En este tema estudiaremos los fundamentos del estudio del movimiento. Haremos un breve repaso a su estudio en la historia, nos detendremos a desarrollar los elementos necesarios para su descripción y analizaremos los movimientos de especial interés en física. Finalmente, desglosaremos algunos métodos para el estudio experimental del movimiento, con el foco puesto en que los alumnos puedan llevarlos a cabo.

Cinemática

La mecánica es la rama de la física que estudia el movimiento y sus causas. Podemos dividirla pues en cinemática, consistente en el estudio de los movimientos, y dinámica, dedicada al estudio de las causas. En este tema nos ocuparemos de la primera.

Aunque habría de esperar hasta el siglo XVII para que Newton sentara las bases de la mecánica, la cinemática (quizá por su menor complejidad) había sido estudiada con acierto los siglos anteriores. Aristóteles había planteado una física teleológica, donde todo movimiento estaba orientado a un fin (los graves caen porque su lugar natural es el suelo, los leves ascienden porque su lugar natural es el cielo), pero distaba de ser una descripción satisfactoria de los movimientos (pues tampoco era su intención).

De las críticas a la física Aristotélica surgieron conceptos interesantes. Ya en el siglo VI d.C. vemos aportaciones como la de Juan Filopono, que desarrolló en parte el concepto de fuerza impresa o impetú (precursor del momento lineal), describió correctamente que la composición de dos movimientos perpendiculares uniformes resultaban en uno oblicuo y descartó que la velocidad de caída de los cuerpos dependiera del peso, en base a observaciones.

Ya en el siglo XIV destacan los mertonianos, un grupo de matemáticos asociados al Merton College de Oxford, que introdujeron las ideas de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, velocidad y velocidad instantánea, e incluso demostraron teoremas como el teorema de la velocidad media, que dice que el espacio recorrido en un MRUA es igual al recorrido en el mismo tiempo en un MRU a velocidad media entre las velocidades inicial y final del MRUA. También destaca Nicolás Oresme, quien lo demostró de manera gráfica (no es más que el teorema del valor medio integral), y cuyos razonamientos gráficos influirían a nuestro siguiente hombre en la historia, Galileo Galilei.

Galileo descubrió que todos los cuerpos caen a la misma velocidad, independientemente de su masa y naturaleza. En concreto, encontró que la distancia recorrida en un movimiento uniformemente acelerado se relaciona con el tiempo como $d=at^2/2$ como veremos en este tema.

Aun así, estos estudios empíricos carecían del formalismo necesario para estar libres de paradojas, como las planteadas por Zenon. Fue Isaac Newton (y paralelamente Leibniz) quien, con la introducción del cálculo infinitesimal, aportó las herramientas necesarias para una descripción adecuada del movimiento, además de sentar las bases de la dinámica.

Volviendo a nuestro estudio sobre el movimiento, fijémonos que aunque este puede llegar a ser bastante complejo, siempre podremos tratarlo como composición de movimientos más simples. Por ejemplo, un lanzamiento de un proyectil es la composición de un movimiento uniforme paralelo al suelo y uno de caída libre (acelerado) dirigido al suelo. Un movimiento helicoidal como el de un electrón en un campo magnético se puede ver como uno circular compuesto con uno de traslación uniforme perpendicular. En general, para cuerpos extensos usaremos la aproximación de punto material: representaremos al cuerpo por un punto en el espacio, despreocupándonos de sus dimensiones (y por ello es habitual hablar de <<partícula>> al referirnos al cuerpo cuyo movimiento describimos). Esta aproximación será válida dependiendo del problema. Por ejemplo, la Tierra puede considerarse puntual a la hora de estudiar su movimiento en torno al Sol, pero no si queremos estudiar su rotación sobre sí misma.

Fijémonos además que el concepto de movimiento es relativo, y no absoluto. El desplazamiento de un cuerpo y su posición solo tienen sentido en referencia a otros cuerpos. Es por esto que hablaremos de Sistemas de Referencia (SR), entendidos como cuerpos que consideraremos fijos y a los que referiremos los movimientos. Usualmente un SR se caracteriza por un origen ( $O$ ) y tres ejes de coordenadas perpendiculares entre sí ( $X, Y, Z$ ) que pasen por este y estén ligados al cuerpo que consideramos fijo.

Por último, es interesante destacar que aunque el estudio del movimiento pueda ser desligado del estudio de sus causas, y por ello aplicar a movimientos pese a no saber explicar las mismas, en este tema nos ocuparemos del movimientos desde un punto de vista clásico. Esto se refleja en que los movimientos se dan en el espacio tridimensional ( $\mathbb{R}^3$ ), como escenario inmutable, y el tiempo es externo al mismo (luego su naturaleza como coordenada es totalmente distinta a la de las coordenadas espaciales) e igual para todos los SR, fluyendo a la misma velocidad todo el rato hacia el futuro, y la simultaneidad de eventos es común a todos los observadores. Esto no es así en la mecánica relativista, donde el tiempo y el espacio pueden mezclarse y cada observador tiene un tiempo preferente (tiempo propio), y mucho menos en la relatividad general, donde el espaciotiempo deja de ser un escenario inmutable para moldearse a las masas y energías que se encuentran en él.

Elementos para la descripción del movimiento

Para la adecuada descripción de los movimientos es necesario introducir antes los conceptos que barajaremos: posición, velocidad y aceleración.

Vector posición

Dentro de la aproximación de punto material, denominamos vector posición al vector $\vec r(t)$ que nos da la posición del cuerpo cuyo movimiento describimos en el instante $t$ y referido a un SR.

Si utilizamos un sistema de referencia cartesiano, escribiríamos:

(1) $\begin{equation*} \vec r(t)=x(t)\hat i+y(t)\hat j+ z(t)\hat k \end{equation*}$

donde $\hat i, \hat j$ y $\hat k$ son los vectores unitarios según los ejes $X, Y, Z$ respectivamente. Esta ecuación se conoce como ecuación vectorial (u horaria) del movimiento, y en ella vemos lo que ya anticipamos, y es que el movimiento se puede entender como la composición de tres movimientos independendientes en cada eje de coordenadas:

(2) $\begin{equation*} \begin{aligned} x=& x(t) \\ y=& y(t)\\ z=& z(t) \end{aligned} \end{equation*}$

ecuaciones conocidas como ecuaciones paramétricas del movimiento. Si despejamos el parámetro $t$ en estas ecuaciones obtendremos la ecuación de dos superficies

(3) $\begin{equation*} \begin{aligned} F_1(x,y,z)=& 0 \\ F_2(x,y,z)=& 0 \end{aligned} \end{equation*}$

cuya intersección es la trayectoria descrita por la partícula.

Por último, es interesante tener una expresión para el espacio recorrido. Como no es más que la longitud de la trayectoria entre dos instantes de tiempo, será (como para toda curva):

(4) $\begin{equation*} s=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left(\dfrac{d x}{d t}\right)^2+\left(\dfrac{d y}{d t}\right)^2+\left(\dfrac{d z}{d t}\right)^2} \end{equation*}$

Es interesante por último notar que el espacio recorrido no coincide con el desplazamiento, entendido este último como la diferencia entre la posición final y la inicial: $\Delta \vec r=\vec r(t_2)-\vec r(t_1)$ . El desplazamiento es la distancia en línea recta entre ambas posiciones, por lo que siempre será menor o igual que el espacio recorrido, coincidiendo solo para movimientos rectilíneos en los que la velocidad no cambie de sentido.

Velocidad

Otra magnitud interesante a la hora de describir los movimientos es la velocidad, es decir, la rapidez con que la posición de una partícula cambia de posición durante su movimiento.

Se define la velocidad media como el desplazamiento de una partícula entre la duración del mismo:

(5) $\begin{equation*} \langle \vec v\rangle=\dfrac{\Delta \vec r}{\Delta t} \end{equation*}$

La velocidad media es un vector con el mismo sentido que el vector desplazamiento, y sus unidades son en el SI $m/s$ .

Es fácil darse cuenta de que la velocidad media es insuficiente para caracterizar un movimiento arbitrario. Por ejemplo, la velocidad media de un corredor al dar una vuelta completa al circuito es nula, ya que el desplazamiento es cero. Aquí cabe aclarar que, aunque coloquialmente se habla de velocidad, debería hablarse de celeridad media $\langle c\rangle$ , que viene a ser el cociente entre el espacio recorrido $\Delta s$ y el tiempo tardado $\Delta t$ , y que no sería nulo en tal caso.

Para solucionarlo fijémonos que, conforme nos planteemos encontrar la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores, acabaremos por hablar de la velocidad instantánea, es decir, la velocidad que lleva la partícula descrita en el instante $t$ :

(6) $\begin{equation*} \vec v(t)=\lim_{\Delta t\to 0} \dfrac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\dfrac{d\vec r}{d t} \end{equation*}$

En un sistema de coordenadas cartesianes, el vector velocidad se puede expresar en términos de sus componentes como $\vec v(t)=v_x(t)\hat i+v_y(t)\hat j+v_z(t)\hat k=\dot x(t)\hat i+\dot y(t)\hat j+\dot z(t)\hat k$ , y su módulo sería $|\vec v(t)|=\sqrt{v_x^2(t)+v_y^2(t)+v_z^2(t)}$ .

Respecto a la dirección del vector velocidad, es fácil ver gráficamente que debe ser tangente a la trayectoria, por lo que se puede escribir $\vec v= v\hat u_t$ , con $v$ el módulo de la velocidad y $\hat u_t$ un vector unitario tangente a la trayectoria.

Aceleración

De igual manera, es interesante a su vez el estudio de la aceleración, es decir, de la rapidez a la que cambia la velocidad de una partícula.

Se define la aceleración media en un intervalo de tiempo $\Delta t$ como:

(7) $\begin{equation*} \langle a\rangle=\dfrac{\Delta\vec v}{\Delta t} \end{equation*}$

Por su definición, será paralela al cambio del vector velocidad y sus unidades serán $m/s^2$ .

Por razones análogas a las argumentadas en el anterior apartado, es necesario introducir el concepto de aceleración instantánea como:

(8) $\begin{equation*} \vec a=\lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{\Delta\vec v}{\Delta t}=\dfrac{d\vec v(t)}{d t}=\dfrac{d^2\vec r(t)}{d t^2} \end{equation*}$

Puesto que la variación de velocidad se produce en la dirección en que se curva la trayectoria, el vector aceleración apuntará siempre hacia la concavidad de la curva, como hemos mostrado en la figura del apartado anterior.

Es interesante descomponer la aceleración en lo que se conocen como componentes intrínsecas de la misma. Dado que $\vec v=v\hat u_t$ , podemos ver que:

$\vec a=\dfrac{d(v\hat u_t)}{d t}=\dfrac{d v}{d t}\hat u_t +v\dfrac{d u_t}{d t}$

luego la aceleración puede cambiar tanto por el cambio del módulo de la velocidad como de su sentido.

Estudiemos el segundo término. Fijémonos que por ser $\hat u_t$ unitario,

$\hat u_t \cdot \hat u_t =1\rightarrow \dfrac{d(\hat u_t \cdot \hat u_t)}{d t}=2\hat u_t \cdot \dfrac{d\hat u_t}{d t}=0$

Es decir, la derivada de $\hat u_t$ es perpendicular al mismo. Por ello, podemos introducir un vector $\hat u_n$ perpendicular a $\hat u_t$ cuyo sentido sea hacia la concavidad, y escribir:

$\dfrac{d\hat u_t}{d t}=\left|\dfrac{d\hat u_t}{d t}\right|\hat u_n$

Por la regla de la cadena:

(9) $\begin{equation*} \left|\dfrac{d\hat u_t}{d t}\right|\hat u_n=\left|\dfrac{d\hat u_t}{d s}\dfrac{d s}{d t}\right|\hat u_n=\left|\dfrac{d\hat u_t}{d s}\right|v\hat u_n=\dfrac{\left|d\hat u_t\right|}{d s}v\hat u_n \end{equation*}$

por lo que falta calcular $\dfrac{\left|d\hat u_t\right|}{d s}$ . Para ello nos apoyamos en la siguiente figura, donde se muestra a la partícula en dos instantes muy próximos.

Localmente, toda curva puede verse como un arco de circunferencia con radio de curvatura $\rho$ . De la figura, es fácil ver que en el límite en que el segmento de longitud $|\Delta \hat u_t|$ se confunde con el arco, $|\Delta\hat u_t|=|\hat u_t|d \theta=d \theta$ Por otra parte, $d s=\rho d\theta$ , con lo que

$\dfrac{d\hat u_t}{d t}=\dfrac{v}{\rho}\hat u_n$

y finalmente podemos escribir

(10) $\begin{equation*} \vec a=a_t \hat u_t+a_n\hat u_n=\dfrac{d v}{d t} \hat u_t +\dfrac{v^2}{\rho}\hat u_n \end{equation*}$

Como $\hat u_t\perp \hat u_n$ , el módulo se puede encontrar haciendo $|\vec a|=\sqrt{a_t^2+a_n^2}$ .

Es interesante por último hacer una clasificación de los movimientos posibles en función de las componentes intrínsecas de la aceleración:

$a_n= 0\: \text{(rectil\'ineo)} \left\{ \begin{aligned} a_t =& 0 \quad\text{uniforme}\\ a_t =& \text{cte} \quad\text{uniformemente acelerado} \\ a_t \neq& \text{cte} \quad\text{acelerado} \end{aligned} \right.$

$a_t=0\:(v \:\text{constante})\left\{ \begin{aligned} a_n=& \text{cte}\quad\text{circular uniforme}\\ a_n\neq&\text{cte} \quad \text{curvil\'ineo} \end{aligned}\right.$

Determinación de la posición y la velocidad conocida la aceleración

Por último, es interesante realizar el proceso a la inversa, esto es: encontrar la velocidad y la posición en función del tiempo conocida la aceleración. El interés radica en que usualmente en un problema lo que podemos conocer de antemano gracias a un estudio dinámico es la aceleración ( $\sum F/m$ según la segunda ley de Newton) por lo que si queremos obtener el movimiento causado por una fuerza debemos realizar el proceso en este sentido.

De la definición de aceleración, separando variables e integrando:

(11) $\begin{equation*} \dfrac{d \vec v}{d t}=\vec a\rightarrow \vec v(t)=\vec v(t_0)+\int_{t_0}^{t} \vec a(t')d t' \end{equation*}$

con $\vec v(t_0)$ la velocidad en cierto instante, que suponemos conocida. Repitiendo con espacio y velocidad:

(12) $\begin{equation*} \vec r(t)=\vec r(t_0)+\int_{t_0}^t \vec v(t') d t' \end{equation*}$

donde $\vec r(t_0)$ es la posición en cierto instante, que suponemos conocida. La necesidad de conocer dos datos para resolver dos ecuaciones diferenciales procede de los teoremas de unicidad de las ecuaciones diferenciales, que aseguran que en tal caso la solución será única, como esperamos del movimiento conocida la aceleración.

Para finalizar, es interesante darnos cuenta de una relación más que podemos establecer en el caso de un movimiento unidimensional. Como $\frac{d v}{d t}=a$ , usando la regla de la cadena:

$\dfrac{d v}{d x}\dfrac{d x}{d t}=a \to vd v=ad x$

Ecuación que será útil si disponemos de $a=a(x)$ . Por ejemplo, para el caso en que $a=\text{cte}$ , la integración nos devuelve:

(13) $\begin{equation*} v^2-v_0^2=2a(x-x_0) \end{equation*}$

que es una relación muy útil en el estudio de movimientos rectilíneos uniformemente acelerados.

Movimientos de especial interés

En este apartado estudiaremos una serie de movimientos que se podrán clasificar de acuerdo a lo dicho al final del apartado dedicado a la aceleración.

Movimiento rectilíneo uniforme y uniformemente acelerado

Para que el movimiento sea rectilíneo, $a_n=0$ . En tal caso, la aceleración tiene dirección constante por lo que podemos elegir el eje X en su dirección (y el movimiento será sobre este eje) y escribir $a=a_x$ . Debemos resolver pues las ecuaciones 11 y 12 en versión unidimensional.

Si el movimiento es uniforme, $a_x=0$ , con lo que la velocidad será constante y quedará:

(14) $\begin{equation*} \begin{aligned} v =& v_0 \\ x =& x_0+v_0(t-t_0) \end{aligned} \end{equation*}$

que es la ecuación de una línea recta con pendiente $v_0$ .

Si el movimiento es uniformemente acelerado, $a_x=\text{cte}$ , con lo que la integración llevará a:

(15) $\begin{equation*} \begin{aligned} v =& v_0+a(t-t_0) \\ x =& x_0 +v_0(t-t_0)+\dfrac{1}{2}(t-t_0)^2 \end{aligned} \end{equation*}$

En este caso la velocidad varía linealmente con el tiempo y la posición cuadráticamente. Además, eliminando el tiempo entre ambas se llega a la relación ya anticipada (ecuación 15).

Un ejemplo representativo de este movimiento es la caída libre, donde la aceleración es la gravitatoria: $\vec a=\vec g=-9.8\hat j \:m/s$ (eligiendo el eje Y perpendicular el suelo).

Movimiento armónico simple

En la naturaleza es común encontrar fenómenos periódicos (que se repiten en intervalos de tiempo fijos). Si una partícula posee un movimiento periódico en un sentido y en otro sobre la misma trayectoria, decimos que su movimiento es oscilatorio. El péndulo de los relojes de pared o las vibraciones de átomos en sólidos entran en esta categoría.

El movimiento oscilatorio más sencillo es el movimiento armónico simple (MAS), cuya importancia es vital pues cualquier movimiento oscilatorio complejo se puede descomponer como suma de MAS simples (teorema de Fourier). Decimos que una partícula se mueve según un MAS si su posición $x$ respecto al origen de coordenadas está dada en función del tiempo por:

(16) $\begin{equation*} x(t)=A\sin(\omega t+\phi) \end{equation*}$

Analizando las propiedades de la función, vemos que su rango estará entre $-A$ y $A$ , por lo que $A$ recibe el nombre de amplitud. Por otro lado, la periodicidad del seno hace que se repita cada vez que su argumento cambia en $2\pi$ , con lo que el periodo $T$ del movimiento satisface:

$\omega(t+T)+\phi=\omega t+\phi+2\pi$

de donde $T=2\pi/\omega$ . Al argumento del seno se le suele denominar fase, y cuando $t=0$ el argumento es $\phi$ , por lo que esta constante se denomina fase inicial. Finalmente, fijémonos que el periodo simboliza el tiempo que se tarda en una oscilación, por lo que su inversa será el número de oscilaciones en un segundo: $f=1/T$ , y se denomina frecuencia, cuyas unidades son el hercio $Hz=s^{-1}$ . Podemos ver que $f=\omega/2\pi$ , por lo que $\omega$ se interpreta como una frecuencia angular.

Por otro lado, si derivamos (16) para encontrar la velocidad, y ésta para encontrar la aceleración, obtenemos:

(17) $\begin{equation*} \begin{aligned} v(t)=&\dfrac{d x(t)}{d t}=\omega A \cos(\omega t+\phi)\\ a(t)=&\dfrac{d v(t)}{d t}=-\omega^2 A \sin(\omega t+\phi)=-\omega^2 x \end{aligned} \end{equation*}$

de donde observamos que la velocidad y la aceleración también obedecen un MAS (remarquemos que un coseno se puede ver como un seno desfasado). Es interesante notar la última igualdad, $a=-\omega^2 x$ , que es la que caracteriza dinámicamente a un MAS (pues proceden de fuerzas recuperadoras, $F=-kx$ , con lo que $a\propto -x$ ). En la figura siguiente se pueden ver graficadas posición, velocidad y aceleración.

Ya estudiados los movimientos unidimensionales más importantes, podemos estudiar los movimientos bidimensionales más característicos.

Movimiento de proyectiles

Se entiende por proyectil todo objeto lanzado en las cercanías de la superficie terrestre, por lo que se mueve bajo los efectos de la gravedad, que supondremos aproximadamente constante.

Para estudiar este movimiento, seguiremos el esquema de la figura superior. Los ejes se eligen con origen en la superficie terrestre, siendo el eje Y perpendicular a la misma y el eje X según ella. Dado que la gravedad es $\vec g=-g\hat j$ , los proyectiles seguirán un MRUA en el eje Y y un MRU en el eje X (ya que no sufren fuerzas en este eje, pues no consideramos rozamiento). El lanzamiento del proyectil puede ser desde una altura inicial $y_0$ (suponemos $x_0=0$ eligiendo los ejes adecuadamente)e, con una velocidad $\vec v_0$ que forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal, por lo que debemos descomponerla en sus componentes cartesianas: $v_{0x}=v_0 \cos\alpha$ , $v_{0y}=v_0\sin\alpha$ .

Como ya hemos dicho, $a_x=0$ y $a_y=-g$ , con lo que integrando las ecuaciones 11 y 12 obtenemos:

(18) $\begin{equation*} \begin{aligned} \vec r(t)=&(v_0\cos\alpha t)\hat i + (y_0+v_0\sin\alpha t-\dfrac{1}{2}gt^2)\hat j \\ \vec v(t)=& v_0\cos\alpha \hat i + (v_0\sin\alpha-gt)\hat j \end{aligned} \end{equation*}$

que constituyen las ecuaciones vectoriales del movimiento. Despejando $t$ entre ambas podemos obtener la ecuación de la trayectoria:

(19) $\begin{equation*} y(x)=y_0+\tan\alpha x-\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha} x^2 \end{equation*}$

que es la ecuación de una parábola.

Es interesante estudiar además dos puntos de la trayectoria: la altura máxima y el alcance. La altura máxima se alcanza cuando $v_y=0$ , por lo que se alcanza para $t=v_0\sin\alpha /g$ , con lo que la altura vale:

(20) $\begin{equation*} y_{\text{max}}=y_0+\dfrac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g} \end{equation*}$

Por otro lado, el alcance es el punto de impacto con el suelo (eje X) $x_f$ , donde la altura es nula $y=0$ . Si por facilidad suponemos $y_0=0$ (de lo contrario el problema es bastante más complicado), vemos que el tiempo que tarda el proyectil en impactar con el suelo es:

$t_ {\text{impacto}}=\dfrac{2 v_0 \sin\alpha}{g}$

Sustituyendo en la componente x de $\vec r(t)$ , el alcance será:

(21) $\begin{equation*} x_f=v_0\cos\alpha \dfrac{2 v_0\sin\alpha}{g}=\dfrac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} \end{equation*}$

donde se ha usado la razón trigonométrica del ángulo doble para el seno: $sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$ .

Es interesante notar que el alcance es máximo cuando $sin(2\alpha)=1$ , lo que ocurre para $\alpha=\pi/4$ . La periodicidad (y simetría en torno al máximo) del seno implica que respecto al máximo, los ángulos de lanzamiento $\pi/4\pm \alpha$ tendrán alcances iguales.

Movimientos circulares

Una partícula describe un movimiento circular si su trayectoria es una circunferencia. Como $\vec v$ siempre es tangente a la trayectoria, en los movimientos circulares $\vec v\perp\vec r$ (y $\vec r=R\hat u_r$ ). Lo que nos interesa es estudiar entonces el ángulo girado por la partícula en función del tiempo y relacionar las magnitudes lineales con las angulares. Para ello nos apoyamos en la siguiente figura:

El módulo de la velocidad será $v=d s/d t$ , y como $d s=Rd\theta$ , obtenemos:

$v=R\dfrac{d \theta}{d t}$

Podemos interpretar $\frac{d\theta}{d t}$ como una velocidad angular $\omega$ , es decir, la velocidad a que la partícula barre ángulos, cuyas unidades serán $rad/s\equiv Hz$ (ya que los radianes no son una unidad). Por convención, se le asocia un vector $\vec{\omega}$ perpendicular al plano de movimiento y con el sentido al que apunta el pulgar al girar la mano derecha en el sentido del movimiento (regla de la mano derecha). Esto hace que podamos escribir vectorialmente $\vec v=\vec \omega\times\vec r$ , con $\vec r$ el vector posición de la partícula, pero a efectos prácticos elegiremos el origen de coordenadas de manera que sea el centro de la circunferencia, por lo que dicha relación será usada en módulo como $v=\omega R$ .

De forma análoga a como definimos la aceleración lineal, podemos definir una aceleración angular $\alpha$ como

(22) $\begin{equation*} \alpha=\dfrac{d \omega}{d t}=\dfrac{d^2\theta}{d t^2} \end{equation*}$

que sería la rapidez con que cambia la velocidad angular, y sus unidades son $rad/s^2$ . Podemos relacionarla con la aceleración lineal como sigue:

(23) $\begin{equation*} \begin{aligned} a_t=& \dfrac{d v}{d t}=R\dfrac{d \omega}{d t}=R\alpha \\ a_n=& \dfrac{v^2}{R}=\omega^2 R \end{aligned} \end{equation*}$

Si ahora recorremos el camino a la inversa, podemos encontrar la velocidad angular y el ángulo barrido mediante integración:

(24) $\begin{equation*} \begin{aligned} \omega(t)=&\omega(t_0)+\int_{t_0}^t \alpha(t')d t' \\ \theta(t)=&\theta(t_0)+\int_{t_0}^t \omega(t')d t' \end{aligned} \end{equation*}$

En el caso en que $\alpha=0$ tendríamos un movimiento circular uniforme, MCU, con $\omega=cte$ y $\theta=\theta_0+\omega (t-t_0)$ (análogo al MRU) y en el caso en que $\alpha=cte$ tendríamos un movimiento circular uniformemente acelerado, MCUA, con $\omega=\omega_0+\alpha (t-t_0)$ y $\theta=\theta_0+\omega_0 (t-t_0)+\frac{1}{2}\alpha (t-t_0)^2$ , análogo al MRUA. Además, despejando $t$ entre ambas obtendríamos $\omega^2-\omega_0^2=2\alpha\Delta\theta$ . Fijémonos que un movimiento circular, aunque uniforme, siempre es acelerado ya que la velocidad ha de cambiar de dirección aunque no cambie su módulo.

Por último, es interesante notar un paralelismo entre el MCU y el MAS, y es que la proyección sobre uno de los ejes de un MCU es un MAS. Esto se debe a que pese a que el MCU no es un movimiento oscilatorio, sí es periódico, por eso tiene sentido hablar de un periodo $T$ (tiempo que tarda en dar una vuelta) y con el que la velocidad angular (ahora velocidad en lugar de frecuencia como en el MAS) sería $\omega=2\pi/T$ .

Métodos para el estudio experimental del movimiento

Al final, la física es una ciencia experimental, y es interesante estudiar con datos el movimiento y analizarlo, por lo que en esta sección mencionaremos algunos métodos que se pueden usar en prácticas de laboratorio o en el estudio de la cinemática.

Métodos manuales

Aquí entrarían todos aquellos experimentos que hacen uso de los elementos más simples de medición, como cronómetros y reglas graduadas.

Para facilitar la medición (ya que por ejemplo para medir el tiempo debemos tener en cuenta el tiempo de reacción), en lugar de estudiar por ejemplo la caída libre, se puede estudiar la caída de bolas y cilindros por planos inclinados, tal y como hizo Galileo, que permitirá tomar más datos al ocurrir más lentamente. Debido a las fuentes de errores presentes, en este caso sería interesante que el alumno trabajase el análisis de errores (detecte los errores sistemáticos que pueda tener, parametrice el tiempo de reacción para tenerlo en cuenta, etc.).

Métodos fotográficos

Dado que las medidas manuales dejan de ser fiables en cuanto el movimiento ocurre en un periodo corto de tiempo, es interesante recurrir a métodos fotográficos. Incluso aunque el tiempo durante el cual el movimiento tiene lugar sea largo, como en un tiro oblicuo, la dificultad de lidiar con movimientos curvilíneos invita a rechazar los métodos manuales.

Una buena opción serían entonces los métodos fotográficos. Por ejemplo, años ha se utilizaba un estroboscopio, es decir, una cámara que podía tomar muchas fotos sucesivas y superponerlas. Así se obtenía una composición del movimiento con la que medir, muy útil en el estudio de movimientos de proyectiles.

Hoy día, con móviles a disposición de cualquier alumno, lo mejor sería aprovechar alguna herramienta informática (como el programa Tracker que permite realizar medidas físicas en base a un vídeo de un fenómeno.

Métodos automáticos

Por métodos automáticos entendemos aquellos que utilizan dispositivos electrónicos para la medida del tiempo, acompañado de otros dispositivos que permiten accionar o detener el medidor de tiempo para así no depender del experimentador, que introduciría errores sistemáticos por su tiempo de reacción.

Por ejemplo, un experimento interesante podría ser estudiar la caída libre mediante el siguiente arreglo: se dispone una vara vertical reglada en la que una bola pende sujeta por un electroimán, alimentado por un circuito. Cuando la corriente del circuito se interrumpla, se accionará un medidor de tiempo y la bola comenzará a caer. Al llegar al suelo, golpearía un interrumptor que volvería a cerrar el circuito, deteniendo el cronómetro. Con esto habríamos medido el tiempo que tarda la bola en caer una altura dada con mucha mayor precisión que en los anteriores métodos, al eliminar cualquier factor humano.

Otra opción interesante de cara a implementarla en un laboratorio de instituto es usar el mando de la wii, que registra datos que se pueden almacenar en un USB para que los alumnos los analicen con un programa informático tipo Excel. Para ello, se incorpora a un objeto un led ya que el mando de la wii registra la posición del led, y se puede estudiar por ejemplo su caída, o el movimiento de un péndulo.

O por ejemplo, la aplicación Physicstoolbox, que permite registrar los datos de los sensores del teléfono (acelerómetro, brujula, etc). Una práctica interesante sería estudiar la caída libre del teléfono.

Conclusión

En este tema hemos desarrollado los aspectos básicos del estudio del movimiento. Hemos visto las herramientas necesarias para describirlo y hemos estudiado los movimientos de especial interés en física, ya que por composición de los mismos podemos estudiar cualquier movimiento más complejo. Además, hemos resumido algunos métodos para el estudio experimental del movimiento con foco a ser desarrollados por alumnos.

Cinemática. Elementos para la descripción del movimiento. Movimientos de especial interés. Métodos para el estudio experimental del movimiento.