Tras un arduo día de trabajo, coges tu coche para volver a casa. Tienes que salir a carretera, y tras diez minutos conduciendo sin pensar demasiado, escuchas una sirena y ves que detrás tienes a un coche de la policía haciéndote señas para que te detengas a un lado.
Cuando el policía se acerca, bajas el cristal de la ventanilla, y preguntas tímidamente:
– ¿Ocurre algo, agente?
– Iba a cien kilómetros por hora en una carretera de noventa, señor.
Tú, que te saltaste las clases de física de bachillerato, respondes poniendo tu mejor cara de inocente:
– Agente, ¿cómo puede saber que iba a cien kilómetros por hora si solo he conducido durante diez minutos?
Esta pregunta hoy en día puede parecer una tontería, pues estamos muy acostumbrados a que el coche nos dice la velocidad a la que vamos en cada momento. Pero no es una cuestión trivial. Si fueras el agente, ¿cómo responderías?
Este problema tiene que ver con que definir el concepto de movimiento (o más precisamente, el de velocidad) no es tan sencillo. De hecho, a los griegos les llevaba de cabeza, llegando incluso a afirmar su imposibilidad. Zenón de Elea lo plasmó con el siguiente problema:
| Supongamos que Aquiles se echa una carrera contra una tortuga que solo es capaz de correr a una décima parte de la velocidad del portentoso héroe. Por ello, se pacta que la tortuga salga con una ventaja de cien metros. Comienza la carrera y, cuando Aquiles recorre 100 m, la tortuga ya habrá recorrido 10 m, encontrándose a 110 m del punto de salida. Cuando Aquiles recorra esos diez metros que los separan, la tortuga ya estará a 111 m del punto de salida. Cuando Aquiles recorra el siguiente metro, la tortuga recorrerá 10 cm, y así sucesivamente. |
Podemos seguir este razonamiento de manera indefinida, por lo que Aquiles siempre se encontrará por detrás de la tortuga, razona Zenón. ¿O no?
Pues no.
Aunque, visto de este modo, Aquiles tenga que recorrer infinitas distancias para alcanzar a la tortuga, podrá hacerlo ya que estas son cada vez más pequeñas y además esto ocurre de manera suficientemente rápida. De igual manera que la suma infinita 
es infinita (no converge), la suma infinita 
es perfectamente finita.
Si te es difícil ver cómo una suma infinita puede dar un resultado finito haz el siguiente experimento. Coge un folio de papel y divídelo por la mitad. Ahora divide por la mitad una de las mitades, quedándote 
del folio. Ahora divide este cuarto a su vez por la mitad, obteniendo 
. Si sigues indefinidamente, estás demostrando que la suma infinita converge a 1 (el folio entero).
Podemos intentar ver en qué punto se alcanzarán viendo a qué converge la sucesión de distancias recorridas por cada uno. Organizándolo en una tabla, quedaría:
| Cuando Aquiles llegue al metro… | La tortuga estará en el metro… |
| 0 | 100 |
| 100 | 110 |
| 110 | 111 |
| 111 | 111,1 |
| 111,1 | 111,11 |
| … | … |
Si seguimos, vemos que la distancia recorrida por ambos tiende a un número finito: 111,111… (aunque su expresión decimal sea infinita, es el número 1000/9).
Ejercicio: si te aburres, demuestra con las ecuaciones del MRU que si Aquiles es 10 veces más rápido que la tortuga pero le deja a esta cien metros de ventaja se encontrarán en el metro 111,11…
Volviendo a la pregunta suscitada al policía, podríamos responder: si usted siguiera una hora circulando de esa manera, recorrería cien kilómetros. Pero claro, sería muy fácil responder a esto que si siguiéramos circulando durante una hora de la misma manera acabaríamos muertos, por lo que eso no ocurriría.
El problema aquí es que nuestra manera de entender la velocidad es como la distancia que recorremos en cierta cantidad finita de tiempo. Pero eso no es la velocidad en un instante, si no la velocidad media. Si queremos definir la velocidad en un instante, volvemos al problema de tener que partir el espacio (y el tiempo) de manera infinita.
Por ejemplo, podríamos decir que si siguiera a dicha velocidad durante 1 s recorrería 27,78 m. Pero claro, ni siquiera haría falta que siguiera un segundo (¿y si se encuentra un obstáculo y frena?). Va, pues lo partimos más. Pero, ¿cuánto es suficiente?
La respuesta está en el cálculo infinitesimal.
Probemos pues un enfoque abstracto, que no dependa de números concretos (aunque siempre podamos volver a ellos). Diríamos así que la velocidad es la distancia recorrida en cierta cantidad de tiempo entre el tiempo empleado cuando este tiempo se hace cada vez más pequeño (infinitamente pequeño, de ahí lo de cálculo infinitesimal).
Y precisamente, esta última frase es la definición de límite en matemáticas:
![\[v=\lim_{\Delta t\to 0} \dfrac{\Delta x}{\Delta t}\]](https://fisicatabu.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3ee37059c1d227e186b68cab49fb43ac_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Y, en concreto, un límite así escrito es una derivada: lo rápido que cambia una función en un entorno infinitesimal de un punto (en lugar de en un intervalo finito, que sería la velocidad media). Es más fácil de hacer de lo que parece, para muestra un botón.
Cuando un objeto cae, el primer segundo recorre aproximadamente 5 m. Tras dos segundos, ya habrá caído 20 m, tras tres 45 m… Para este caso particular, sencillo de modelar por su universalidad, vemos que la distancia recorrida se puede expresar en función del tiempo como
![\[x=5t^2\]](https://fisicatabu.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5ec8f0134c63522e4042a134404f4639_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
(los duchos en física verán que esto es aproximadamente 
)
Si queremos saber la velocidad en cierto instante concreto de la caída, no hay más que evaluar cuánto cae en el siguiente infinitésimo de tiempo 
y dividirlo por este. Si en 
la posición es 
, en 
será:
![\[x(t_0 +\Delta t)=5(t_0+\Delta t)^2 =5t_0^2+10t_0\Delta t+5\Delta t^2\]](https://fisicatabu.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5ba0bca489aea0e6dc74d2cb214225db_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Si restamos para obtener 
:
![\[\Delta x=x(t_0 +\Delta t)-x(t_0)=10t_0 \Delta t+5\Delta t^2\]](https://fisicatabu.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c6b9467d631cfb2de81f157c0ff174e6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dividiendo entre el tiempo empleado:
![\[\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=10t_0 + 5\Delta t\]](https://fisicatabu.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ecf56b4e63f35063b4976cb1a669b4f6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ahora, si es todo lo pequeño que queramos (a efectos prácticos, es cero):
![\[v=\lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=10t_0\]](https://fisicatabu.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7866f3bd637aa9979f6dd47e51999a2a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
¡Voilà! La velocidad nos sale 
. Por ejemplo, si hemos caído durante 3 segundos, la velocidad es de 
metros por segundo.
Puedes probar que también funciona con números. La velocidad en el tercer segundo se podría estimar como el espacio recorrido durante la siguiente centésima de segundo entre dicho tiempo. O, si quieres ser todavía más preciso, puedes partir aun más el tiempo (milésima, millonésima, etc.). Probemos con centésima. En el tercer segundo, la distancia caída desde el reposo por un objeto será:
![\[x(3\:s)=5\cdot 3^2 =45\:m\]](https://fisicatabu.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bb638cdf5c7297e0bd2297d3bb58b4ed_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Tras una centésima de segundo, estará en:
![\[x(3,01\:s)=5\cdot 3,01^2=45,3005\:m\]](https://fisicatabu.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-892d7f3f675321845a576329cf293ba4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Si restamos y dividimos entre el tiempo empleado:
![\[v=\dfrac{45,3005\:m-45\:m}{0,01\:s}=30.05\:m/s\]](https://fisicatabu.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-371d9fd6af8a5b055aba22960e1ba1ca_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Como ves, cometemos un error minúsculo respecto al valor exacto.
Esta manera de resolver la paradoja de Zenón, o el problema del agente de policía, tiene que ver con la ya mencionada rama de las matemáticas del cálculo infinitesimal, rama que Isaac Newton inventó durante un confinamiento por la peste negra (lo que nos deja en mal lugar a todos aquellos que nos pasamos nuestro confinamiento devorando series en Netflix). Gracias a este podemos lidiar con cantidades infinitamente pequeñas y sumas infinitas de estas y aun así llegar a resultados finitos.
Pero profundizar en ello es materia para otra entrada 😛
Muy interesante, y me alegra que vuelvas a escribir, Adrián!
Contra Zenón se levantó Leucipo-Demócrito. Dijeron que la división infinita es un absurdo y que la iteración de cortes o repeticiones nos lleva a puntos indivisibles, que en griego se llamaron «átomos».
Sin embargo la idea de átomo, o punto indivisible, no elimina los problemas. Para llegar al átomo hay que dividir una distancia continua. Una distancia es el espacio que hay entre dos puntos, que de por sí son atómicos. Y al dividir una distancia se generan dos puntos más, es decir, otra distancia menor. La cuestión, entonces, es: haciendo cortes ¿cuándo pasamos de 1 dimensión (una distancia) a 0 dimensiones (un punto atómico, que por sí mismo siempre es adimensional)? Eso no lo cuenta ni Demócrito ni tampoco Newton.
Y es que, visto así, el cálculo infinitesimal, que fantasea con la existencia de infinitesimales (átomos), parece ser, al menos «cualitativamente» hablando, la solución geométrica que ya dieron Leucepo-Demócrito. Lo que pasa es que hemos perdido los textos, y los pocos fragmentos que nos han llegado son meramente divulgativos.
Con el monsruo de Cantor vuelve a surgir este dilema, pero desde otra perspectiva.
Por cierto, la idea de velociodad siempre me ha parecido un mito, un constructo humano artificial. Podemos fantasear con que el cálculo infinitesimal nos da la velocidad instantánea en un momento dado, pero eso es meramente teórico, es decir, imaginario. Ahora bien nos resulta muy útil.
Un saludo!!!
Curiosamente hoy he encontrado este apunte:
«El matemático David Gregory daba cuenta de una conversación con Newton en Mayo de 1694 en la que Newton decía: ”La filosofía de Epicuro y Lucrecio es verdadera y antigua, pero fue erróneamente interpretada por los antiguos como ateísmo”. Así que esa influencia sobre Newton podría haber venido por De rerum natura, la obra del poeta y filósofo latino Lucrecio.»
Lo desconocía, pero viendo el trabajo de Newton, como comentaba ayer, en seguida se intuye cómo el inglés se vio completamente influenciado por el pensamiento de Demócrito-Epicuro-Lucrecio. (Einstein también se vio sumamente influenciado por el atomismo, y así lo ponen de manifiesto los trabajos que presentó en su año mirabilis» si nos fijamos en las ideas básicas sobre las cuales éstos se articulan)
En cualquier caso, cabe tener presente que en la biblioteca de Alejandría hubo 60 libros de Demócrito sobre los más variados temas (geometría, física, biología, ética y política, música, astronomía, etc). Se han perdido todos. Sólo nos han llegado fragmentos espureos, anécdotas y los textos divulgativos y populacheros de sus discípulos (Epicuro y Lucrecio). Una verdadera pena, porque estoy seguro de que Demócrito, considerado en su tiempo a la altura de Platón y él mismo se congratulaba de ser el mejor geómatra griego de todos los tiempos (y de que todo su saber surgía de la pura demostración geométrica), ya postuló un primer cálculo diferencial para resolver problemas con tangentes en curvas y cónicas (se sabe que es un tema que discutió), pero ignoramos hasta qué medida.
PD. Y Newton tiene razón. Demócrito para nada es ateo, todo lo contrario. De hecho, se puede considerar un místico si se comprende lo que significa «ataraxia». La creencia de que el materialismo implica ateísmo es una idea muy trasnochada que surge en el s.XIX.
En fin, un personaje fascinante
Gracias por tus siempre interesantes apuntes a las entradas, RDC. Más de una vez me han planteado que la idea de velocidad sea un constructo humano artificial (no sabemos hasta qué punto el espacio es continuo o no). Pero matemáticamente, bien definida está. Y como dices, aunque el espaciotiempo no cumpliera con dichas condiciones de continuidad en última instancia, seguiría siendo una idea útil.
Gracias por comentar =)