2+m_e c² +E_{\text{cin\'etica}} + U, siendo los dos últimos términos las energías cinéticas del electrón y potencial eléctrica del sistema. Como el sistema está ligado, la suma de energías cinética y potencial es negativa (energía de ligadura) lo que implica que la masa del sistema ligado sea menor que la suma de las partes.

  • La masa del electrón (y la energía de ligadura) es despreciable frente a la masa del protón, por lo que nuestra masa viene de la suma de las masas de los protones y neutrones (nucleones) de nuestro cuerpo. ¿Y de donde viene la masa del protón? Aquí es donde la fórmula de Einstein se manifiesta en toda su gloria. Las masas estimadas de los quarks (que, como las de todas las partículas fundamentales masivas, vendrían de la interacción con el campo de Higgs) no dan para cubrir ni el 1% de la masa del protón. Toda la masa del protón viene de las energías cinéticas de los quarks (enormes pues sus velocidades dentro de los protones son relativistas) y de la interacción entre los gluones que los ligan. Nuestra masa viene de E_0=mc^2.

¿Y LA GRAVEDAD?

Una duda que puede surgir es que dos partículas a altas velocidades se atraerían gravitacionalmente (si es que esto está bien dicho) con más intensidad que si estuvieran quietas, en virtud de la fórmula de Newton y de la errada concepción de que la masa aumenta.

¿Dónde está el fallo? Pues realmente está en que la teoría de Newton no es válida para partículas relativistas. La fuerza con que se atraen dos partículas gravitacionalmente no se puede calcular así a la ligera. La fuente de gravedad es realmente el tensor energía-momento, que guarda información de la distribución de energías y momentos en un sistema de partículas, ya que estos son la verdadera fuente de gravedad en la relatividad general.

Las ecuaciones de campo de Einstein se reducen a las de Newton sólo para velocidades pequeñas, igual que lo hace la mecánica einsteniana a la newtoniana. De hecho, como hemos visto más arriba la fuerza y la aceleración no son paralelas en relatividad. Para un cuerpo poco masivo a velocidades relativistas, la atracción por un cuerpo muy masivo puede ser hasta dos veces mayor en función de la dirección de la velocidad, luego no tiene sentido pensar en una masa gravitatoria en este caso como un cociente de proporcionalidad entre fuerza y distancia (pese a que la masa intrínseca de la partícula sí sea un concepto bien definido).


Y así podríamos seguir. Masa y energía en reposo son dos caras de la misma moneda. A algunos les sorprende la conversión masa energía (por ejemplo aniquilación electrón positrón para dar fotones) o viceversa. El problema es nuestra visión clásica de masas como bolitas perfectamente definidas pero energía como cierta nube dispersa. Las partículas fundamentales se describen mediante campos cuánticos: objetos extensos y no localizados, los cuales tienen cierta densidad de energía que sumándola sobre toda su extensión nos da su energía. La energía tiene inercia. La masa es energía.

*Foto de portada de Sydney Harris.

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