¿Son tan raros los números cuánticos?

La profesora entró en clase, cargada con un maletín negro.

Los alumnos se fueron sentando poco a poco, entre cuchicheos y risas. A la profesora no le preocupó, sabía que iba a captar su atención en seguida.

Dejó el maletín que portaba sobre la mesa. Miró a la clase, sonrió, y procedió a abrirlo con el cuidado de quien sabe lo que guarda. De este sacó un violín. Se colocó en posición, y dio un La mantenido que terminó de silenciar a los pocos que aún hablaban.

-Bueno chicos, ayer dijimos que hoy hablaríamos de los números cuánticos, ¿no? -dijo la profesora, aún con el violín en posición.

Cuantización en una cuerda

-Si profe, pero ¿qué pinta el violín? ¿Se ha cansado de dar clase? -dijo Josema, un chico del final de clase, a lo que todos rieron.

A la profesora le gustaba que las clases comenzaran con bromas y risas. Pero tenía que ser cuidadosa y encontrar un equilibrio entre la distensión y la atención.

-Solo los días impares -contestó la profesora sonriendo-. Antes de hablaros de los números cuánticos, quería que hablásemos de cómo funciona el violín. ¿Alguien tiene alguna idea?

-Pues… frotas las cuerdas con el palo –arco, corrigió la profesora-, y eso hace que suene, ¿no? -se animó a responder Irene, una chica de la primera fila.

-Sí, Irene. Por ahí van los tiros. Cuando froto las cuerdas con el arco, las hago vibrar, y esta vibración se transmite al aire que rodea al violín, viajando hasta vuestros oídos. Entonces escucháis un sonido -matizó la profesora-. Pero ahora te pido que golpees la mesa con los nudillos y me digas si crees que eres capaz de dar un La tan bonito como el que yo he dado al inicio.

Irene golpeó la mesa, arrancando únicamente un sonido opaco y malsonante. A ella se le unieron el resto de alumnos, convirtiendo la clase en un batiburrillo de ruido blanco y risas cómplices.

La profesora pidió silencio, y realizó una nueva pregunta:

-¿Por qué no podemos dar un La, o un Mi, o en general un sonido bonito golpeando la mesa? Al fin y al cabo, al golpearla la hacemos vibrar- dijo la profesora.

-Bueno, no vibran de la misma manera, claro -dijo Chema, un alumno que tocaba la flauta travesera e iba al conservatorio.

-Muy bien, Chema-dijo la profesora-. Algo así podría ser. ¿Se te ocurre la diferencia?

-Pues…-dudó Chema, pero en seguida se atrevió a decir- a mí me han enseñado en el conservatorio que las vibraciones en los instrumentos tienen formas concretas que se consiguen gracias a su estructura. Por eso la flauta tiene las llaves donde las tiene, y todo eso -concretó.

La profesora sabía que el «todo eso» englobaba vagamente lo que Chema entendía intuitivamente, pero nunca se había esforzado en poner en palabras. Tomó nota mental de que tras esta clase le volvería a preguntar, a ver si su manera de explicarlo había mejorado.

-Genial Chema, has dado en el clavo -dijo la profesora-. No cualquier vibración producirá un sonido concreto. Las vibraciones que producimos al golpear una mesa son caóticas en cierto sentido, mientras que las de las cuerdas del violín tienen formas concretas.

La profesora dejó el violín en su estuche. Mientras se masajeaba insconcientemente el hombro, se acercó a la pizarra y cogió una tiza. Dibujó una onda lo mejor que pudo, marcando sobre el dibujo lo que sería la longitud de onda.

-Esto es una onda, como todos sabréis-dijo la profesora-. También sabéis que las ondas se desplazan -dijo, acompañando la explicación de un movimiento con sus manos paralelas, simulando el avance de la onda-. Pero como podéis imaginar, las ondas de las cuerdas del violín no tienen esta forma. ¿No os chirría que los extremos de mi dibujo no estén a la misma altura?

Esta pregunta se llevó el primer silencio de la hora, así que la profesora recurrió de nuevo al violín. Lo acomodó en su hombro, y con el dedo tensó ligeramente la primera cuerda y la soltó. Por si no fuera suficiente, hizo grandes ademanes con la mano que sostenía el arco señalando el clavijero donde las cuerdas se enrollaban y el puente.

-¿Cómo están los extremos de las cuerdas en el violín? -preguntó la profesora.

-¿A la misma altura?-contestó preguntando Guille, un chico de la primera fila al que le costaba media clase empezar a participar, pero luego no paraba.

-Vale, sí, pero eso casi os lo había dicho yo ya -dijo la profesora guiñando un ojo-. Sed mas concretos. ¿Cómo están los extremos de las cuerdas en el violín?- repitió la profesora.

-¿Fijos? -respondió preguntando de nuevo Guille.

-¡Fijos, eso es! -exclamó la profesora. Por fin habían llegado donde ella quería.

Dejó nuevamente el violín, y volvió a la tiza.

Los extremos de las cuerdas en el violín están fijos, por lo que si quiero dibujar una onda, obligatoriamente el número de semilongitudes de onda tendrá que ser entero, ¿verdad?

La cara de incredulidad de los alumnos hizo que la profesora se girara y comenzara a dibujar de nuevo en la pizarra:

-Si os fijáis, al tensar la cuerda un poquito y soltarla se pondrá a vibrar con la forma de la figura I. Únicamente tendrá un vientre, que es donde la amplitud es máxima, y los extremos serán nodos por estar fijos, es decir la amplitud será nula en ellos. En este caso cabe precisamente media longitud de onda.

>> Si en cambio la tenso un poco más, conseguiré que se produzca un nodo en el medio, y cabrá por fin una longitud de onda entera. Eso es lo que se ve en la figura II. A la forma de la figura I la llamamos primer armónico, o frecuencia fundamental. A la de la figura II, segundo armónico, y en general al resto tercer, cuarto, quinto… armónicos, en función de cuántas semilongitudes de onda quepan. En concreto, la longitud L de la cuerda y la longitud de onda \lambda se relacionan como:

    \[L=n\dfrac{\lambda}{2}\]

con n un número entero.

>> Ondas como estas se conocen también por el nombre de ondas estacionarias, pues la onda no viaja, y cada punto realiza un único movimiento oscilatorio vertical, conocido como movimiento armónico simple. Si os lían estas palabras no os preocupéis, lo entenderéis mejor con la siguiente animación.

La profesora conectó el ordenador al proyector y puso la página de la Wikipedia sobre ondas estacionarias, enseñando el primer gif:

>>Una onda estacionaria se puede conseguir mediante la interferencia de dos iguales pero viajando en sentidos contrarios. Así, se producen partes en las que una está en su máximo la otra está en su mínimo, interfiriendo destructivamente, y otras en las que máximos y mínimos coinciden, interfiriendo constructivamente. Esto explica los nodos y los vientres de las ondas estacionarias.

-¡Ahhh! -dijo Chema-, ahora entiendo algunas cosas que decían los profes en el conservatorio.

-Me alegro, Chema -dijo la profesora sonriendo-. Cómo véis, el sonido y la física tienen mucho que ver. Pero para que os pudiera contar más os tendríais que haber cogido física, no solo química. A ti Chema sí te podré seguir contando en clase de física- dijo la profesora guiñándole un ojo.

Los demás alumnos se rieron, soltando alguna frase irónica sobre cuánto les apenaba no haber cogido física. Aunque la profesora sabía que en el fondo la explicación les había interesado.

-Como véis -continuó la profesora-, para caracterizar el estado de vibración de una cuerda fija por los extremos solo necesitamos decir un número, que nos dirá en qué armónico estamos. Eso si suponemos el resto de parámetros (longitud, tensión y densidad de la cuerda) conocidos, claro. Esto contrasta un poco con lo que habéis estudiado hasta ahora, de planos inclinados o tiros parabólicos, donde las variables que definían al sistema tomaban valores continuos. En este caso, se dice que el estado vibracional de la cuerda está cuantizado.

>>Y ahora viene la segunda pregunta interesante: si para un sistema unidimensional como lo es una cuerda vibrando necesitaba un único número, ¿cuántos necesitaré para un sistema bidimensional, como la piel de un tambor vibrando?

-¿Dos? -dijo Edu, participando por primera vez en la clase.

-¡Eso es! El estado de vibración de una membrana queda caracterizado por únicamente dos números. Por ejemplo, algunos modos vibracionales de un tambor son los siguientes.

La profesora procedió a buscar en google alguna imagen que ejemplificara lo que hablaban y la mandó al proyector para que la viera toda la clase.

-Pero profe -la interrumpió Guille-, si las vibraciones de una membrana también están cuantizadas, ¿por qué la flauta o el violín suenan bien, pero el tambor solo hace ruido?

-Guau -se sorprendió la profesora-, esa pregunta es muy buena. Es un poquito más largo de explicar, así que os dejaré en el aula virtual un vídeo donde se explica.

Con lo dicho, la profesora creía que el punto había quedado claro y podían pasar ya a la cuántica.

La hipótesis de De Broglie

-Con esto creo que ya podemos pasar a hablar de números cuánticos. ¿Alguien se acuerda de lo que hablamos la clase anterior sobre la hipótesis de De Broglie? -preguntó la profesora.

-¿No era eso de que si la luz podía tener comportamiento de partícula siendo una onda, quizá las partículas normales podían tener comportamiento de onda? -dijo Josema.

-Precisamente. En concreto, por una serie de razonamientos que tenían sentido en la época, propuso que la longitud de onda de las partículas se relacionaría con el momento lineal p (recordad que es igual a mv) como:

    \[ \lambda=\dfrac{h}{p} \]

con h la constante que ya nos apareció estudiando el efecto fotoeléctrico y la radiación de cuerpo negro -dijo la profesora, escribiendo un par de fórmulas en la pizarra.

-¿La constante de Planck, no profe? -preguntó Irene.

-Eso es, la constante de Planck. Hoy me estáis sorprendiendo -dijo la profesora, no pudiendo evitar sonreir.

-Ahora pongámonos en situación -pidió la profesora a la clase-. Si De Broglie hizo entender a la comunidad científica que los electrones se comportaban como ondas, y los electrones rodean al átomo describiendo órbitas, ¿qué podemos concluir?

La pregunta era difícil, y como tal la clase se sumió en el silencio. La profesora decidió ayudar de nuevo dibujando en la pizarra lo mejor que pudo lo siguiente:

-Mirad lo que he dibujado. Si el electrón tiene que oscilar a lo largo de las órbitas, no vale cualquier forma para su onda. Se debe cumplir que la onda se cierre sobre sí misma, como la de la izquierda. En el caso de la derecha, el electrón interferirá consigo mismo destructivamente y la órbita no será permitida.

Esta explicación vino acompañada de gestos de entendimiento por parte de la mayoría, y la profesora decidió añadir un poquito más.

-En concreto, una órbita de radio r tiene longitud 2\pi r. Si os fijáis en mis dibujos, ahora no es posible cerrar una onda sobre sí misma mediante media longitud de onda, es necesario tener una, dos, tres longitudes de onda… Osea, un número entero de longitudes de onda. Por tanto, en este caso tendríamos que escribir:

    \[2\pi r=n\lambda\]

>>Pero si metemos la expresión que teníamos para la longitud de onda en la fórmula anterior y reordenamos, llegamos a que:

    \[mvr=n\dfrac{h}{2\pi}\]

que es justo la cuantización del momento angular L=mvr que había postulado Bohr.

Josema decidió resumir lo que todos pensaban en el momento haciendo un gesto con las manos como si le estallara la cabeza, emulando el famoso meme, a lo que todos rieron.

-Bueno, entiendo la indirecta, me he pasado -dijo la profesora-. Solo quiero que veáis cómo avanza la ciencia: Bohr tenía que postular, sin saber por qué, que las órbitas debían tener el momento angular cuantizado para explicar que los átomos fueran estables. En cambio desde el punto de vista ondulatorio, no es necesario postular nada, pues el propio modelo te lo da. Y como el modelo está de acuerdo con los experimentos, donde se ven electrones difractándose, pues es preferible seguir por aquí y aparcar a un lado las ideas de Bohr, ya que ambas llegarán al mismo lado y las de De Broglie parecen más prometedoras.

-Vale profe -dijo Alex, participando por primera vez en la clase-, pero aquí seguimos teniendo una onda a lo largo de una línea, ¿no? ¿Eso no sería un único número necesario para describir al electrón? En cursos pasados me suena que nos contaban que habían hasta cuatro.

La sofistificación de Schrödinger

-Genial apunte, Alex -dijo la profesora-. Precisamente, a los pocos años se vio que la vida no era tan sencilla. Aunque imagino que lo que os he contado hasta ahora tampoco parece merecer dicho adjetivo. El caso es que se entendió que la naturaleza imponía un límite a la precisión con la que podemos medir la posición o el momento de las partículas. Cuanto más precisos queramos ser midiendo la posición, menos podremos serlo midiendo el momento y viceversa. Esto se conoce como principio de indeterminación de Heisenberg:

    \[\Delta x \Delta p \ge \dfrac{h}{2\pi}\]

>> Esta idea permite abordar el estudio del átomo con otra perspectiva, pues no podemos pretender confinar a los electrones en órbitas, ya que conoceríamos su posición, lo que implicaría que la indeterminación en su momento crecería y les impediría seguir confinados. De igual manera, esta «agitación cuántica» es la que impide que el movimiento de la materia cese al enfriarla al cero absoluto, pues al localizar su posición, su momento (y por tanto su energía cinética) crece, haciendo que aún quede un remanente vibracional cuántico. Esto por ejemplo hace que el Helio nunca se congele: ni si quiera a 0 K es sólido. Otro día hablaremos un poquito más sobre este principio, hoy quedaos únicamente con estas pinceladas.

La profesora hizo una pausa, dejando que asimilasen un poco lo dicho antes de preguntar:

-A la luz de este principio, ¿creéis que tiene sentido que las órbitas sean planas? Reformulo la pregunta: ¿cuál es la componente de la velocidad de la Tierra en su órbita perpendicular al plano de la misma?

-¿No tiene, no?-dijo Irene para sorpresa de la profesora, pues la pregunta se las traía.

-¿Eso no quiere decir que sabemos con seguridad la velocidad en un supuesto eje z perpendicular al plano de la órbita? Pero para el electrón, ¿podemos saber con seguridad su velocidad?

-Ahhh -dijo Irene-, no, no podemos, pues entonces no sabríamos nada acerca de su posición.

-¡Eso es!- exclamó la profesora-. ¿Lo habéis entendido todos? Si los electrones estuvieran confinados a un plano, conoceríamos su velocidad (luego también su momento) perpendicular al mismo, pero eso es imposible porque entonces su posición estaría indeterminada haciéndoles salirse del plano. Los electrones deben estar esparcidos en las tres dimensiones para que se cumpla el principio de indeterminación.

>>Y ahora os pregunto de nuevo: en una dimensión, una onda estacionaria necesitaba un «número cuántico». En dos, necesitábamos dos. ¿Y en tres?

Muchas voces respondieron a la vez que tres (aunque también escuchó la profesora alguna que otra barbaridad, como cinco, diez, e incluso pi).

-Precisamente -continuó la profesora- fue el físico Erwin Schrödinger quien encontró la manera de describir a los electrones de manera tridimensional en torno al núcleo del átomo. Su formulación, llamada mecánica ondulatoria, le satisfizo mucho, pues recuperaba ciertos aspectos clásicos, en el sentido de que los números enteros necesarios para describir a los electrones surgían de manera natural al resolver las ecuaciones, como pasaba con las ondas del violín o del tambor.

-Pero…-interrumpió Edu-, ¿siguen siendo ondas? ¿Cómo imaginar una onda en tres dimensiones?

-Ondas en tres dimensiones son las que te permiten oírme ahora mismo, Edu. Pero sí, tu pregunta es lícita, pues de hecho los electrones no son ondas. Ni tampoco bolitas de materia. Los físicos de los años veinte del siglo anterior se dieron cuenta de que para describir el nuevo mundo cuántico que estaban descubriendo su «vocabulario clásico» no les servía de mucho. ¿Para qué intentar hablar de trayectorias u órbitas si el principio de indeterminación nos impide medirlas?

>>Con esta nueva física probabilística, la palabra onda se sustituyó por la de función de onda (o incluso amplitud de probabilidad), que es el objeto que se encuentra cuando se resuelve la ecuación que Schrödinger descubrió. Por su parte, la palabra órbita se destierra en favor de orbital, que es el nombre de la función de onda cuando la ecuación de Schrödinger se resuelve en un átomo.

Mientras contestaba, la profesora fue escribiendo en la pizarra la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno, que tanto le había maravillado resolver en la carrera al ver cómo la magia de los números cuánticos se reducía a física y matemáticas. Esperaba que con la clase de hoy consiguiera parte de lo mismo en sus alumnos.

    \[\left(-\dfrac{\hbar}{2m} \nabla^2+U(\vec r)\right)\psi(\vec r)=E\psi(\vec r)\]

-Por tanto-continuó la profesora-, al entender que los electrones deben esparcirse en tres dimensiones y aun así querer confinarlos al átomo, vemos que es necesario tener tres números enteros, llamados números cuánticos, para poder describir su estado.

>>Tenéis que comenzar desde ya a borrar de vuestras cabecitas el modelo planetario del átomo. En su lugar, acostumbraos a pensar en los átomos como un núcleo positivo, con protones y neutrones, y los electrones distribuidos tridimensionalmente alrededor del mismo en nubes de probabilidad, conocidas como orbitales. Estos orbitales se extienden por todo el espacio, pues el electrón siempre tiene cierta probabilidad de estar en un punto dado, no importa cómo de alejado del átomo esté. Aun así, los orbitales tienen ciertas formas debido a que las probabilidades son más altas en unas zonas que en otras, y tener unos números cuánticos u otros cambia dicha forma. Quizá lo mejor es que terminemos la clase viendo un vídeo de Quantum Fracture al respecto.

-Pero profe-preguntó Guille-, antes de ver el vídeo una pregunta. Otros años nos han contado que los números cuánticos eran cuatro, y hoy hemos razonado que deben ser tres.

-Eso no es una pregunta, sino una afirmación -contestó tajante la profesora, ante la cara de incredulidad de Guille-. Es broma -se apresuró a añadir-. De hecho, el apunte es muy bueno. Ya tardábais en caer.

>>Sí, para describir a los electrones son necesarios cuatro números cuánticos. Hoy solo quería haceros ver que no es tan raro que sean necesarios tres números enteros para describir el estado de los electrones. Mañana hablaremos de qué significa cada uno de estos números enteros y qué valores pueden tener, además de porqué se vio que era necesario un cuarto número llamado espín. Pero ahora, antes de que termine la clase, vamos a ver el vídeo.

La profesora buscó rápidamente en YouTube el vídeo que tenía pensado y lo proyectó:


Acabando la ESO y empezando el Bachillerato, los pocos ejemplos que tienen los estudiantes en mente de sistemas físicos se reducen a tiros parabólicos, planos inclinados, y poquito más. En estos, las variables son continuas: velocidades, ángulos, distancias… En química tampoco mejora la cosa: cantidad de reactivo y producto, molaridad, presión, volumen…

Por eso es normal que cuando se introducen los números cuánticos cause estupor. Al menos en las mentes de aquellos que quieren entender lo que se les presenta, y no meramente memorizarlo. Y es que, ¿por qué, si en todos los ejemplos hasta ahora las variables que especifican el estado del sistema son continuas, para los electrones han de ser discretas?

Dejando de lado si es útil presentarles fundamentos de física cuántica a estudiantes que aun no entienden las leyes de Newton, con esta fishistoria he intentado transmitir que no es tan raro que el estado de los electrones en los átomos esté cuantizado, y que precisamente hagan falta tres (+1) números cuánticos.

Espero que os haya gustado =)

7 comentarios en “¿Son tan raros los números cuánticos?”

  1. Historia divertida y no parece descabellado hacer algo así como una introducción en una clase real.

    Pero el Chema ese es un repipi.

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  2. Gracias Adrián. Un placer leerte, como siempre.
    Un comentario: no has mencionado nada de que en la ecuación de la función de onda aparecen números complejos. No podría ser buen momento también de introducirlos para que se vea para que sirven? O al menos de que son necesarios y que están en la Naturaleza?
    Aunque ahora que caigo igual en el temario de ahora no se dan…
    Hala, te dejo como reto pensar como introducir los números complejos en el capítulo II de esta fishistoria.
    Gracias!!

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    • Muchas gracias Roberto.

      No lo he mencionado, cierto. Tenía en mente la típica clase de química de segundo de bachillerato, cuando ya se han dejado la física, y lo interesante (más que que entiendan el formalismo matemático) es que se hagan una idea intuitiva y destierren falsos mitos. Los números complejos sí se estudian en bachillerato (en primero de bachillerato en concreto). Que la función de onda sea un número complejo ya lo introduje en esta entrada, pero no como una necesidad sino como una conveniencia. Sería interesante ver cómo se puede introducir en bachillerato ese aspecto para que quede «natural». Me apunto el reto.

      Un gran saludo Roberto.

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  3. Buen artículo Adrián, una cosa corrige el LaTeX, por ejemplo en el Teorema de Indeterminación de Heisenberg dice \ge y debería decir \geq
    La otra fórmula que hay más abajo, tampoco se ve.
    Saludos.

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