Diagramas en física: el truco de nobeles como Penrose y Feynman

Todos (o la mayoría) habrán experimentado la frustración de estar realizando cuentas pero no entendiendo el trasfondo de las mismas.

Esas dichosas demostracciones por inducción. O por reducción al absurdo. O partir de unos axiomas y derivar el resto, sin entender nada.

Cuando empiezas a estudiar matemáticas, el nivel de abstracción requerido puede hacer que creas que no sirves para ello. O que son muy complicadas (y los libros de texto al uso no ayudan).

Tuve un profesor en primero de carrera que nos dijo nada más empezar: «a cada problema, su dibujo». Y es que muchas veces un esquema (sea un dibujo cutre o un diagrama elaborado) puede hacerte entender lo que esas abstrusas deducciones no consiguen.


Que un simple dibujo puede aclarar tus ideas es algo que en física todos entendemos.

«Sea un péndulo simple….». Lo dibujamos. «Sea un plano inclinado…». Lo dibujamos. «Sea…». Nada, nada. Lo dibujamos.

Estos dibujos nos ayudan a organizarnos mentalmente, e incluso a predecir qué esperamos que ocurra.

¿Por qué en matemáticas no se suele hacer de igual manera?

Bueno, realmente sí se suele hacer. Sobretodo en geometría se acostumbra a realizar dibujos (planos que intersecan, rectas paralelas, áreas de figuras…) Pero esto es una mera ayuda, al igual que en física.

¿Será posible hacer dibujos que sirvan en sí como parte del desarrollo (o incluso solución) del problema?

Diagramas para resolver problemas

Muchos habrán visto alguna vez la manera de demostrar que la suma de los n primeros números naturales es

    \[S_n=\dfrac{n(n+1)}{2}\]

Desde Gauss, es sencillo extrapolar esta expresión (por ejemplo, para sumar los 100 primeros números naturales vemos que se pueden hacer con ellos 50=100/2 parejas, cada una sumando exactamente 100+1).

Incluso a muchos os habrán enseñado a demostrar por inducción que dicha expresión es correcta (demuestro que lo es para n=1, asumo que es correcta para n y compruebo que para n+1 coincide con lo esperado). Entender la lógica de porqué las demostraciones por inducción funcionan no es excesivamente difícil, pero no te enseña  porqué la expresión ha de ser así.

En cambio, la siguiente imagen te lo enseña en un plis:

¡Claro! Si las sumas parciales (sumar los primeros 2, 3, 4… números) se pueden organizar en patrones triangulares, el doble de la suma se puede organizar en un rectángulo. Para el caso de los 4 primeros números, el rectángulo tendrá base 4 y altura 5 luego habrán 20 elementos en total. Como el patrón que yo buscaba era la mitad… me queda que la suma de los 4 primeros números es 10.

De igual maner, el doble de la suma de los n primeros números se podrá organizar en un rectángulo de base n y altura n+1 y quedándonos con la mitad… ¡tachán! ya tenemos la dichosa fórmula. Sin inducción.

Algo similar se puede hacer para la suma de los primeros n impares:

Uno podría haberse lanzado a usar lo que ya sabíamos (suma de los n primeros números naturales) para demostrar que

    \[\sum_{n=1}^N (2n-1)=N^2\]

pero, ¿a que así se entiende mejor? Y lo más chulo de todo es que esta demostración es perfectamente válida.

Existen muchas otras maneras de demostrar sumas geométricamente, pero también es posible aplicar un razonamiento diagramático para cosas que no sean sumas, como por ejemplo se hace con los diagramas de Venn para entender/demostrar las leyes de Morgan en probabilidad o la probabilidad de la unión de dos sucesos.

Es sencillo ver con un diagrama que al sumar P(A) + P(B) para obtener la unión contamos dos veces la intersección P(A\cap B), luego hemos de restársela una vez. Demostrar esto desde los axiomas de la probabilidad ya no es tan sencillo.

¿Y en física podemos hacer algo más que esquemas de la situación? ¿Podemos trabajar con diagramas?

Notación diagramática de Penrose

Todo el que haya estudiado alguna vez geometría diferencial, y más concretamente relatividad general, se habrá tirado de los pelos al hacer cuentas con tensores.

Extracto de mi tfm donde se puede observar que las expresiones con tensores, aunque muy bonitas, pueden hacerte perder la paciencia.

Para más inri, existe una pelea entre los matemáticos y los físicos en el uso de coordenadas. Y razón (a los matemáticos) no les falta. La relatividad general de Einstein se desarrolló para acabar con la tiranía de las coordenadas: las leyes de la física deben ser iguales para todos los observadores. Cada observador usa unas coordenadas, por lo que las leyes de la física no deben depender de qué coordenadas uses. Eso implica que necesitamos un lenguaje matemático libre de coordenadas: los tensores.

Los tensores son (para lo que viene ahora, paciencia) aplicaciones multilineales. En su ejemplo más sencillo cogen un vector y devuelven un número. En tal caso tenemos un tensor 1-covariante. Si lo llamamos \bold{\omega}(\cdot), al darle el vector \bold{v} se tiene que \bold{\omega} (\bold v)=\text{número}. Esto es totalmente libre de coordenadas. Ahora bien, a los físicos nos gusta ver las cosas con coordenadas que denotamos con un índice. Por ejemplo, el vector \bold v podría escribirse en cierta base según sus coordenadas:

    \[\bold v=\sum_i v^i \bold e_i\]

donde {\bold e_i} son los vectores de la base de coordenadas. Por ejemplo, en el espacio tridimensional usual, los vectores de la base son {\bold i, \bold j, \bold k} (cada uno de longitud unidad y ortogonales -ángulos de 90º entre ellos-) y un vector cualquiera se escribe como v^1 veces el vector \bold i, más v^2 veces el vector \bold j… es decir, \bold v=v^1\bold i+v^2 \bold j +v^3 \bold k. (Fíjate que los superíndices no son potencias, sino etiquetas de las coordenadas del vector en una base dada).

Encima, por si fuera poco, a los físicos no nos gusta andar escribiendo sumatorios. Por lo que escribimos directamente \bold v=v^i \bold e_i. Esto se conoce como el «convenio de suma sobre índices repetidos de Einstein». Es decir, siempre que veas dos índices repetidos en una expresión (a ser posible, por higiene matemática, deben estar uno como superíndice y el otro como subíndice) se entiende que se han de sumar sobre todos los valores que el índice pueda tomar. A esto lo llamamos también contraer índices.

Así, el hecho de que el tensor 1-covariante \bold{\omega} tome un vector \bold v y devuelva un número lo escribimos como

    \[\bold{\omega}(\bold v)=\omega_{\mu} v^{\mu}\]

donde \mu es un índice que toma valores de 0 a 3 (se suelen usar letras griegas como índices espaciotemporales -cuatro coordenadas-, mientras que letras latinas para índices espaciales -tres o menos coordenadas-).

Lo que mola de esto es que es fácil ver que podemos darle la vuelta al argumento, y entender dicha contracción como que el vector \bold v también es un tensor, en este caso 1-contravariante (contravariante=índice arriba, covariante=índice abajo, que es que nos gusta enrevesarlo todo), que toma un tensor 1-covariante (o covector desde esta persepectiva para los físicos, 1-forma para los matemáticos) y devuelve un número. Y en general puede escribirse que un tensor Q n-contravariante y m-covariante (o de rango (n,m) ) toma n covectores y m-vectores contravariantes y devuelve un número:

    \[Q^{abc}_{defg} v^d x^e y^f z^g w_a t_b r_c=\text{número}\]

De hecho es todo más complicado, porque no tiene porqué contraerse con vectores y covectores, también puede contraerse con otros tensores

    \[Q^{ab}_{cd} R^{cd}_{ab}=\text{número}\]

o, incluso, contraerse solo una parte de los índices, por lo que el resultado es un nuevo tensor y no un número:

    \[Q^{ab}_{cd} R^{ce}_{af}=S^{be}_{df}\]

por lo que al hacer cuentas con tensores se debe desarrollar un sexto sentido para localizar índices que se estén contrayendo (y por lo tanto han de desaparecer en el resultado, y los puedes renombrar las veces que quieras porque son variables mudas al igual que x en la integral I(y)=\int_0^y \sin(x)\mathrm{d}x) e índices libres, aquellos que deben perdurar en el resultado final. Encima, el orden de los índices importa. Total, un lío (pero muy entretenido).

Para aprender más sobre tensores (si es que tras este resumen tuvieras ganas, que lo dudo) te animo a leer el genial libro de Bert Jannsen: Teoría de la Relatividad General. E igualmente algún día, como ya he prometido en otras entradas, haré una sobre tensores (con significado geométrico e importancia en física).

Pero bueno, hablábamos de la pelea entre matemáticos y físicos. Una manera de entender porqué los físicos no están de acuerdo con los matemáticos es que en física usamos la notación de índices abstractos: esto es, pese a que poner un índice te ata a un sistema de coordenadas usualmente, en física (y en relatividad general en concreto) los ponemos para indicar que tratamos con vectores, covectores, y tensores en general en abstracto, independientemente de las coordenadas. Es decir, con todo el dolor del corazón de los matemáticos, para los físicos \bold v y v^i es lo mismo.

Y lo que es más gracioso, los matemáticos reconocen usar la notación de índices abstractos cuando las cuentas se vuelven particularmente difíciles. Físicos 1-matemáticos \infty-1.

El caso es que puede llegar a ser aun así difícil trabajar con índices y seguirles la pista a todos los que se contraen y a los que quedan libres. Para esto precisamente inventó el nobel de física de 2020 Roger Penrose la notación tensorial diagramática (solo el nombre asusta).

Según esta, a cada tensor se le asigna una figura geométrica (un ovalo, un rectángulo, lo que sea) de la que «salen» patas que representan los índices. Por ejemplo, el tensor Q^{abc}_{de} se representaría como

Las letras para los índices directamente no se ponen, y el orden índices queda patente en que las patas no se pueden «arrancar», solo cruzarse (lo que equivaldría a una permutación de índices). Además, se pueden incluir números en los dibujos. Por ejemplo, la cuenta Q^{abc}_{de}-2Q^{cba}_{ed} se dibujaría:

Por otro lado, la contracción entre tensores se realiza «uniendo patas». Así es sencillo ver cuántos índices te deben quedar libres y cuántos se han ido al hacer la cuenta. Por ejemplo, tenemos que:

Esta notación puede tornarse incluso intuitiva con la elección de símbolos adecuada. Por ejemplo, la métrica se dibuja como una gran U, mientras que la delta de Kronocker como un palo vertical:

La métrica puede usarse para subir y bajar índices (de contravariantes a covariantes y viceversa): v_a=g_^{ab} v^b, v^a=g^{ab} v_b, v_a w^a=v_a g^{ab} w_b. Es por eso que expresiones como las siguientes son muy naturales bajo esta notación:

Además, se tiene que el producto de la métrica por su inversa ha de ser la delta de Kronecker g_{ab} g^{bc}=\delta _a^c, que diagramáticamente parece que estuvieras estirando el diagrama:

Aunque todo esto puede parecer extraño (y no niego que una vez acostumbrado al uso de índices no creo que el cambio merezca la pena), Penrose asegura que él lleva usando esta notación más de 50 años en sus cálculos particulares. Le gusta tanto que la incluye (pese a lo que cuesta transcribir esto a ordenador) en su genial libro El camino a la realidad (donde trata de divulgar la física necesaria -sin miedo a las ecuaciones- que nos ha llevado hasta hoy día) y en su libro de texto junto con Rindler Spinors and Space-Time, donde puedes encontrar un anexo entero con cuentas como la siguiente:

Imagen sacada del libro Spinors and Space-Time de R. Penrose y W. Rindler.

¿Será este el secreto de Penrose para haber llegado a tantos resultados matemáticos en relatividad general? 😛

Jugar con las matemáticas

Yo creo que al final no se trata si quiera de que la notación que inventes para tus cuentas personales sea útil o deje de serlo. Ni si quiera de inventar algo que cambie el mundo.

Se trata de jugar y disfrutar con la física y las matemáticas.

Cuando Feynman era pequeño era un  niño adelantado en clase. Aprendió por su cuenta cálculo infinitesimal mucho antes que el resto de alumnos (era tan pequeño que tenía que mentirle a la bibliotecaria para poder sacar el libro de cálculo de la biblioteca, diciendo que era para su padre).

Feynman realmente disfrutaba jugando con las matemáticas. Se inventaba problemas para sus compañeros o incluso los engañaba (se las daba de inteligente, Feynman era como Kvothe, de El nombre del viento -mi libro favorito, por cierto-, alguien que creaba su propia fama), pues era fácil engañarlos ya que no entendían porqué hacían lo que hacían en clase de matemáticas.

Dedujo él solo todas las identidades trigonométricas a base de dibujar triángulos y se construyó tablas con los valores de senos, cosenos y tangentes de 5º en 5º. Años después cuando la estudió en el instituto vio que la mayoría de sus demostraciones eran distintas (a veces más enrevesadas, y otras más sagaces y directas). Quizá por eso sus lectures on physics tienen ese enfoque tan distinto al resto de libros de texto. Feynman dedujo la mayoría de los resultados por su cuenta para contarlos de otra manera.

Así, gustaba incluso de inventar signos matemáticos para ir más rápido en las cuentas. Para el seno  escribía un símbolo similar al de raíz cuadrada y dentro colocaba el ángulo. Para el arcoseno (la función inversa al seno) escribía el mismo simbolo pero dibujado de izquierda a derecha. Esto le parecía mejor que usar \sin^{-1} (\theta), que a su juicio era lo mismo que 1/\sin(\theta).

De igual manera, para derivadas inventó símbolos nuevos (y así evitaba pensar que las d‘s se pueden cancelar en f'(x)=df(x)/dx, para el logaritmo usaba una gran «L» y situaba el argumento sobre la pata…

Pero vinieron los problemas.

En palabras de Feynman

«Me parecía que mis símbolos eran por lo menos tan buenos, si no mejores, que los símbolos ordinarios -matemáticamente, no importa la forma de los símbolos que se utilicen-, pero más tarde descubrí que sí importan. En una ocasión, estando yo explicándole algo a un compañero, sin darme cuenta comencé a hacer los símbolos de que he hablado, y cuando él me dijo: <<¿Qué diablos son esas cosas?>>, me di cuenta de que si iba a hablar con otros, tendría que usar los símbolos habituales, con lo que acabé por arrinconar los míos.»

(quien quiera leer más sobre esto y otras historias que se vaya al genial ¿Está usted de broma, Sr. Feynman? -mi segundo libro favorito, por cierto-).

El caso es que el joven Feynman abandonó la costumbre de inventarse sus propios símbolos. Entendió que las matemáticas son un lenguaje (el más universal posible!) y debemos usar símbolos comunes para que los demás nos entiendan. Aunque su inteligencia y su incansable cabezonería a la hora de resolver problemas no lo abandonaron, y todo problema que enfrentaba lo resolvía «fácilmente».

Pasaron los años y Feynman acabó metido en el proyecto Manhatann, durante el cual además moriría su mujer de tuberculosis. Todo esto lo sumió en una profunda depresión. Tanto que incluso dejó de hacer física por disfrute. Y por tanto los resultados en su investigación dejaron de llegar.

Al poco de la guerra Feynman había conseguido un puesto de profesor en Cornell y relata que las vivencias (los sentimientos de culpa) y la muerte de su mujer le habían desanimado, y no conseguía proseguir con sus investigaciones. Se dedicaba a preparar las clases lo mejor posible y el resto de tiempo lo dedicaba a su disfrute personal.

Un día, tras muchas ofertas de trabajo que creía no merecer, dio con la clave para relajarse: él no tenía la responsabilidad de ser como los demás esperaban que fuese. Es un error de ellos creer que tenía que ser así, no un fallo suyo. Y entonces lo vio claro:

«En aquel momento la física me disgustaba un poco; pero antes yo disfrutaba haciendo física. ¿Por qué disfrutaba? Porque lo que hacía era jugar con ella. Hacía lo que me apetecía, lo cual no tenía nada que ver con que fuese importante o no para el desarrollo de la física […] y sí, en cambio, con lo interesante y divertido que a mí me resultara jugar con ella.«

Esa misma semana, estando en la cafetería de la universidad, Feynman observó que al lanzar un alumno una bandeja con un medallón sobre esta, la velocidad de giro del medallón era más rápida que la de bamboleo de la bandeja. En concreto, quiso comprobar lo que a ojo parecía que debía ser una relación de 2:1. Finalmente consiguió demostrarlo, y fue corriendo a ver a Bethe (el hombre que descubrió por qué brillan las estrellas) y le explicó lo que había demostrado.

¿Pero qué importancia tiene, Feynman? ¿Por qué lo estas haciendo?– le preguntó Bethe.

¡Ja! No tiene la más mínima importancia. Lo estoy haciendo sólo por divertirme.

Feynman siguió trabajando en las ecuaciones del medallón. Después pasó a pensar en las órbitas de electrones relativistas. Sin darse cuenta estaba trabajando con la ecuación de Dirac. Pero para él no era trabajo, sino que seguía «jugando». Y así inventó los diagramas que hoy llevan su nombre, que un día le darían el nobel, y que han calado incluso en la cultura popular.

De nuevo, estos diagramas no son meros dibujos. Se trata de una manera de transcribir ecuaciones a dibujos, pudiendo volver a escribir ecuaciones a partir de los mismos en cualquier momento (y no, como comúnmente se cree, tratar de representar procesos en sí). En concreto, dan cuenta de amplitudes de probabilidad para procesos de dispersión entre partículas. Y tienen una serie de reglitas que se deducen fácilmente tras hacer un par de casos de manera «analítica» (por aquí puedes leer a Enrique, de Cuentos Cuánticos, explicando lo básico de los diagramas de Feynman). Son útiles porque si quieres calcular la amplitud de un proceso (para calcular secciones eficaces, tiempos de vida media, etc) no tienes más que plantearte los diagramas más representativos del proceso (aquellos que sabes que darán el grueso de la probabilidad) y despues traducirlos a ecuaciones. En cambio, escribir las ecuaciones del tirón suele ser más difícil.

En resumen, es cierto que el entendimiento puede desglosarse en niveles, y que quizá el primer nivel por el que pasa todo estudiante es el clásico «Shut up and calculate!».

Pero creo que las matemáticas y la física han de ser encaradas desde el principio de otra manera.

Las matemáticas y la física son un reto, pero también están ahí para que juguemos con ellas.

5 comentarios en “Diagramas en física: el truco de nobeles como Penrose y Feynman”

  1. Llevo un par de semanas leyendo este blog y me encanta, también estudio física y entre tanto cálculo a veces me nos olvida porque hacemos y estudiamos física, este blog suele recordarmelo, gran trabajo.

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  2. Muy buena entrada Castelo. A mi siempre me han ayudado mucho los dibujos a entender los problemas, esta muy curiosa la forma que explicas de hacer calculo tensorial.
    Yo me hago un par de dibujos mentales (tal vez mas artisticos que tecnicos) para entender los estados electronicos en el atomo. Los niveles de energia se ramifican conforme vamos desentrañando la estructura fina de forma similar a las ramas de un arbol, cada vez mas sutilmente separadas y con espacios mas pequeños entre ambas. Luego la transicion del electron entre estados es como cascadas hasta el estado fundamental con muchos caminos posibles. Con todo esto sacas un paisaje bonito del atomo.
    No me esperaba la comparacion Kvothe y Feynmann jajajaja el nombre del viento es un gran libro, me «obligo» a leerlo mi hermano.
    Y nada mas, espero que estes bien. Voy dejando musica por aqui

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      • Buenas Antonio. Muchas gracias lo primero! =)

        Qué físico no cree que los dibujos dan la vida en los problemas? 😛 curiosamente, algo similar imagino yo para todos los desdoblamientos en estructura fina. Me encantaría ver un dibujo tuyo plasmándolo si te apetece. Espero que todo vaya bien. Lee «El nombre del viento» ahora mismito y me cuentas.

        Un abrazo =)

        pd: corroboro lo de temazo. Probablemente no se vea bien porque no dejen insertarlo en otras webs.

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